高中數(shù)學(xué)校本課程(整理)

1、競賽講座一 函數(shù)的性質(zhì)第一講 函數(shù)的單調(diào)性一學(xué)習(xí)目標會判斷較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能利用函數(shù)的單調(diào)性解決最值問題及解不等式、解方程。二知識要點單調(diào)性的定義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，抽象函數(shù)的單調(diào)性三例題講解例1.已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由題意知在上為減函數(shù)，所以 ， 在上為減函數(shù)，所以 ，且當時， ，由得答案為C.例2 已知函數(shù)，判斷該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由【講解】用定義判斷。 設(shè)0,=+ =+ =()() 0,又 ()()0 該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增。例3. 已知f ( x )=x2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2x

2、2 )，求g ( x )的單調(diào)增區(qū)間 【講解】很明顯這是一個復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，所以應(yīng)“分層剝離”為兩個函數(shù) t=x2+2 y = f ( t ) =t 2 + 2t + 8 對于f ( t ) =+9,可知當時是增函數(shù)，當時是減函數(shù)。對于由t=x2+21得 ，當時是增函數(shù)，當時是減函數(shù)。由t=x2+21得或，當時是增函數(shù)，當時是減函數(shù)。由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間是和(0,1)。例4. 已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。（1）如果函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，求的值。（2）設(shè)常數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值；（3）當是正整數(shù)時，研究函

3、數(shù)的單調(diào)性，并說明理由?！局v解】： (1) 由已知得=4, b=4. (2) c1,4, 1,2, 于是,當x=時, 函數(shù)f(x)=x+取得最小值2.f(1)f(2)=,當1c2時, 函數(shù)f(x)的最大值是f(2)=2+；當2c4時, 函數(shù)f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)設(shè)0<x1<x2,g(x2)g(x1)=. 當<x1<x2時, g(x2)>g(x1), 函數(shù)g(x)在,+)上是增函數(shù)； 當0<x1<x2<時, g(x2)>g(x1), 函數(shù)g(x)在(0, 上是減函數(shù). 當n是奇數(shù)時,g(x)是奇函數(shù),函數(shù)g(x) 在(,上

4、是增函數(shù), 在,0)上是減函數(shù). 當n是偶數(shù)時, g(x)是偶函數(shù), 函數(shù)g(x)在(,)上是減函數(shù), 在,0上是增函數(shù).例5 設(shè)x, yR，且滿足，求x+y.【講解】 設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-，+）上遞增。事實上，若a<b，則f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)遞增。由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例6 已知函數(shù)的定義域為R，且對任意R都有，當時，試判斷在區(qū)間3,3上是否有最大值或最小值，若有，求出其最大值或最小值，若沒有，說明理由.【講解

5、】： 設(shè)R且，則，所以. 所以在R上為減函數(shù)，在3,3上，.因為，令則，令，則，所以，所以為奇函數(shù)，所以在區(qū)間3,3上，.例7 已知函數(shù)的定義域為，且同時滿足：（1）（2）恒成立（3）若，則有. 求函數(shù)的最大值和最小值 .【講解】：設(shè)，由（2）知.則，即，所以在為增函數(shù).故函數(shù)在的最大值和最小值分別為和.在(3)中令，得，根據(jù)（2）知，所以函數(shù)的最大值和最小值分別為3和0.四課后練習(xí)1.填空：（1）函數(shù)的遞增區(qū)間是_ _ _（2）函數(shù)遞減區(qū)間是_ _2.奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范圍。3.解方程：ln(x)ln(2x)3x

6、04. 設(shè)是定義在R上的函數(shù)并滿足下列兩個條件：對任意0,1都有；且.（1）求；（2）求證：當時，在 0,1上是增函數(shù).5. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當 時，有.（1）證明在是增函數(shù)；（2）解不等式第二講 函數(shù)的奇偶性與對稱性一學(xué)習(xí)目標利用函數(shù)的奇偶性及圖像的對稱性等性質(zhì)解決與函數(shù)有關(guān)的問題時，巧妙利用數(shù)形結(jié)合，使得問題得到簡化，從而達到解決問題的目的.二知識要點1.奇偶性的定義。2.奇、偶函數(shù)的定義域必是關(guān)于數(shù)軸原點對稱的區(qū)域。 3.奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱。4.對稱性的幾個結(jié)論：若函數(shù)對定義域內(nèi)的一切有：=，則函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱。 =，則函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱。

