高等數(shù)學(xué)復(fù)旦大學(xué)出版后答案習(xí)題

1、習(xí)題一1. 下列函數(shù)是否相等,為什么?解: (1)相等.因為兩函數(shù)的定義域相同,都是實數(shù)集R;由知兩函數(shù)的對應(yīng)法則也相同;所以兩函數(shù)相等.(2)相等.因為兩函數(shù)的定義域相同,都是實數(shù)集R,由已知函數(shù)關(guān)系式顯然可得兩函數(shù)的對應(yīng)法則也相同,所以兩函數(shù)相等.(3)不相等.因為函數(shù)的定義域是,而函數(shù)的定義域是實數(shù)集R,兩函數(shù)的定義域不同,所以兩函數(shù)不相等.2. 求下列函數(shù)的定義域解: (1)要使函數(shù)有意義,必須 即 所以函數(shù)的定義域是.(2)要使函數(shù)有意義,必須 即 所以函數(shù)的定義域是-3,0)(0,1).(3)要使函數(shù)有意義,必須 即 所以函數(shù)的定義域是.(4)要使函數(shù)有意義,必須 即 即或,(k為

2、整數(shù)).也即 (k為整數(shù)).所以函數(shù)的定義域是, k為整數(shù).3. 求函數(shù)的定義域與值域.解: 由已知顯然有函數(shù)的定義域為(-,+),又當時,可以是不為零的任意實數(shù),此時,可以取遍-1,1上所有的值,所以函數(shù)的值域為-1,1.4. 沒,求解: ,5.設(shè),求.解: 6. 設(shè),求和.解: 7. 證明:和互為反函數(shù).證:由解得,故函數(shù)的反函數(shù)是,這與是同一個函數(shù),所以和互為反函數(shù).8. 求下列函數(shù)的反函數(shù)及其定義域:解: (1)由解得,所以函數(shù)的反函數(shù)為.(2)由得,所以,函數(shù)的反函數(shù)為.(3)由解得所以,函數(shù)的反函數(shù)為.(4)由得,又,故.又由得,即,故可得反函數(shù)的定義域為0,2,所以,函數(shù)的反函數(shù)

3、為.9. 判斷下列函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性及單調(diào)性:解: (1)函數(shù)的定義域為(-,+), 當時,有,當時,有,故有.即函數(shù)有上界.又因為函數(shù)為奇函數(shù),所以函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱,由對稱性及函數(shù)有上界知,函數(shù)必有下界,因而函數(shù)有界.又由知,當且時,而當且時,.故函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào).(2)函數(shù)的定義域為(0,+),且,使.取,則有,所以函數(shù)在定義域內(nèi)是無界的.又當時,有故.即當時,恒有,所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.10. 判斷下列函數(shù)的奇偶性:解: (1)是偶函數(shù).(2)函數(shù)是奇函數(shù).11. 設(shè)定義在(-,+)上,證明:(1) 為偶函數(shù); (2)為奇函數(shù).證: (1)設(shè),則,有故為偶函數(shù).(2)設(shè)則,

4、有故為奇函數(shù).12. 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,年銷售量為106件,每批生產(chǎn)需要準備費103元,而每件的年庫存費為0.05元,如果銷售是均勻的,求準備費與庫存費之和的總費用與年銷售批數(shù)之間的函數(shù)(銷售均勻是指商品庫存數(shù)為批量的一半).解: 設(shè)年銷售批數(shù)為x, 則準備費為103x;又每批有產(chǎn)品件,庫存數(shù)為件,庫存費為元.設(shè)總費用為,則.13. 郵局規(guī)定國內(nèi)的平信,每20g付郵資0.80元,不足20 g按20 g計算,信件重量不得超過2kg,試確定郵資y與重量x的關(guān)系.解: 當x能被20整除,即時,郵資;當x不能被20整除時,即時,由題意知郵資.綜上所述有其中,分別表示不超過,的最大整數(shù).14. 已知水渠

5、的橫斷面為等腰梯形,斜角=40°,如圖所示.當過水斷面ABCD的面積為定值S0時,求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式,并指明其定義域.圖1-1解: 從而 .由得定義域為.15. 下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的?解: (1)是由復(fù)合而成.(2)是由復(fù)合而成.(3)是由復(fù)合而成.(4)是由復(fù)合而成.16. 證明:證: (1)由得解方程得,因為,所以,所以的反函數(shù)是(2)由得,得;又由得,所以函數(shù)的反函數(shù)為17. 寫出下列數(shù)列的通項公式,并觀察其變化趨勢:解: 當時,.,當n無限增大時,有三種變化趨勢:趨向于,趨向于0,趨向于.,當n無限增大時,變化趁勢有兩種

