分式方程的增根與無解

1、分式方程的增根與無解 甲：增根是什么？乙：增根是解分式方程時，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一變形中，由于去分母擴大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值.比如例1、解方程：。為了去分母，方程兩邊乘以，得由解得。甲：原方程的解是。乙：可是當(dāng)時，原方程兩邊的值相等嗎？甲：這我可沒注意，檢驗一下不就知道了。喲！當(dāng)時，原方程有的項的分母為0，沒有意義，是不是方程變形過程中搞錯啦？乙：求解過程完全正確，沒有任何的差錯。甲：那為什么會出現(xiàn)這種情況呢？乙：因為原來方程中未知數(shù)x的取值范圍是且，而去分母化為整式方程后，未知數(shù)x的取值范圍擴大為全體實數(shù)。這樣，從方程解出的未知數(shù)的值就有可能不是方程的解。甲：如此說來

2、，從方程變形為方程，這種變形并不能保證兩個方程的解相同，那么，如何知道從整式方程解出的未知數(shù)的值是或不是原方程的解呢？乙：很簡單，兩個字：檢驗?？梢园逊匠探獬龅奈粗獢?shù)的值一一代入去分母時方程兩邊所乘的那個公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母為0，則說明這個值是增根，否則就是原方程的解。甲：那么，這個題中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程無解。甲：?。?！為什么會無解呢？乙：無解時，方程本身就是個矛盾等式，不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等，如上題中，不論x取何值，都不能使方程兩邊的值相等，因此原方程無解，又如對于方程，不論x取何值也不能使它成立，因此，這個方程也無解。甲：

3、是不是有增根的分式方程就是無解的，而無解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定無解，無解的分式方程也不一定有增根，你看：例2、解方程，去分母后化為，解得或，此時，是增根，但原方程并不是無解，而是有一個解，而方程，去分母后化為，原方程雖然無解，但原方程也沒有增根。乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用這種關(guān)系可以解決分式方程的有關(guān)問題，你看：例3、已知關(guān)于x的方程有增根，求k的值。首先把原方程去分母，化為。因為原方程的最簡公分母是，所以方程的增根可能是或若增根為，代入方程，得，；若增根為，代入方程，得，。故當(dāng)或時，原方程會有增根。甲：雖然無解的分式

4、方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定無解，但我還覺得無解與增根之間似乎有種微妙的關(guān)系，這是怎么一回事？乙：你說的沒錯，增根與無解都是分式方程的“常客”，它們雖然還沒有達到形影不離的程度，但兩者還是常常相伴而行的，在有些分式方程問題中，討論無解的情形時應(yīng)考慮增根，例如：例4、已知關(guān)于x的方程無解，求m的值。先把原方程化為。（1）若方程無解，則原方程也無解，方程化為，當(dāng)，而時，方程無解，此時。（2）若方程有解，而這個解又恰好是原方程的增根，這時原方程也無解，所以，當(dāng)方程的解為時原方程無解，代入方程，得，故。綜合（1）、（2），當(dāng)或時，原方程無解。妙用分式方程的增根解題在解分式方程的過程中，我們

5、還可以利用增根來求分式方程中的待定字母的值.請看下面幾例.例1 若關(guān)于的方程有增根，則的值為_.析解：去分母并整理，得，因為原方程有增根，增根只能是，將代入去分母后的整式方程，得.例2 若關(guān)于的方程無解，則的值是_.析解：去分母并整理，得.解之，得.因為原方程無解，所以為方程的增根.又由于原方程的增根為.所以，.例3. 已知方程2有增根，則_.析解：把原方程化成整式方程，得.因為原方程有增根，所以增根只能是或.將代入，得；將代入，無解.故應(yīng)填.練一練：1. 如果分式方程無解，則的值為（ ）.（A）1 （B）0 （C）1 （D）22. 如果方程有增根，則_.答案：1.C；2.1；分式方程的增根及