7、=或=（為常數(shù)），函數(shù)圖像關(guān)于對稱。 與=關(guān)于軸對稱；與=關(guān)于軸對稱； 與=關(guān)于原點對稱；與=關(guān)于對稱。三例題講解例1函數(shù)的圖像關(guān)于（ ）A軸對稱 B 直線對稱 C 坐標原點對稱 D 直線對稱【答案】C【解析】是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點對稱?？疾楹瘮?shù)奇偶性的性質(zhì)。例2.函數(shù),若，則的值為 （ ）A.3 B.0 C.-1 D.-2【答案】B【解析】為奇函數(shù)，又故即例3. f ( x )是奇函數(shù)，x0時，f ( x ) = x · (43x)，那么x0時f ( x ) = _【答案】x · (4+3x)【解析】設(shè)x0，則 x0，f ( x ) = x · (4+3x)

8、，又f ( x )是奇函數(shù)= = x · (4+3x)，= x · (4+3x)例4.設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù),且當時是單調(diào)函數(shù),則滿足的所有之和為 ( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性性質(zhì)的運用。依題當滿足時，即時，得，此時又是連續(xù)的偶函數(shù)，另一種情形是，即，得，滿足的所有之和為例5.若定義在R上的函數(shù)滿足：對任意，有,則下列說法一定正確的是 （ ）(A) 為奇函數(shù)（B）為偶函數(shù)(C) 為奇函數(shù)（D）為偶函數(shù)【答案】C【解析】令，得，所以 ，即，所以 為奇函數(shù),選C例6 函數(shù)y = f ( x ) 對任意實數(shù)x，總有 （1）f (ax) =

9、 f ( b + x )，這里a，b是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結(jié)論； （2）f (ax) =f ( b + x )，這里a，b是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結(jié)論 【解（1）】 設(shè)y = f (ax) = f ( b + x )則點P (ax，y)，Q ( b + x， y) 都在函數(shù)y = f (x)的圖像上 ，且P、Q兩點縱坐標相等， PQ垂直直線，且被其平分， P、Q 兩點關(guān)于直線 對稱 ，而P、Q又是曲線y = f (x)上的動點， 函數(shù)y = f (x)的圖像關(guān)于直線 對稱問題:當a=0,b=0函數(shù)f(x)具有什么性質(zhì)? 特別地，若f（a+x）f（ax），函數(shù)f

10、（x）的圖象關(guān)于直線xa對稱；【解（2）】設(shè) y= f (ax)=f (b + x ) 則點R (ax，y)，S ( b+x，y)都在函數(shù)y = f (x) 的圖像上 線段RS的中點是定點M（ ） 即R、S兩點關(guān)于定點M 對稱，而R、S是曲線y = f (x)上的動點 函數(shù)y = f (x)的圖像關(guān)于點 M（ ）對稱特別地，若f（a+x）f（ax），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，0）中心對稱.例7.已知函數(shù)f（x）的定義域為R，則下列命題中:若f（x2）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x2對稱；若f（x+2）f（x2），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；函數(shù)yf（2+x）與函數(shù)yf（2

11、x）的圖象關(guān)于直線x2對稱；函數(shù)yf（x2）與函數(shù)yf（2x）的圖象關(guān)于直線x2對稱.其中正確的命題序號是 .【答案】【解析】中的圖像可由的圖像向左平移2個單位得到，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x2對稱；中條件可得函數(shù)f（x）的周期為8；中函數(shù)yf（2+x）的圖像可由的圖像向左平移2個單位得到，函數(shù)yf（2x）的圖象可由函數(shù)=向右平移2個單位得到，而與=的圖像關(guān)于軸對稱，函數(shù)yf（2+x）與函數(shù)yf（2x）的圖象仍關(guān)于軸對稱；與同理。例8設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（ ）A3B2C1D【答案】A【解析】：、在數(shù)軸上表示點到點、的距離，他們的和關(guān)于 對稱，因此點、關(guān)于對稱，所以（直接去絕對