6、,分別趨于1,-1.18. 對下列數(shù)列求,并對給定的確定正整數(shù),使對所有,有:解: ,要使,只須.取,則當時,必有.當時,或大于1000的整數(shù).,要使只要即即可.取,則當時,有.當時, 或大于108的整數(shù).19. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:證: ,要使,只要.取,則當n>N時,恒有.故.(2) ,要使只要,取,則當n>N時,恒有.故.(3) ,要使,只要,取,則當n>N時,恒有,從而.(4)因為對于所有的正整數(shù)n,有,故,不防設(shè),要使只要取則當時,恒有故.20. 若,證明,并舉反例說明反之不一定成立.證: ,由極限的定義知,當時,恒有.而 ,當時,恒有,由極限的定義知但這個結(jié)論

7、的逆不成立.如但不存在.21. 利用單調(diào)有界準則證明下列數(shù)列有極限,并求其極限值:證: (1),不妨設(shè),則.故對所有正整數(shù)n有,即數(shù)列有上界.又顯然有,又由得,從而即,即數(shù)列是單調(diào)遞增的.由極限的單調(diào)有界準則知,數(shù)列有極限.設(shè),則,于是,(不合題意,舍去),.(2) 因為,且,所以, 即數(shù)列有界又 由知與同號，從而可推得與同號，而 故, 即所以數(shù)列單調(diào)遞增，由單調(diào)有界準則知，的極限存在.設(shè), 則，解得 (不合題意，舍去).所以 22. 用函數(shù)極限定義證明：證：(1),要使,只須,取，則當時，必有,故.(2),要使,只須,取，則當時，必有,故.(3) ,要使,只要取，則當時，必有,故.(4) ,

8、要使,只須，取，則當時，必有故.(5) ,要使,只要取，則當時，必有,故.23. 求下列極限：(7)若，求a和b.解：.由無窮大與無窮小的關(guān)系知， .24. 解:因為由已知知，分式的分子與分母的次數(shù)相同，且x項的系數(shù)之比為，于是 且 解得 .25. 利用夾逼定理求下列數(shù)列的極限:其中為給定的正常數(shù);解: 而,當時, .(2)記則有 即 而 故 即 .(3)即 而 故 .(4)而 故 .26. 通過恒等變形求下列極限：解： 而 而(14)令則當時，.所以(利用(13)題的結(jié)果).(16)令， 則而 所以27. 利用重要極限，求下列極限：解：(6)令，則當時，.28. 利用取對數(shù)的方法求下列冪指函

9、數(shù)的極限：解：(1)令，則于是：即 即 即.(2)令，則于是即 即 故即 .(3)令，則于是 即 從而 故即 .(4)令，則于是：即 即.29. 當時，與相比，哪個是高階無窮小量？解：當時，是比高階的無窮小量.30. 當時，無窮小量與是否同階？是否等價？解：當時，是與同階的無窮小.當時，是與等價的無窮小.31. 利用或等價無窮小量求下列極限：解：(1)因為當時，所以(4)因為當時，,所以(5)因為當時，所以.(7)因為當時，,所以(8)因為當時，所以.(9)因為當時，,所以(10)因為當時，所以(11)因為當時，所以(12)因為當時，所以(13)因為而當時，故 又當x0進，所以(14)因為當時

10、，故 所以32. 求下列函數(shù)在指定點處的左、右極限，并說明在該點處函數(shù)的極限是否存在？ 在處; 在處.解： 因為 所以不存在.(2)因為不存在，所以不存在.33. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出圖形：解：(1)由初等函數(shù)的連續(xù)性知，在（0，1），（1，2）內(nèi)連續(xù)，又 而，在處連續(xù)，又，由，知在處右連續(xù)，綜上所述，函數(shù)在0，2)內(nèi)連續(xù). 函數(shù)圖形如下：圖1-2 (2) 由初等函數(shù)的連續(xù)性知在內(nèi)連續(xù)，又由知不存在，于是在處不連續(xù).又由及知，從而在x=1處連續(xù)，綜上所述，函數(shù)在及內(nèi)連續(xù)，在處間斷.函數(shù)圖形如下：圖1-3 (3)當x<0時，當x=0時，當x>0時，由初等函數(shù)的連續(xù)性知在內(nèi)連續(xù)

11、，又由 知不存在，從而在處間斷.綜上所述，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，在處間斷.圖形如下：圖1-4(4)當|x|=1時，當|x|<1時，當|x|>1時，即 由初等函數(shù)的連續(xù)性知在(,1),(1,1),(1,+)內(nèi)均連續(xù)，又由知不存在，從而在處不連續(xù).又由 知不存在，從而在處不連續(xù).綜上所述，在(,1),(1,1),(1,+)內(nèi)連續(xù)，在處間斷.圖形如下：圖1-534. 下列函數(shù)在指定點處間斷，說明它們屬于哪一類間斷點，如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義，使它連續(xù)：解：是函數(shù)的可去間斷點.因為函數(shù)在x=1處無定義，若補充定義，則函數(shù)在x=1處連續(xù)；x=2是無窮間斷點.當時，.為可去間斷點，分別