6、其應(yīng)用一、增根的原因解分式方程時，有時會產(chǎn)生增根，這是因為我們把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程過程中，無形中取掉了原分式方程中分母不為零的限制條件，從而擴大了未知數(shù)的取值范圍，于是就產(chǎn)生了如下兩種情況：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么這種根就不是分式方程的根，是分式方程的增根因此，解分式方程時，驗根是必不可少的步驟二、利用增根解題不可否認，增根的出現(xiàn)給我們的解題帶來了一定的麻煩，然而任何事物都有其兩面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同時還能使其最簡公分母

7、的值為零，據(jù)此可以解決一些相關(guān)的問題，常見的類型有如下幾種：1已知方程有增根，確定字母系數(shù)值例1：若方程有增根，則m的值為 （ ）A 3 B3 C0 D以上都不對析解：把分式方程兩邊同乘以公分母x3，得整式方程x2（x3）=m若原方程有增根，必須使公分母x3等于0，即x=3，代入整式方程得3=6 m，解得m=3故應(yīng)選B點評：方程有增根，一定是公分母等于0的未知數(shù)的值解這類題的一般步驟把分式方程化成的整式方程；令公分母為0，求出x的值；再把x的值代入整式方程，求出字母系數(shù)的值2已知方程無解，確定字母系數(shù)值例2：若方程無解，則m的值為 （ ）A 1 B3 C1 或3 D1 或分析：把分式方程化為整

8、式方程，若整式方程無解，則分式方程一定無解；若整式方程有解，但要使分式方程無解，則該解必為使公分母為0時對應(yīng)的未知數(shù)的值，此時相應(yīng)的字母系數(shù)值使分式方程無解解：去分母，得(32x)(2+mx)=3x,整理,得(m+1) x=2若m+1=0，則m= 1，此時方程無解；若m+10，則x=是增根因為=3，所以m=所以m的值為1 或，故應(yīng)選D點評：方程無解的條件，關(guān)鍵是看轉(zhuǎn)化后的整式方程解的情況既要考慮整式方程無解的條件，又要考慮整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考慮問題要全面、周到3已知方程無增根，確定字母系數(shù)值例3：若解關(guān)于x的方程不會產(chǎn)生增根，則k的值為 （ ）A2 B1 C不為

9、7;2的數(shù) D無法確定析解：去分母，把分式方程化為整式方程，x(x+1)k=x(x1)，解關(guān)于k的方程,得k=2x.由題意, 分式方程無增根，則公分母x210，即x±1,則k±2故應(yīng)選C點評：方程無增根，就意味著對應(yīng)的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，利用這一點可以確定字母系數(shù)值或取值范圍妙用分式方程的增根求參數(shù)值解分式方程時，常通過適當(dāng)變形化去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程來解，若整式方程的根使分式方程中的至少一個分母為零，則是增根，應(yīng)舍去，由此定義可知：增根有兩個性質(zhì)：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母為零的未知數(shù)的值，靈活運用這兩個性質(zhì)，可

10、簡捷地確定分式方程中的參數(shù)（字母）值，請看下面例示：一、 分式方程有增根，求參數(shù)值例1 a為何值時，關(guān)于x的方程=0有增根？分析：先將原分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后運用增根的兩個性質(zhì)將增根代入整式方程可求a的值解：原方程兩邊同乘以（x-3）去分母整理，得x2-4x+a=0（）因為分式方程有增根，增根為x=3，把x=3代入（）得，9-12+a=0 a=3所以a=3時，=0有增根。 點評：運用增根的性質(zhì)將所求問題轉(zhuǎn)化為求值問題，簡捷地確定出分式方程中的參數(shù)（字母）值例2 m為何值時，關(guān)于x的方程+=有增根。分析：原分式方程有增根，應(yīng)是使分母為0的x值。將這樣的x值代入去分母的整式方程可求出m的值。