12、值化成分段函數(shù)求解比較麻煩，如取特殊值解也可以）例9. 已知函數(shù)f（x）的定義域為xxR且x1，f（x+1）為奇函數(shù)，當x1時，f（x）2x2x+1，則當x1時，f（x）的遞減區(qū)間是 ( )A ，+） B（1， C ，+） D（1， 【答案】C【解析】f（x+1）為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，函數(shù)yf（x）的圖像可由的圖像向右平移1個單位得到，yf（x）的圖像關(guān)于點（1，0）對稱。先畫出當x1時，f（x）2x2x+1的圖像，根據(jù)對稱性畫出當x1時的圖像，得到f（x）的遞減區(qū)間是C例10.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x3)f(x)，當0x 時，f(x)x，則f(2003)( )A.1 B.0

13、 C.1 D.2003【答案】A【解析】法一：f(x3)f(x)，f(x6)f(x3)= （f(x)）= f(x) f(x)是周期為6的周期函數(shù)，f(2003)= f(1) 又f(x)是R上的奇函數(shù) f(1)= f(1) 當0x 時，f(x)= f(1)=1 f(2003)=1法二：f(x3)f(x)，f(x6)f(x3)= （f(x)）= f(x) f(x)是周期為6的周期函數(shù)，f(2003)= f(1)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x)f(x) 又f(x3)f(x) f(x3)f(x) f(x)的圖像關(guān)于x=對稱，當0x 時，f(x)，可根據(jù)對稱性畫出在區(qū)間0,3上的圖像，再根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)

14、于原點對稱，畫出在區(qū)間3,0上的圖像由圖可知f(2003)= f(1)=1 x1.530y31.5 注：有時畫圖比較直觀，能更快找到答案。四課后練習(xí)1. 設(shè)是R上的任意函數(shù),則下列敘述正確的是 （ ） (A)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù) (C) 是偶函數(shù) (D) 是偶函數(shù)2. 已知函數(shù) f ( x ) 對任意實數(shù)a，b都有 ，且f（0）0，則f ( x )是 （ ）（A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）是奇函數(shù)也是偶函數(shù)（D）既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)3.函數(shù)yf(x)的圖像與函數(shù)g(x)log2x(x0)的圖像關(guān)于原點對稱，則f(x)的表達式為(A)f(x)(x0) (B)f(x)log2(x

15、)(x0)(C)f(x)log2x(x0) (D)f(x)log2(x)(x0)4.定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對一切實數(shù)x都有f(x1)f(2x)成立，若f(x)0僅有101個不同的實數(shù)根，那么所有實數(shù)根的和為( )A.150 B. C.152 D. 5 函數(shù)y = f ( x )在 (-,0 上是減函數(shù)，而函數(shù) y = f (x+1)是偶函數(shù)設(shè) ，b = f ( 3 ) ，c = f ()那么a，b，c的大小關(guān)系是_.6. (2005年·福建) f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）0，則方程f（x）0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是 ( )A2 B3 C4

16、D5第三講 函數(shù)的周期性一學(xué)習(xí)目標能求周期函數(shù)的周期，能利用函數(shù)的周期性及圖像的對稱性等性質(zhì)解決與函數(shù)有關(guān)的問題提高學(xué)生的綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。二知識要點1.周期性的定義：如果函數(shù)yf(x)對于定義域內(nèi)任意的x，存在一個不等于0的常數(shù)T，使得f(xT)f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期.一般情況下，如果T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(kN)也是f(x)的周期2. 周期性的幾個結(jié)論若f（x+a）f（x+b）（ab），則f（x）是周期函數(shù)，ba是它的一個周期；若f（x+a）f（x）（a0），則f（x）是周期函數(shù)，2a是它的一個周期；若f（x+a） （a0且f（

