全等三角形題型總結(jié)

1、 全等三角形的判定題型類(lèi)型一、全等三角形的判定1“邊邊邊”例題、已知：如圖，ADBC，ACBD.試證明：CADDBC.(答案）證明：連接DC， 在ACD與BDC中ACDBDC（SSS）CADDBC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）類(lèi)型二、全等三角形的判定2“邊角邊”例題、已知，如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，并且AE（ABAD），求證：BD180°.(答案）證明：在線段AE上，截取EFEB，連接FC，CEAB，CEBCEF90°在CBE和CFE中，CBE和CFE（SAS）BCFEAE（ABAD），2AE ABAD AD2AEABAEAFEF，AD2（AFEF）

2、AB2AF2EFABAFAFEFEBABAFABAB，即ADAF在AFC和ADC中AFCADC（SAS）AFCD AFCCFE180°，BCFE.AFCB180°，BD180°.類(lèi)型三、全等三角形的判定3“角邊角”例題、已知：如圖，在MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQNQ求證：HNPM.證明：MQ和NR是MPN的高， MQNMRN90°， 又132490°，34 12 在MPQ和NHQ中， MPQNHQ（ASA） PMHN類(lèi)型四、全等三角形的判定4“角角邊”例題、已知RtABC中，ACBC，C90°，D為AB邊的中點(diǎn)，EDF90

3、°，EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB于E、F當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時(shí)（如圖1），易證；當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.解：圖2成立； 證明圖2：過(guò)點(diǎn)作 則在AMD和DNB中，AMDDNB（AAS）DMDNMDEEDNNDFEDN90°， MDENDF在DME與DNF中，DMEDNF（ASA）可知，類(lèi)型五、直角三角形全等的判定“HL”下列說(shuō)法中，正確的畫(huà)“”；錯(cuò)誤的畫(huà)“×”，并舉出反例畫(huà)出圖形.（1）一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（

4、 ）（2）有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ ）（3）有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ ）(答案）（1）；（2）×；在ABC和DBC中，ABDB，AE和DF是其中一邊上的高，AEDF（3）×. 在ABC和ABD中，ABAB，ADAC，AH為第三邊上的高，如下圖：1、已知：如圖，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求證：ABDC.(答案與解析）證明：DEAC，BFAC，在RtADE與RtCBF中RtADERtCBF （HL） AECF，DEBFAEEFCFEF，即AFCE在RtCDE與RtABF中，RtCDERtABF（SAS）DCEBAF A

5、BDC.(點(diǎn)評(píng)）從已知條件只能先證出RtADERtCBF，從結(jié)論又需證RtCDERtABF.我們可以從已知和結(jié)論向中間推進(jìn)，證出題目.2、如圖，ABC中，ACB90°，ACBC，AE是BC邊上的中線，過(guò)C作CFAE，垂足為F，過(guò)B作BDBC交CF的延長(zhǎng)線于D.（1）求證：AECD；（2）若AC12，求BD的長(zhǎng).(答案與解析）（1）證明：DBBC，CFAE，DCBDDCBAEC90°DAEC又DBCECA90°，且BCCA，DBCECA（AAS）AECD（2）解：由（1）得AECD，ACBC，CDBAEC（HL） BDECBCAC，且AC12 BD6(點(diǎn)評(píng)）三角形全

6、等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁心.三角形有三個(gè)旁心.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè).如圖所示：ABC的內(nèi)心為，旁心為，這四個(gè)點(diǎn)到ABC三邊所在直線距離相等.角的平分線的性質(zhì)及判定1、如圖，AD是BAC的平分線，DEAB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，且

7、DBDC.求證：BECF.(答案）證明：DEAE，DFAC，AD是BAC的平分線， DEDF，BEDDFC90° 在RtBDE與RtCDF中，RtBDERtCDF（HL） BECF2、如圖，AC=DB，PAC與PBD的面積相等求證：OP平分AOB(答案與解析）證明：作PMOA于M，PNOB于N ，且 又ACBD PMPN 又PMOA，PNOB OP平分AOB (點(diǎn)評(píng)）觀察已知條件中提到的三角形PAC與PBD，顯然與全等無(wú)關(guān)，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定定理可得.跟三角形的高結(jié)合的題目，有時(shí)候用面積會(huì)取得意想不到的效果.3、如圖，DCAB

8、，BAD和ADC的平分線相交于E，過(guò)E的直線分別交DC、AB于C、B兩點(diǎn). 求證：ADABDC.(答案） 證明：在線段AD上取AFAB，連接EF，AE是BAD的角平分線，12，AFAB  AEAE，ABEAFE，BAFE由CDAB又可得CB180°，AFEC180°，又DFEAFE180°，CDFE，DE是ADC的平分線，34，又DEDE，CDEFDE，DFDC，ADDFAF，ADABDC 類(lèi)型一、全等三角形的性質(zhì)和判定如圖，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求證：BDCE.(答案)證明：AEAB，ADAC， EABDAC90° EAB