12、補充定義f(0)=1,，可使函數(shù)在x=0,及處連續(xù).();為無窮間斷點(3)當時，呈振蕩無極限，x=0是函數(shù)的振蕩間斷點.(第二類間斷點).(4)x=1是函數(shù)的跳躍間斷點.(第一類間斷點.)35. 當x=0時，下列函數(shù)無定義，試定義的值，使其在x=0處連續(xù):解：補充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).補充定義可使函數(shù)在x=0處連續(xù).36. 怎樣選取a, b的值，使f(x)在(,+)上連續(xù)？解：(1)在上顯然連續(xù)，而 且,當，即時，在處連續(xù)，所以，當時，在上連續(xù).(2)在內(nèi)顯然連續(xù).而當，即時，在處連續(xù)，因而在上連續(xù).37. 試證：方程至少

13、有一個小于1的正根.證：令，則在0,1上連續(xù)，且,由零點定理，使即即方程有一個小于1的正根.38. 試證：方程至少有一個不超過的正根，其中.證：令，則在上連續(xù)，且 ,若，則就是方程的根.若，則由零點定理得.,使即即，即是方程的根，綜上所述，方程至少有一個不超過的正根.39. 設(shè)在上連續(xù)，且,證明：方程在0，a內(nèi)至少有一根.證：令,由在上連續(xù)知，在上連續(xù)，且若則都是方程的根，若，則，由零點定理知，至少,使,即，即是方程的根，綜上所述，方程在內(nèi)至少有一根.40.設(shè)在上連續(xù)，且，證明：至少存在一點，使.證：令,則在上連續(xù)，且若，則若,則,若,則,由零點定理，至少存在一點,使即.綜上所述，至少存在一點

14、，使.41. 若在上連續(xù)，,證明:在中必有，使.證: 由題設(shè)知在上連續(xù)，則在上有最大值M和最小值m，于是,由介值定理知，必有，使.習(xí)題二1 設(shè)，求.解：，故.2(1) 設(shè)，求解：(2) 設(shè)求解：3下列各題中均假定存在，按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限，指出A表示什么.(1) 解：故(2) 解：故(3) 解：故4討論函數(shù)在點處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.解：,故函數(shù)在處連續(xù).又,故函數(shù)在處不可導(dǎo).5設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)在點處連續(xù)且可導(dǎo)，應(yīng)取什么值？解：因要使在處連續(xù)，則有又要使在處可導(dǎo)，則必須，即故當時，在處連續(xù)且可導(dǎo).6. 討論下列函數(shù)在指定點的連續(xù)性與可導(dǎo)性:(1) 解：因為所以此函數(shù)在處連續(xù).又，故此函數(shù)在處不

15、可導(dǎo).(2) 解：因為故函數(shù)在處連續(xù).又,故函數(shù)在處可導(dǎo).(3) 解：因為,故函數(shù)在x=1處連續(xù).又，故函數(shù)在x=1處不可導(dǎo).7. 如果為偶函數(shù)，且存在，證明：證明：故8求下列函數(shù)在處的左、右導(dǎo)數(shù)，從而證明函數(shù)在處不可導(dǎo).(1) 證明：因，故函數(shù)在處不可導(dǎo).(2) 證明：因，故函數(shù)在處不可導(dǎo).(3) 證明：因，故函數(shù)在處不可導(dǎo).9求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) ;解：(2) ;解：(3) ;解：10已知求.解：當時，當時，當時， 故綜上所述知11. 設(shè),其中a為常數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，討論在處的可導(dǎo)性.解：.故當時，在處可導(dǎo)，且當時，在處不可導(dǎo).12. 已知，求.解：當時，,當時，,故不存在.又 故不存在

16、.綜上所述知.13. 若，求.解：令，則,即14. 試求過點(3，8)且與曲線相切的直線方程.解：曲線上任意一點處的切線斜率為.因此過(3，8)且與曲線相切的直線方程為：，且與曲線的交點可由方程組解得為(2，4)，(4，16)即為切點.故切線方程為：15. 證明：雙曲線上任一點處的切線與兩坐標軸構(gòu)成的三角形的面積都等于.證明：在雙曲線上任取一點則，則過點的切線方程為：令得切線與x軸的交點為，令得切線與y軸的交點為，故 16. 已知在點可導(dǎo)，證明：. 證明：17. 垂直向上拋一物體，其上升高度與時間t的關(guān)系式為：求：物體從t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度：解：速度函數(shù)v(t)；解：. 物