17、x）0），則是周期函數(shù)2a是它的一個周期.三例題講解例1 已知函數(shù)f ( x )，對任意實數(shù)x，有下面四個關(guān)系式成立： （1）f ( x ) =f (x+a)（a為非零常數(shù)）； （2）f ( x ) = f (ax)（a為非零常數(shù)）； （3）f (ax) = f (bx)（a,b為常數(shù)且a2 + b20） （4）f (ax) =f (bx)(a,b為常數(shù)且a2+b20） 其中使f ( x )是周期函數(shù)的關(guān)系式是_ 【答案】（1），（3），（4）【解析】考查（1），f ( x )=f (x+a)說明“兩個自變數(shù)相差a，則函數(shù)值互為相反數(shù)”，于是相差2a時，函數(shù)值相等： f ( x )=f (x+

18、a) = f (x+2a) 等式（1）使f ( x )是周期函數(shù)，且2a是周期；考查（2），f ( x )=f (ax)表明函數(shù)f ( x )的圖像關(guān)于直線 對稱，這不一定能使其為周期函數(shù)； 考查（3），f (ax)= f (bx)表明自變數(shù)相差ab時， 函數(shù)值相等， 即 f ( x ) = f (ab+x) 等式（3）使f (x)是周期函數(shù)，且ab是周期 考查（4），f (ax) =f (bx)表明自變數(shù)相差ab時，函數(shù)值互為相反數(shù)，于是相差2（ab）時，函數(shù)值相等故（4）同（1），能使 f ( x )為周期函數(shù)，且 2（ab）是周期 綜上所述，應(yīng)填（1），（3），（4） 例2 f ( x

19、)是R上的以2為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且x(0，1)時， 則f ( x ) 在（1，2）上 （A）是增函數(shù)，且f ( x )0 （B）是減函數(shù)，且f ( x )0 （C）是增函數(shù)，且f ( x )0 （D）是減函數(shù)，且f ( x )0【答案】C【講解】認識f ( x )在（1，2）上的性質(zhì)，可以把f ( x )在（1，2）上的解析式求出來，或者由f ( x )的性質(zhì)去推斷： f ( x )的周期是2 f ( x )在（1，2）和（1，0）的性質(zhì)一致， f ( x )是奇函數(shù)， f ( x )在（1，0）和（0，1）上的增減性相同，但符號相反因此，函數(shù) f (x)在（0 , 1）上與（1，

20、2）上的增減性相同，而符號相反【解法1】0xÞ0x 在（0，1）上，1x是減函數(shù)， 是增函數(shù) 是增函數(shù)， 于是，f ( x )在（1，2）上是增函數(shù)，且f ( x )0故選（C） 【解法2】設(shè)x(1，2) 則1x20 且 f ( x ) = f (x2)， 1x20, 02x1 于是， f (x) 是奇函數(shù)， f (2x)f (x2)， 可見，f (x) 在（1，2）上是增函數(shù)，且f (x )0故選（C）例3.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm)f(xm),求證:2m是f(x)的一個周期. 【證明】：因為f(xm)f(xm)令xmt，則xmt2m 于是f(t2m)f(t)對于

21、tR恒成立， 所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).例4.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm)求證:2m是f(x)的一個周期.【證明】：由已知f(x2m)f(xm)mf(x)所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).例5.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求證:2|ab|是f(x)的一個周期.(ab)【證明】：不妨設(shè)ab于是f(x2(ab)f(a(xa2b)f(a(xa2b)f(2bx) f(b(xb)f(b(xb) f(x) 2(ab)是f(x)的一個周期當ab時同理可得所以，2|ab|是f(x)的周期例6.已知函數(shù)f(x)的定義域為N，且對任

22、意正整數(shù)x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)【解】：因為f(x)f(x1)f(x1) 所以f(x1)f(x)f(x2)兩式相加得0f(x1)f(x2) 即：f(x3)f(x) f(x6)f(x)f(x)是以6為周期的周期函數(shù)20046×334 f(2004)f(0)2004例7 f (x)是R上的奇函數(shù)，且對任何實數(shù)x，總有f (x+2)f (x)，且xÎ0，1時，f (x)x，則f (x)在R上的解析式為 【解】 f (x+2)f (x)， f (x+4)f (x+2)f (x)， f (x)是周期函數(shù)，4是周期 f (x)f (x)