11、解：原方程兩邊同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得（1+m）x=3m+4（）因為分式方程有增根，據(jù)性質(zhì)（2）知：增根為x=1或x=2。把x=1代入（），解得m=-；把x=2代入（）得m=-2所以m=-或-2時，原分式方程有增根點評：分式方程有增根，不一定分式方程無解（無實），如方程+1=有增根，可求得k=-，但分式方程這時有一實根x=。二、 分式方程是無實數(shù)解，求參數(shù)值例3 若關(guān)于x的方程=+2無實數(shù)根，求m的值。分析：因原方程無實數(shù)根，將原方程去分母得到整式方程解出的x值為原方程的增根，又x=5是原方程的增根，故可求出m的值解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8因為原方程無解

12、，所以x=-m+8為原方程的增根。又由于原方程的增根為x=5，所以-m+8=5所以m=3點評：這類型題可通過列增根等于增根的方程求出參數(shù)值。分式方程的非常規(guī)解法抓特點選方法有些分式方程利用一般方法解非常麻煩，若能根據(jù)題目的特點，采用一些特殊的方法，就可避免不必要的麻煩，巧妙地求得方程的解，獲得意外的驚喜，現(xiàn)結(jié)合幾道習(xí)題予以說明一、分組化簡法例1解方程：分析：本題的最小公分母為，若采用一般解法，就會出現(xiàn)高次項數(shù)，計算相當(dāng)繁瑣，而且也極易出錯，我們注意到，在此基礎(chǔ)上再通過比較上面兩式即可將本題求解解：原方程化為：，上式可變?yōu)椋杭?，解這個整式方程得：，當(dāng)時，該分式方程中各分式的分母的值均不為，所以為

13、原方程的解二、拆項變形法例2解方程=分析：本題求解時應(yīng)首先將題目中的第1，3，4個分式的分母因式分解，再將這幾個分式分解成兩個分式差的形式，目的是通過整理將其化繁為簡，使方程變得簡捷易解解：原方程變形為：化簡后整理得：，解得：，當(dāng)時，分式方程中的各分式的分母均不為，故是原方程的解三、利用特殊分式方程求解分式方程的解為，若一個方程等號兩邊的項分別互為倒數(shù)時，則此時便可套用上面的方程的解法求解例3解方程：分析：因本題中與，與分別互為倒數(shù)，符合方程的特點，故可將該方程轉(zhuǎn)化為這種方程的形式求解解：原方程變形為，設(shè)則=，此時原方程變形為：，或即或，解得：經(jīng)檢驗得：都是原方程的解原方程的解為與分式方程根有

14、關(guān)的問題分類舉例與分式方程的根有關(guān)的問題，在近年的中考試題中時有出現(xiàn)，現(xiàn)結(jié)合近年的中考題分類舉例，介紹給讀者，供學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)有關(guān)內(nèi)容時參考。1. 已知分式方程有增根，求字母系數(shù)的值解答此類問題必須明確增根的意義：（1）增根是使所給分式方程分母為零的未知數(shù)的值。（2）增根是將所給分式方程去分母后所得整式方程的根。利用（1）可以確定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根時的字母系數(shù)的值。例1. （2000年潛江市）使關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根的a的值是（ ）A. 2B. 2C. D. 與a無關(guān)解：去分母并整理，得：因為原方程的增根為x=2，把x=2代入<1>，得a2=4所以故應(yīng)選C

15、。例2. （1997年山東?。┤艚夥质椒匠坍a(chǎn)生增根，則m的值是（ ）A. 1或2 B. 1或2C. 1或2 D. 1或2解：去分母并整理，得：又原方程的增根是x=0或，把x=0或x=1分別代入<1>式，得：m=2或m=1故應(yīng)選C。例3. （2001年重慶市）若關(guān)于x的方程有增根，則a的值為_。解：原方程可化為：又原方程的增根是，把代入<1>，得：故應(yīng)填“”。例4. （2001年鄂州市）關(guān)于x的方程會產(chǎn)生增根，求k的值。解：原方程可化為：又原方程的增根為x=3，把x=3代入<1>，得：k=3例5. 當(dāng)k為何值時，解關(guān)于x的方程：只有增根x=1。解：原方程可化為