17、體何時到達最高.解：令,得,即物體到達最高點的時刻為18. 設(shè)物體繞定軸旋轉(zhuǎn)，在時間間隔0,t內(nèi)，轉(zhuǎn)過角度，從而轉(zhuǎn)角是t的函數(shù)：.如果旋轉(zhuǎn)是勻速的，那么稱為該物體旋轉(zhuǎn)的角速度.如果旋轉(zhuǎn)是非勻速的，應(yīng)怎樣確定該物體在時刻的角速度？解：設(shè)此角速度值為,則.19. 設(shè)表示重1單位的金屬從加熱到所吸收的熱量，當金屬從升溫到時，所需熱量為與之比稱為到的平均比熱，試解答如下問題：如何定義在時，金屬的比熱；解： 當(其中a, b均為常數(shù))時，求比熱.解：.20. 求下列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù)：求；解：求和；解： 求.解： 故21. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：;解：;解： ;解： ;解：;解： ;解： ;解： .解：2

18、2.設(shè)，且所有的函數(shù)都可導(dǎo)，證明：證明：23. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ; ; ; ; ；（a為常數(shù)）； ； ； ; ； ; ；為常數(shù)）.解： ; ; ; ; ； ; ； ；.24.求.解： 25. 若，求.解：26. 試求曲線在點（0，1）及點（1，0）處的切線方程和法線方程.解： 故在點（0，1）處的切線方程為：，即 法線方程為：，即在點（1，0）處的切線方程為：法線方程為：27. 設(shè)可導(dǎo)，求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)： 解： 解： 28. 求函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：故反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：.29. 已知的導(dǎo)數(shù)，且，求的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：時故,從而.30. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (a,b為常數(shù))

19、解： 解：31. 已知求當時的值.解：.32. 求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：； ；解：兩邊求導(dǎo)，得：解得 . 兩邊求導(dǎo)，得：解得 . 兩邊求導(dǎo)，得： 解得 .兩邊求導(dǎo)，得： 解得 . 兩邊求導(dǎo)，得：解得 .33.用對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解： 解： 解：34. 求自由落體運動的加速度.解： 即為加速度.35. 求次多項式的階導(dǎo)數(shù). 解： 36. 設(shè)，求解：.37. 驗證函數(shù)滿足關(guān)系式證明：故38. 求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：求；求；求.解： 39. 求下列函數(shù)在指定點的高階導(dǎo)數(shù)：求；求，；求，.解： 故. 故，. 故，40. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： ； ； . 解：兩邊對求導(dǎo)，得 .

20、兩邊對求導(dǎo)，得. 兩邊對求導(dǎo)，得 兩邊對求導(dǎo)，得 41. 已知存在，求：；.解： 42. 求由下列參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： (為常數(shù))；設(shè)存在且不為零.解： .43. 設(shè)是由方程組所確定的隱函數(shù)，求.解：分別對已知方程組的兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得：再對求一次導(dǎo)，得將代入上述各式，得44. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且試證： .證明：.45. 設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，試證：可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)連續(xù).證明：因具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故時，可導(dǎo),又故 是可導(dǎo)的，且導(dǎo)函數(shù)為又因 故的導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)的.46. 在括號內(nèi)填入適當?shù)暮瘮?shù)，使等式成立： ；; ；; ; ；; .解： . . . . . . .47. 根據(jù)下面

21、所給的值，求函數(shù)的及：當時；解：.當時.解：48. 求下列函數(shù)的微分：； ； .解：； ； ；49. 求由下列方程確定的隱函數(shù)的微分： ； ； ； . 解： 對等式兩端微分，得 即 于是 對等式兩端微分，得 得 對等式兩端微分，得 解得 對等式兩端微分，得解得50. 利用微分求下列各數(shù)的近似值：；.解：利用近似公式，有.利用近似公式，有 取，令，而，則51. 設(shè)，且與相比是很小的量，證明：證明：利用近似公式，有.52. 利用一階微分形式的不變性，求下列函數(shù)的微分，其中和均為可微函數(shù)：；.解： 53. 求下列函數(shù)的高階微分：，求；，求；，求； ，求；(為常數(shù))，求.解：, 故 由萊布尼茲公式，得