23、f (x+2)f (x)， f (x)的圖像關(guān)于x1對稱，由上述這些性質(zhì)，及xÎ0，1時，y=x，得知f (x)的圖像如下：其中斜率為1的線段過點（4m，0），其中斜率為1的線段過點（4m+2，0）故解析式為例8.已知對于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求證：f(x)是偶函數(shù)；若存在正整數(shù)m使得f(m)0，求滿足f(xT)f(x)的一個T值(T0) 【證明】：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x)所以，f(x)為偶函數(shù)【解】：令axm，bm得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)

24、f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m=f(x2m) f(x) 即T4m(周期函數(shù))例9 設(shè) f (x)的定義域為R，其圖像關(guān)于直線 x2 和 x0對稱，且xÎ4，6時， f ( x )2 x + 1，那么在區(qū)間2，0上，f 1( x )的解析式為 （A）ylog2(x4) （B）y4log2(x1) （C）y4+log2(x1) （D）ylog2(x1) 【答案】B【分析】如何用好x2，x0是圖像對稱軸這個條件，并把兩者綜合而得新的性質(zhì)？ 這就要想到： yf (x)圖像關(guān)于xa對稱ÛxÎR時有f (x)f (2ax)【解】yf (x)的圖像關(guān)于x0對稱， f

25、( x )f (x)， yf (x)的圖像關(guān)于x2對稱， f (x)f (4+x)于是有f ( x )f (4+x) f ( x )是周期為4的函數(shù)， 當2x0時，0x2且x + 44，6 yf (x)的圖像關(guān)于x0對稱， f (x)f (x) 周期為4， f (x)f (x+4)2x+4+1 即在 2，0上，yf (x)2x+4 +1 2x+4y1 x+4log2(y1) x =4log2(y1) 2，0 上，f 1(x)4log2(x1) 四課后練習(xí)1. 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm)f(x),求證:2m是f(x)的一個周期.2.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm)=

26、 ， 求證:4m是f(x)的一個周期.3. 函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則_。4. 設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則( ) （） （） （） （）5. 例11.數(shù)列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN) 求a100； 求S100. 6. .設(shè)f(x)是一個從實數(shù)集R到R的一個映射,對于任意的實數(shù)x,都有|f(x)|1,并且 ，求證:f(x)是周期函數(shù). 競賽講座二 三角函數(shù)第四講 三角函數(shù)的性質(zhì) 一、知識要點三角運算的基本含義是應(yīng)用同角公式、誘導(dǎo)公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的統(tǒng)稱），對三角式作各種有目的的變形（主要指恒等變形），有時表現(xiàn)為計算求值、有時表現(xiàn)為推理證明。由于三角

27、公式很多，并且存在著聯(lián)系，因此一定要注意選擇公式的目的性與簡單性。二、例題選講1三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例1 設(shè)x(0, ), 試比較cos(sinx)與sin(cosx)的大小?！窘狻?若，則cosx1且cosx>-1，所以cos，所以sin(cosx) 0,又0<sinx1, 所以cos(sinx)>0，所以cos(sinx)>sin(cosx).若，則因為sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)<，所以0<sinx<-cosx<，所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).綜上，當x(0,

28、)時，總有cos(sinx)<sin(cosx).注：本例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。2三角最值問題例2 已知函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值?！窘夥ㄒ弧?令sinx=,則有y=因為，所以，所以1，所以當，即x=2k-(kZ)時，ymin=0，當，即x=2k+(kZ)時，ymax=2.【解法二】 因為y=sinx+=2（因為(a+b)22(a2+b2)），且|sinx|1，所以0sinx+2，所以當=sinx，即x=2k+(kZ)時, ymax=2，當=-sinx，即x=2k-(kZ)時, ymin=0。例3 若A，B，C為ABC三個內(nèi)角，

29、試求sinA+sinB+sinC的最大值。【解】 因為sinA+sinB=2sincos, sinC+sin, 又因為，由，得sinA+sinB+sinC+sin4sin,所以sinA+sinB+sinC3sin=,當A=B=C=時，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。3換元法的使用例4 求的值域?！窘狻?設(shè)t=sinx+cosx=因為所以又因為t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因為t-1，所以，所以y-1.所以函數(shù)值域