9、DAEDACDAE ，即DABEAC. 在DAB與EAC中，DABEAC （SAS） BDCE.類(lèi)型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形：1、在ABC中，ABAC.求證：BC(答案)證明：過(guò)點(diǎn)A作ADBC在RtABD與RtACD中 RtABDRtACD（HL） BC.(2)倍長(zhǎng)中線法：1、已知：如圖所示，CE、CB分別是ABC與ADC的中線，且ACBABC求證：CD2CE(答案）證明： 延長(zhǎng)CE至F使EFCE，連接BF EC為中線， AEBE在AEC與BEF中， AECBEF（SAS） ACBF，AFBE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，F(xiàn)BC

10、ABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC為ADC的中線， ABBD即BFBD在FCB與DCB中， FCBDCB（SAS） CFCD即CD2CE2、若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7, 則第三邊的中線長(zhǎng)的取值范圍是( ) A.1 6 B.5 7 C.2 12 D.無(wú)法確定(答案)A ；提示：倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，7575，所以選A選項(xiàng).(3).作以角平分線為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：如圖，AD是的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HDBD.(1)求證：B與AHD互補(bǔ)；(2)若B2DGA180°，請(qǐng)?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明.(答案）證明：

11、（1）在AB上取一點(diǎn)M, 使得AMAH, 連接DM. CADBAD, ADAD, AHDAMD. HDMD, AHDAMD. HDDB, DB MD. DMBB. AMDDMB 180°, AHDB180°. 即 B與AHD互補(bǔ). （2）由（1）AHDAMD, HDMD, AHDB180°. B2DGA 180°, AHD2DGA. AMD2DGM. AMDDGMGDM. 2DGMDGMGDM. DGMGDM. MDMG. HD MG. AG AMMG, AG AHHD. （3）.利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作構(gòu)造全等三角形：1、如圖，AD是ABC的角平分線，A

12、BAC,求證：ABACBDDC(答案）證明：在AB上截取AEAC,連結(jié)DEAD是ABC的角平分線，BADCAD在AED與ACD中AEDADC（SAS）DEDC在BED中，BEBDDC即ABAEBDDCABACBDDC2、如圖所示，已知ABC中ABAC，AD是BAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MBMCABAC(答案與解析)證明：ABAC，則在AB上截取AEAC，連接ME在MBE中，MBMEBE（三角形兩邊之差小于第三邊）在AMC和AME中， AMCAME（SAS） MCME（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）又 BEABAE， BEABAC， MBMCABAC(點(diǎn)評(píng))因?yàn)锳BAC，所以可在AB上截

13、取線段AEAC，這時(shí)BEABAC，如果連接EM，在BME中，顯然有MBMEBE這表明只要證明MEMC，則結(jié)論成立充分利用角平分線的對(duì)稱(chēng)性，截長(zhǎng)補(bǔ)短是關(guān)鍵.（4）.在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.1、如圖所示，已知E為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且DAEFAE求證：AFADCF(答案與解析）證明： 作MEAF于M，連接EF 四邊形ABCD為正方形， CDEMA90°又 DAEFAE， AE為FAD的平分線， MEDE在RtAME與RtADE中， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)又 E為CD中點(diǎn)， DEEC MEEC在RtEMF與Rt

14、ECF中， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)由圖可知：AFAMMF， AFADFC(等量代換)(點(diǎn)評(píng)）與角平分線有關(guān)的輔助線： 在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段. 四邊形ABCD為正方形，則D90°而DAEFAE說(shuō)明AE為FAD的平分線，按常規(guī)過(guò)角平分線上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離，而E到AD的距離已有，只需作E到AF的距離EM即可，由角平分線性質(zhì)可知MEDEAEAERtAME與RtADE全等有ADAM而題中要證AFADCF根據(jù)圖知AFAMMF故只需證MFFC即可從而把證AFADCF轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問(wèn)題2、

15、如圖所示，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E， ，求證：BD是ABC的平分線(答案與解析）證明：延長(zhǎng)AE和BC，交于點(diǎn)F，ACBC，BEAE，ADE=BDC（對(duì)頂角相等），EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD在RtACF和RtBCD中所以RtACFRtBCD（ASA）則AF=BD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）AE=BD，AE=AF，即AE=EF在RtBEA和RtBEF中，則RtBEARtBEF（SAS）所以ABE=FBE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），即BD是ABC的平分線(點(diǎn)評(píng)）如果由題目已知無(wú)法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線構(gòu)

16、造出三角形全等的條件，使問(wèn)題得以解決平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法.類(lèi)型三、全等三角形動(dòng)態(tài)型問(wèn)題解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn)：(1) 變化前的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程對(duì)變化后的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程起著至關(guān)重要的作用；(2) 圖形在變化過(guò)程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化；原來(lái)的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；(3) 幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過(guò)程，其結(jié)論有時(shí)變化，有時(shí)不發(fā)生變化1、已知：在ABC中，BAC90°，ABAC，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖1，求證：CFBD （2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，第（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由.(答案）證明：（1）正方形ADEF ADAF，DAF90° DAFDACBACDAC，即BADCAF 在ABD和ACF中， ABDACF（SAS） BDCF （2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，仍有BDCF 此時(shí)DAFDACBACDAC，即BADCAF 在