22、 由萊布尼茲公式，得 兩端求導(dǎo)，得等式兩端再求導(dǎo)得 解得故54. 利用麥克勞林公式，按乘冪展開函數(shù).解：因為是的6次多項式，所以計算出：，故55. 利用泰勒公式求下列極限： (3) 解： (3) 令,當時，56. 求下列函數(shù)在處的三階泰勒展開式： 解：所以故 57. 求函數(shù)在處的階泰勒公式.解： 58. 求函數(shù)的階麥克勞林公式.解： 59. 求函數(shù)的階麥克勞林展開式.解：60. 設(shè)在的某區(qū)間上，存在有界的二階導(dǎo)函數(shù).證明：當在處的增量很小時，用增量比近似一階導(dǎo)數(shù)的近似公式,其絕對誤差的量級為，即不超過的常數(shù)倍.證明：在處泰勒展開式為, 則, 又知 ,故 ,即的絕對誤差為.61. 利用四階泰勒公

23、式，求的近似值，并估計誤差.解：62. 計算的近似值，使誤差不超過.解：63. 球的半徑以速率v改變，球的體積與表面積以怎樣的速率改變？解： 64. 一點沿對數(shù)螺線運動，它的極徑以角速度旋轉(zhuǎn)，試求極徑變化率.解： 65. 一點沿曲線運動，它的極徑以角速度旋轉(zhuǎn)，求這動點的橫坐標與縱坐標的變化率.解： 66. 橢圓上哪些點的縱坐標減少的速率與它的橫坐標增加的速率相同？解：方程兩邊同時對t求導(dǎo)，得由. 得 代入橢圓方程得：，即所求點為.67. 一個水槽長12m，橫截面是等邊三角形，其邊長為2m，水以3m3·min-1的速度注入水槽內(nèi)，當水深0.5m時，水面高度上升多快？解：當水深為h時，橫

24、截面為體積為 當h=0.5m時，.故有 ，得 (m3·min1).68. 某人走過一橋的速度為4km·h-1，同時一船在此人底下以8 km·h -1的速度劃過，此橋比船高200m，求3min后，人與船相離的速度.解：設(shè)t小時后，人與船相距s公里，則且 (km·h 1)69. 一動點沿拋物線y=x2運動，它沿x軸方向的分速度為3 cm·s-1，求動點在點(2，4)時，沿y軸的分速度.解： 當x=2時， (cm·s1).70. 設(shè)一路燈高4 m，一人高m，若人以56 m·min-1的等速沿直線離開燈柱，證明：人影的長度以常速增長

25、.證明：如圖，設(shè)在t時刻，人影的長度為y m.則 化簡得 (m·min1).即人影的長度的增長率為常值.71. 計算拋物線y=4xx2在它的頂點處的曲率.解：y=(x2)2+4，故拋物線頂點為(2，4)當x=2時， ，故 72. 計算曲線y=cosh x上點(0，1)處的曲率.解：當x=0時，故 73. 計算正弦曲線y=sin x上點處的曲率.解：.當時，故 74. 求曲線y=ln(sec x)在點(x，y)處的曲率及曲率半徑.解：故 .75. 求曲線x=acos3t，y= asin3t在t=t0處的曲率.解： ，故 且當t=t0時， .76. 曲線弧y=sin x (0<x&

26、lt;)上哪一點處的曲率半徑最??？求出該點的曲率半徑.解：.顯然R最小就是k最大， 令，得為唯一駐點.在內(nèi)，在內(nèi)，.所以為k的極大值點，從而也是最大值點，此時最小曲率半徑為.77. 求曲線y=lnx在與x軸交點處的曲率圓方程.解：由解得交點為(1，0).故曲率中心 曲率半徑為.故曲率圓方程為：.78. 一飛機沿拋物線路徑( y軸鉛直向上，單位為m )做俯沖飛行，在坐標原點O處飛機速度v=200 m·s-1，飛行員體重G=70kg，求飛機俯沖至最低點即原點O處時，座椅對飛行員的反力.解：，飛行員在飛機俯沖時受到的向心力 (牛頓)故座椅對飛行員的反力 (牛頓).79. 設(shè)總收入和總成本分

27、別由以下兩式給出：其中q為產(chǎn)量，0q1000，求：(1)邊際成本；(2)獲得最大利潤時的產(chǎn)量；(3)怎樣的生產(chǎn)量能使盈虧平衡？解：(1) 邊際成本為：(2) 利潤函數(shù)為令,得即為獲得最大利潤時的產(chǎn)量.(3) 盈虧平衡時： R(q)=C(q)即 3.9q0.003q2300=0q21300q+100000=0解得q=1218(舍去)，q=82.80. 設(shè)生產(chǎn)q件產(chǎn)品的總成本C(q)由下式給出：C(q)=0.01q30.6q2+13q.(1)設(shè)每件產(chǎn)品的價格為7元，企業(yè)的最大利潤是多少？(2)當固定生產(chǎn)水平為34件時，若每件價格每提高1元時少賣出2件，問是否應(yīng)該提高價格？如果是，價格應(yīng)該提高多少？