30、為注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。4圖象變換：y=sinx(xR)與y=Asin(x+)(A, , >0).由y=sinx的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，最后向左平移個單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。例5 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值?！窘狻?由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)

31、=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對任意xR成立。又0，解得=，因為f(x)圖象關(guān)于對稱，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ).又>0，取k=0時，此時f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=1時，=2，此時f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=2時，此時f(x)=sin(x+)在0，上不是單調(diào)函數(shù)，綜上，=或2.5三角公式的應(yīng)用例6 已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且，試求的值?！窘狻?因為A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，又由于=，所以=0。解得或。又&g

32、t;0，所以。三、課外練習(xí) 已知，且。則的值是_.2. 若動直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點，則的最大值為_.3. 若，則的取值范圍是_. 4. 把函數(shù)（）的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是_.5. 函數(shù)f(x)=() 的值域是_.6. 已知，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則_ 7. 已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且函數(shù)yf(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為（）求f（）的值；（）將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標舒暢長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)的單

33、調(diào)遞減區(qū)間.8. 若（）將函數(shù)化簡成（，）的形式；（）求函數(shù)的值域.9. 設(shè)函數(shù)，其中，將的最小值記為（I）求的表達式；（II）討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值10. 已知函數(shù)，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍11. 已知函數(shù)，（I）設(shè)是函數(shù)圖象的一條對稱軸，求的值（II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間12. 如圖，函數(shù)的圖象與軸交于點，且在該點處切線的斜率為（1）求和的值；（2）已知點，點是該函數(shù)圖象上一點，點是的中點，當，時，求的值第五講 解三角形一、知識要點1正弦定理：=2R（R為ABC外接圓半徑）。2余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA 面積公式：SABC

34、=absinC=bcsinA=acsinB；海倫公式：SABC=，這里 斯特瓦特定理：在ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則AD2= 注：在上式中，若p=q，則為中線長公式二、例題選講1正弦定理的應(yīng)用例1 在中，角所對應(yīng)的邊分別為，求及【解】 由得 ，又由得 即 由正弦定理得例2 如圖所示，ABC內(nèi)有一點P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。ABCP求證：AP·BC=BP·CA=CP·AB?！咀C明】 過點P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，則P，D，C，E；P，E，A，F(xiàn)；P，D，B，F(xiàn)三組四點共圓，所以ED

35、F=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由題設(shè)及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。所以EDF=600，同理DEF=600，所以DEF是正三角形。所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，兩邊同時乘以ABC的外接圓直徑2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得證：2一個常用的代換：在ABC中，記點A，B，C到內(nèi)切圓的切線長分別為x, y, z，則a=y+z, b=z+x, c=x+y.例3 在ABC中，求證：a

36、2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.【證明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，則abc=(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.3三角換元例4 在ABC中，若a+b+c=1，求證: a2+b2+c2+4abc<【證明】 設(shè)a=sin2cos2, b=cos2cos2, c=sin2, .因為a, b, c為三邊長，所以c<, c>|a-b|，從而，

37、所以sin2>|cos2·cos2|.因為1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin2cos2+sin2cos2·cos4·cos2=1-cos22+(1-cos22)cos4cos2=+cos2(cos4-cos22cos4-cos2)>+cos2(cos4-sin4-cos2)=.所以a2+b2+c2+4abc<三、課外練習(xí)1. 已知a，b，c為ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m

38、（），n（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csinC，則角B 2. 下面有五個命題：函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是.終邊在y軸上的角的集合是a|a=|.在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點.把函數(shù)函數(shù)其中真命題的序號是 （寫出所有正確的序號）3. 設(shè)的內(nèi)角所對的邊長分別為，且（）求的值；（）求的最大值4. 在中，角所對應(yīng)的邊分別為，求及5. 在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積6. 在中，（）求角的大?。唬ǎ┤糇畲筮叺倪呴L為，求最小邊的邊長7. 設(shè)A，B，C是ABC的三個內(nèi)角。若向量m =