16、：把x=1代入<1>，得k=3所以當(dāng)k=3時，解已知方程只有增根x=1。評注：由以上幾例可知，解答此類問題的基本思路是：（1）將所給方程化為整式方程；（2）由所給方程確定增根（使分母為零的未知數(shù)的值或題目給出）；（3）將增根代入變形后的整式方程，求出字母系數(shù)的值。2. 已知分式方程根的情況，求字母系數(shù)的值或取值范圍例6. （2002年荊門市）當(dāng)k的值為_（填出一個值即可）時，方程只有一個實數(shù)根。解：原方程可化為：要原方程只有一個實數(shù)根，有下面兩種情況：（1）當(dāng)方程<1>有兩個相等的實數(shù)根，且不為原方程的增根，所以由得k=1。當(dāng)k=1時，方程<1>的根為，符合

17、題意。（2）方程<1>有兩個不相等的實數(shù)根且其中有一個是原方程的增根，所以由，得k>1。又原方程的增根為x=0或x=1，把x=0或x=1分別代入<1>得k=0，或k=3，均符合題意。綜上所述：可填“1、0、3”中的任何一個即可。例7. （2002年孝感市）當(dāng)m為何值時，關(guān)于x的方程無實根？解：原方程可化為：要原方程無實根，有下面兩種情況：（1）方程<1>無實數(shù)根，由，得；（2）方程<1>的實數(shù)解均為原方程的增根時，原方程無實根，而原方程的增根為x=0或x=1，把x=0或x=1分別代入<1>得m=2。綜上所述：當(dāng)或當(dāng)m=2時，所給

18、方程無實數(shù)解。例8. （2003年南昌市）已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求m的取值范圍。解：原方程化為：要原方程有實數(shù)根，只要方程<1>有實數(shù)根且至少有一個根不是原方程的增根即可。（1）當(dāng)m=0時，有x=1，顯然x=1是原方程的增根，所以m=0應(yīng)舍去。（2）當(dāng)時，由，得。又原方程的增根為x=0或x=1，當(dāng)x=0時，方程<1>不成立；當(dāng)。綜上所述：當(dāng)且時，所給方程有實數(shù)根。評注：由以上三例可知，由分式方程根的情況，求字母系數(shù)的值或取值范圍的基本思路是：（1）將所給方程化為整式方程；（2）根據(jù)根的情況，由整式方程利用根的判別式求出字母系數(shù)的值或取值范圍，注意排除使原方程有增根的

19、字母系數(shù)的值。3. 已知分式方程無增根，求字母系數(shù)的取值范圍例9. 當(dāng)a取何值時，解關(guān)于x的方程：無增根？解：原方程可化為：又原方程的增根為x=2或，把x=2或分別代入<1>得：或又由知，a可以取任何實數(shù)。所以，當(dāng)且時，解所給方程無增根。評注：解答此類問題的基本思路是：（1）將已知方程化為整式方程；（2）由所得整式方程求出有增根的字母系數(shù)的值和使整式方程有實數(shù)根的字母系數(shù)的取值范圍；（3）從有實數(shù)根的范圍里排除有增根的值，即得無增根的取值范圍。4. 已知分式方程根的符號，求字母系數(shù)的取值范圍例9. 已知關(guān)于x的方程的根大于0，求a的取值范圍。解：原方程可化為：所以由題意，得：且所以且例10. 已知關(guān)于x的方程的根小于0，求k的取值范圍。解：原方程可化為：所以由題意，得：所以評注：解答此類題的基本思路是：（1）求出已知方程的根；（2）由已知建立關(guān)于字母系數(shù)的不等式，求出字母系數(shù)的取值范圍，注意排除使原方程有增根的字母系數(shù)的值。說明：注意例9與例10的區(qū)別，例9有，而例10無這一不等式？請讀者思考。增根在分式方程中的靈活運用增根是指適合所化的整式方程，但不適合原分式方程的根。由此可見，增根必須同時滿足兩個條件：（1）是由分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程的的根。（2）使最簡公分母為零