28、解：(1) 利潤函數(shù)為令，得 即 得(舍去) 此時， (元)(2)設(shè)價格提高x元，此時利潤函數(shù)為令, 得故應(yīng)該提高價格，且應(yīng)提高5元.81. 求下列初等函數(shù)的邊際函數(shù)、彈性和增長率：(1) y=ax+b；(其中a，bR，a0)解：y=a即為邊際函數(shù).彈性為： ,增長率為： .(2) y=aebx；解：邊際函數(shù)為：y=abebx彈性為： ,增長率為： .(3) y=xa解：邊際函數(shù)為：y=axa1.彈性為： ,增長率為： 82. 設(shè)某種商品的需求彈性為0.8，則當價格分別提高10%，20%時，需求量將如何變化？解：因彈性的經(jīng)濟意義為：當自變量x變動1%，則其函數(shù)值將變動.故當價格分別提高10%，

29、20%時，需求量將分別提高0.8×10%=8%，0.8×20%=16%.83. 國民收入的年增長率為7.1%，若人口的增長率為1.2%，則人均收入年增長率為多少？解：人均收入年增長率=國民收入的年增長率人口增長率=7.1%1.2%=5.9%.習(xí)題三1. 驗證：函數(shù)在上滿足羅爾定理的條件，并求出相應(yīng)的，使.證：在區(qū)間上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，即在上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理，至少存在一點使.事實上，由得故取，可使.2. 下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的三個條件？有沒有滿足定理結(jié)論中的？ ； ； 解：在上不連續(xù)，不滿足羅爾定理的條件.而，即在（0，1）內(nèi)不存在，使.羅爾定

30、理的結(jié)論不成立. 不存在，即在區(qū)間內(nèi)不可導(dǎo)，不滿足羅爾定理的條件. 而 即在（0，2）內(nèi)不存在，使.羅爾定理的結(jié)論不成立.因,且在區(qū)間上不連續(xù)，不滿足羅爾定理的條件.而,取，使.有滿足羅爾定理結(jié)論的. 故羅爾定理的三個條件是使結(jié)論成立的充分而非必要條件.3. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有幾個零點？各位于哪個區(qū)間內(nèi)？解：因為，則分別在2，1，1，0，0，1，1，2上應(yīng)用羅爾定理，有使得.因此，至少有4個零點，且分別位于內(nèi).4. 驗證：拉格朗日定理對函數(shù)在區(qū)間0，1上的正確性. 驗證：因為在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理的條件.由得解得，即存在使得拉格朗日定理的結(jié)論成立.5. 如果在a，b上

31、連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)且證明：.證明：因為在a, b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，故在a，x上應(yīng)用拉格朗日定理，則，使得,于是,故有6. 設(shè)，且,在a，b內(nèi)存在，證明：在（a，b）內(nèi)至少有一點，使.證明：在a，b內(nèi)存在，故在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，故由羅爾定理知，使得，使得，又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理知，使，即在（a，b）內(nèi)至少有一點，使.7. 已知函數(shù)在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：在（a，b）內(nèi)至少有一點，使得.證明：令在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，使得，即,即8. 證明恒等式：證明：令, 故，又因,所以,即9. 對函數(shù)及在上驗證柯

32、西定理的正確性.驗證：，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，滿足柯西定理的條件.由 ,得 ,故滿足柯西定理的結(jié)論.10. 設(shè)在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，且試證：在內(nèi)至少存在一點，使.證明：首先，對在上應(yīng)用羅爾定理，有，即，使得；其次，對在上應(yīng)用羅爾定理，有，即，使得一般地，設(shè)在內(nèi)已找到個點其中使得，則對在上應(yīng)用羅爾定理有使得.11. 利用洛必達法則求下列極限：; ; ; ; ; ; ; ;.解： 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式 . 原式= 令 原式=. 令，則 原式=. 令，則 原式=. 原式 原式 原式 令，則原式=. 令，則12. 求下列極限問

33、題中，能使用洛必達法則的有（）. ； 解：不存在,（因，為有界函數(shù)）又,故不能使用洛必達法則. 不存在, 而 故不能使用洛必達法則. 利用洛必達法則無法求得其極限.而.故答案選（2）.13. 設(shè),求常數(shù), 的值.解：要使成立，則,即又得14. 設(shè)二階可導(dǎo)，求.解：15. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) ；解：所給函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且可得函數(shù)的兩個駐點：,在內(nèi)，分別取+，+號，故知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少.(2) ；解: 函數(shù)有一個間斷點在定義域外，在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，且，則函數(shù)有駐點，在部分區(qū)間內(nèi)，；在內(nèi)>0，故知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，而在內(nèi)單調(diào)減少.(3) ；解: 函數(shù)定義域