39、，n =，且mn=.(1)求證：tanAtanB=； (2)求的最大值。8. 在中，已知內(nèi)角，邊設(shè)內(nèi)角，周長為（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值第六講 平面向量一、知識要點1.向量加減法中的三角形法則與平行四邊形法則；2.向量加減運算；3.實數(shù)與向量的積: 當時,與同向； 當時,與反向； 當時,.4.平面向量的數(shù)量積: 設(shè)兩個非0向量,()是與的夾角,則=.5.有關(guān)的公式,定理： 平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù),使. 兩個非0向量的平行與垂直的充要條件: (或)； (或). 線段的定比分點坐標公式:設(shè),且,則 , 中點

40、公式. 平移公式:如果點按向量平移至點,即=,整理可得:.二、例題選講1向量定義和運算法則的運用例1 設(shè)O是正n邊形A1A2An的中心，求證：【證明】 記，若，則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)后與原正n邊形重合，所以不變，這不可能，所以例2 給定ABC，求證：G是ABC重心的充要條件是【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點分別為D，E，F(xiàn)，延長AD至P，使DP=GD，則又因為BC與GP互相平分，ABCFGDE所以BPCG為平行四邊形，所以BGPC，所以 所以充分性。若，延長AG交BC于D，P使GP=AG，連結(jié)CP，則因為，則，所以GBCP，所以AG平分BC.同理BG平分CA.所以G為重心. 2證利用定理

41、證明共線例3 ABC外心為O，垂心為H，重心為G.求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2.【證明】 首先=其次設(shè)BO交外接圓于另一點E，則連結(jié)CE后得CE又AHBC，所以AH/CE。又EAAB，CHAB，所以AHCE為平行四邊形。所以所以，所以，所以與共線，所以O(shè)，G，H共線.所以O(shè)G：GH=1：2.3利用數(shù)量積證明垂直例4 給定非零向量a, b. 求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是ab.【證明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.例5 已知ABC內(nèi)接于O，AB=AC，D為AB中點，

42、E為ACD重心.求證：OECD.【證明】 設(shè)，則，又，所以a·(b-c). （因為|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因為AB=AC，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。所以a·(b-c)=0. 所以O(shè)ECD。4向量的坐標運算。例6 已知四邊形ABCD是正方形，BE/AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點F，求證：AF=AE?！咀C明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點建立直角坐標系，設(shè)正方形邊長為1，則A，B 坐標分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點的坐標為（x, y），則=(x, y-1), ，因為，所以-x-(y-1)=0.又因為，所以x

43、2+y2=2.由，解得所以設(shè)，則。由和共線得所以，即F，所以=4+，所以AF=AE。三、課外練習(xí)1. 若向量，滿足且與的夾角為，則 2. 已知平面向量，若，則_ 3. 直角坐標平面上三點，若為線段的三等分點，則= 4. 已知>0，若平面內(nèi)三點A（1，-），B（2，），C（3，）共線，則=_.5. 已知，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是_.6. 在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點若，則_.7. 直角坐標系中，分別是與軸正方向同向的單位向量在直角三角形中，若，則的可能值個數(shù)是_.8如圖，平面內(nèi)有三個向量、,其中與與的夾角為120°，與的

44、夾角為30°,且|1，|，若+（，R）,則+的值為 .9. 設(shè)平面上的向量，b，x，y滿足關(guān)系= yx，b=2xy,又設(shè)與b的模為1,且互相垂直,則與的夾角為 .10. 已知空間四邊形ABCD中，2222，求證：ACBD.競賽講座三 數(shù)列第七講 等差數(shù)列與等比數(shù)列數(shù)列一、學(xué)習(xí)目標數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考及高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考查的重點。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們在復(fù)習(xí)時應(yīng)給予重視。近幾年的數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。二、知識要點（一）、數(shù)列的基礎(chǔ)知識1數(shù)列an的通項an與前n項的和