34、為，,故函數(shù)在上單調(diào)增加.(4) ；解: 函數(shù)定義域為,，則函數(shù)有駐點: ,在內(nèi)， ，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)， ，函數(shù)單調(diào)增加.(5) ；解: 函數(shù)定義域為，函數(shù)的駐點為,在上，函數(shù)單調(diào)增加；在上，函數(shù)單調(diào)減少.(6) ；解: 函數(shù)定義域為,1) 當時， ，則；.2) 當時， ，則.綜上所述，函數(shù)單調(diào)增加區(qū)間為，函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間為.(7) .解: 函數(shù)定義域為.函數(shù)駐點為,在內(nèi)， ,函數(shù)單調(diào)增加，在上， ,函數(shù)單調(diào)減少，在上， ,函數(shù)單調(diào)增加，在內(nèi)， ,函數(shù)單調(diào)增加.故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為: ，.16. 證明下列不等式:(1) 當時， 證明: 令則,當時， 為嚴格單調(diào)增加的函數(shù)，故,即(2) 當時，

35、證明: 令,則,則為嚴格單調(diào)減少的函數(shù),故,即為嚴格單調(diào)減少的函數(shù),從而,即17. 證明：不等式證明：令在0，x上應(yīng)用拉格朗日定理，則使得即,因為，則即設(shè)證明：證明：令,在b，a上應(yīng)用拉格朗日定理，則使得因為,則,即設(shè)證明：證明：令在b，a上應(yīng)用拉格朗日定理，則使得因為，所以,即.設(shè)證明：證明：令，,應(yīng)用拉格朗日定理，有即18. 試證:方程只有一個實根.證明:設(shè)，則為嚴格單調(diào)減少的函數(shù)，因此至多只有一個實根.而，即為的一個實根，故只有一個實根，也就是只有一個實根.19. 求下列函數(shù)的極值:(1) ；解: ,令，得駐點.又因，故為極小值點，且極小值為.(2) ；解: ,令，得駐點,故極大值為，極

36、小值為.(3) ；解: ,令，得駐點.,故極大值為，極小值為.(4) ；解: ，令，得駐點.,故為極大值.(5) ；解: ，令，得駐點.故為極大值，為極小值.(6) ；解: ,令，得駐點且在定義域內(nèi)有一不可導(dǎo)點，當時， ;當時， ,故為極大值點，且極大值為.因為函數(shù)定義域為，故不是極值點.(7) ；解: ,令，得駐點.當時， ；當，,故極大值為.(8) ；解: ,令，得駐點.,故極大值為，極小值為.(9) ；解: ,令，得駐點.，故為極大值點，其對應(yīng)的極大值為;為極小值點，對應(yīng)的極小值為.(10) ；解: ,令，得駐點.當時， ，當時， ,故極大值為.(11) ；解: ,令，得駐點.,故極小值

37、為.(12) ；解: ，無駐點. y的定義域為，且y在x=1處不可導(dǎo)，當x>1時，當x<1時， ，故有極大值為.(13) ；解: .無駐點.y在處不可導(dǎo)，但恒小于0，故y無極值.(14) .解: , y為嚴格單調(diào)增加函數(shù)，無極值點.20. 試證明：如果函數(shù)滿足條件，那么這函數(shù)沒有極值.證明：，令，得方程，由于 ，那么無實數(shù)根，不滿足必要條件，從而y無極值.21. 試問a為何值時，函數(shù)在處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值.解：f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，故在處取得極值，必有，得a=2.又 ，所以是極大值點，極大值為.22. 求下列函數(shù)的最大值、最小值：；解：y的定義域為，得唯一駐點

38、x=3且當時，y單調(diào)遞減；當時，y單調(diào)遞增,因此x=3為y的最小值點，最小值為f(3)=27.又，故f(x)無最大值.；解：，在上得唯一駐點，又 ,故函數(shù)在5，1上的最大值為，最小值為.解：函數(shù)在(1，3)中僅有兩個駐點x=0及x=2，而 y(1)=5， y (0)=2， y (2)=14， y (3)=11,故在1，3上，函數(shù)的最大值是11，最小值為14.23. 求數(shù)列的最大的項.解：令,令得x=1000.因為在(0，1000)上，在上,所以x=1000為函數(shù)y的極大值點，也是最大值點，.故數(shù)列的最大項為.24. 設(shè)a為非零常數(shù)，b為正常數(shù)，求y=ax2+bx在以0和為端點的閉區(qū)間上的最大值