45、Sn的關(guān)系它包括兩個方面的問題：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn；1.1 已知Sn求an對于這類問題，可以用公式an=.1.2 已知an求Sn這類問題實際上就是數(shù)列求和的問題。數(shù)列求和一般有三種方法：顛倒相加法、錯位相減法和通項分解法。2遞推數(shù)列：，解決這類問題時一般都要與兩類特殊數(shù)列相聯(lián)系，設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)問題，然后解決。（二）、等差數(shù)列與等比數(shù)列1定義：數(shù)列an為等差數(shù)列an+1-an=dan+1-an=an-an-1；數(shù)列bn為等比數(shù)列。2通項公式與前n項和公式：數(shù)列an為等差數(shù)列，則通項公式an=a1+(n-1)d, 前n項和Sn=.數(shù)列an為等比數(shù)列，則通項公

46、式an=a1qn-1, 前n項和Sn=.3性質(zhì)：等差數(shù)列若m+n=p+q，則am+an=ap+aq每連續(xù)m項的和仍組成等差數(shù)列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m組成等差數(shù)列等比數(shù)列若m+n=p+q，則aman=apaq每連續(xù)m項的和仍組成等比數(shù)列，即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m組成等比數(shù)列（4）函數(shù)的思想：等差數(shù)列可以看作是一個一次函數(shù)型的函數(shù)；等比數(shù)列可以看作是一個指數(shù)函數(shù)型的函數(shù)。可以利用函數(shù)的思想、觀點和方法分析解決有關(guān)數(shù)列的問題。（三）等差數(shù)列與等比數(shù)列數(shù)列問題的綜合性和靈活性如何表現(xiàn)？數(shù)列問題的綜合性主要表現(xiàn)在1數(shù)列中各相關(guān)量的關(guān)系較為復(fù)雜、隱蔽2同一問題中出現(xiàn)有若干個相關(guān)

47、數(shù)列，既有等差或等比數(shù)列，也有非等差，非等比的數(shù)列，需相互聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)換 數(shù)列問題的靈活性表現(xiàn)在： 1需靈活應(yīng)用遞推公式，通項公式，求和公式，尋求已知與所求的關(guān)系，減少中間量計算 2需靈活選用輔助數(shù)列，處理相關(guān)數(shù)列的關(guān)系 三、例題賞析例1 已知(bc)logm x+(ca)logm y+(ab)logm z0 (1) 若a、b、c依次成等差數(shù)列，且公差不為0，求證x、y、z成等比數(shù)列； (2) 若x、y、z依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證a、b、c成等差數(shù)列 分析 判斷三個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的充要條件，一是定義，二是中項公式 證明：（1） a、b、c依次成等差數(shù)列 bcd，ca2d， a

48、bd（d0）代入 得d（logm x2 logm y + logm z）0d0 ， y2xz，可知x、y、z 成等比數(shù)列（2） x、y、z 依次成等比數(shù)列 兩邊取對數(shù)，得 logm zlogm ylogm ylogm xlogm qlogm zlogm x2 logm q 式可變?yōu)閍（logm zlogmy）b（logm zlogmx）+ c（logm ylogmx）0 即 logm q（a2b + c）0 logm q0 2ba+c，可知a、b、c成等差數(shù)列 例2 在等差數(shù)列an中，已知a1>0,Sn是它的前n項的和.已知S3=S11，求Sn的最大值。解：由已知：S3=S11，故而因為

49、S3=S11，得a4+a5+a6+a10+a11=0.由于a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,所以a7+a8=0。故a7>0,a8<0,所以 S7最大。評說：(1)本題也可以利用函數(shù)的思想來解，即把Sn表示成某一變量的函數(shù)（比如n），然后再求這個函數(shù)的最大值。(2)本題還可以利用方程與不等式的思想來解，即Sn最大當且僅當an>0同時an+1<0，解這個不等式組即可。例3 已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn，且a1,a2,a3,an組成等差數(shù)列（n為正偶數(shù)），又f(1)=n2,f(-1)=n；（1）求數(shù)列an的通項an；（2）試比較f(0.5)與3的大小，并說明理由。分析：顯然，只要能把f(1)=n2,f(-1)=n轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項和公差的兩個方程即可。解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因為f(1)= a1+a2+a3+an=n2，則na1+d=n2,即2a1+(n-1)d=2n.又f(-1)= -a1+a2-a3+-an-1+an=n,即=n,d=2.解得a1=1.an=1+2(n-1)=2n-1.(2)f(0