39、和最小值.解：得不可能屬于以0和為端點的閉區(qū)間上,而 ,故當a>0時，函數(shù)的最大值為，最小值為;當a<0時，函數(shù)的最大值為，最小值為.25. 已知a>0，試證：的最大值為.證明： 當x<0時，;當0<x<a時，;此時令，得駐點，且，當x>a時，,又，且.而的最大值只可能在駐點，分界點，及無窮遠點處取得故 .26. 在半徑為r的球中內(nèi)接一正圓柱體，使其體積為最大，求此圓柱體的高.解：設(shè)圓柱體的高為h, 則圓柱體底圓半徑為，令, 得即圓柱體的高為時，其體積為最大.27. 某鐵路隧道的截面擬建成矩形加半圓形的形狀(如12題圖所示)，設(shè)截面積為am2，問底寬x

40、為多少時，才能使所用建造材料最省?解：由題設(shè)知得 12題圖 截面的周長令得唯一駐點，即為最小值點.即當時，建造材料最省.28. 甲、乙兩用戶共用一臺變壓器(如13題圖所示)，問變壓器設(shè)在輸電干線AB的何處時，所需電線最短？解：所需電線為13題圖在0<x<3得唯一駐點x=1.2(km)，即變壓器設(shè)在輸電干線離A處1.2km時，所需電線最短.29. 在邊長為a的一塊正方形鐵皮的四個角上各截出一個小正方形，將四邊上折焊成一個無蓋方盒，問截去的小正方形邊長為多大時，方盒的容積最大？解：設(shè)小正方形邊長為x時方盒的容積最大.令得駐點(不合題意，舍去)，.即小正方形邊長為時方盒容積最大.30.

41、判定下列曲線的凹凸性：(1) y=4xx2；解：，故知曲線在內(nèi)的圖形是凸的.(2) ；解：由sinhx的圖形知，當時，當時，故y=sinhx的曲線圖形在內(nèi)是凸的，在內(nèi)是凹的.；解：，故曲線圖形在是凹的.(4) y=xarctanx.解：，故曲線圖形在內(nèi)是凹的.31. 求下列函數(shù)圖形的拐點及凹或凸的區(qū)間：；解：，令可得.當時，故曲線在內(nèi)是凸弧；當時，故曲線在內(nèi)是凹弧.因此是曲線的唯一拐點.(2) ；解：令，得x=2當x>2時，即曲線在內(nèi)是凹的；當x<2時，即曲線在內(nèi)是凸的.因此(2，2e2)為唯一的拐點.；解：故函數(shù)的圖形在內(nèi)是凹的，沒有拐點.(4) y=ln (x2+1)；解：令得

42、x=1或x=1.當1<x<1時，即曲線在1，1內(nèi)是凹的.當x>1或x<1時，即在內(nèi)曲線是凸的.因此拐點為(1，ln2)，(1，ln2).；解：令得.當時，即曲線在內(nèi)是凸的；當時，即曲線在內(nèi)是凹的，故有唯一拐點.(6) y=x4(12lnx7).解：函數(shù)y的定義域為(0，+)且在定義域內(nèi)二階可導(dǎo).令，在(0，+)，得x=1.當x>1時，即曲線在內(nèi)是凹的;當0<x<1時，即曲線在(0，1內(nèi)是凸的，故有唯一拐點(1，7).32. 利用函數(shù)的圖形的凹凸性，證明下列不等式：;證明：令 ，則曲線y=f(x)是凹的，因此，,即 .;證明：令f(x)=ex.則曲線y=

43、f(x)是凹的，則 即 .證明：令 f(x)=xlnx (x>0)則曲線是凹的，xy，有即 ，即 .33. 求下列曲線的拐點：解：令，得t=1或t=1則x=1，y=4或x=1，y=4當t>1或t<1時，曲線是凹的，當0<t<1或1<t<0時，曲線是凸的，故曲線有兩個拐點(1，4)，(1，4).(2) x=2acot， y=2asin2.解：令，得或，不妨設(shè)a>0，不失一般性，當時，即時，當或時，即或時，,故當參數(shù)或時，都是y的拐點，且拐點為及.34. 試證明：曲線有三個拐點位于同一直線上.證明：，令，得當時，；當時；當時；當時,因此，曲線有三個拐點(1，1)，.因為 =0因此三個拐點在一條直線上.35. 問a，b為何值時，點(1，3)為曲線y=ax3+bx2的拐點？解：y=3ax2+2bx, y=6ax+2b依題意有解得 .36. 試決定曲線y=ax3+bx2+cx+d中的a，b，c，d，使得x=2處曲線有水平切線，(1，10)為拐點，且點(2，44)在曲線上.解：令f(x)= ax3+bx2+cx+d聯(lián)立f(2)=44，f (2)=0，f(1)=10，f