曲線和曲面上的積分

1、曲線和曲面上的積分2曲面積分 曲面表示和曲面上的測(cè)度 第一型曲面積分(質(zhì)量) 第二型曲面積分(流量)3曲面的映射觀點(diǎn)定義 設(shè)a,bRk,: a,b Rn (nk+1) 若連續(xù),稱S=(a,b)為 Rn中的連續(xù)超曲面 若具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且ta,b,(t)滿秩, 稱S= (a,b)為 Rn中的k維光滑超曲面; 若是單射, S= (a,b)為 Rn中的k維正則超曲面 若連續(xù),且存在a,b可以分成m個(gè)內(nèi)部不相交的閉區(qū)域Wj, Lj=(Wj)是k維光滑(正則)超曲面,稱S=(a,b)為 Rn中的k維分片光滑(正則)超曲面4曲面的集合觀點(diǎn)定義 設(shè)SRn, 若存在: a,b Rk Rn, 有S= (a,

2、b) 若連續(xù), 就稱S為Rn中的一個(gè)連續(xù)超曲面, 稱為S的一個(gè)表示 若光滑且導(dǎo)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)不為零, 就稱S為Rn中的k維光滑超曲面, 稱為S的光滑表示 若光滑,單射且導(dǎo)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)不為零, 就稱S為 Rn中的一條正則曲面, 稱為S的正則表示5同一超曲面可以有不同的表示 同一超曲面可以有不同表示： 集合觀點(diǎn)下的正則超曲面一定有非正則的表示; 幾何上正則的超曲面未必有正則表示; 幾何上非正則的超曲面一定沒(méi)有正則表示 在下面的討論中, 我們總假設(shè) 連續(xù), S是正則或分片正則超曲面,是其相應(yīng)的表示 因此將對(duì)超曲面的兩種觀點(diǎn)統(tǒng)一6超曲面的分類 設(shè): a,b Rn (n2), 連續(xù) 若是單射,稱L=(a,b)為Rn中

3、的簡(jiǎn)單曲面 Rn中的閉超曲面：？ Rn中的簡(jiǎn)單閉超曲面：不帶邊的緊流形 7超曲面的方向(定向) 可定向曲面(雙側(cè)曲面) 不可定向曲面(單側(cè)曲面)8正則超曲面面積的定義 設(shè)a,bRk, :a,b Rn(nk+1),正則,S=(a,b), 定義S的k維面積為其中上標(biāo)T表示矩陣的轉(zhuǎn)置, )()(detbaTdttftfS9對(duì)超曲面面積公式的說(shuō)明 面積公式的推導(dǎo) Rn中k維平行2k面體的體積計(jì)算 用切超平面塊近似超曲面面積 n-1維超曲面的面積公式 由參數(shù)方程給出的曲面體積公式 由函數(shù)圖像給出的曲面體積公式10 Rn中k維平行2k面體的體積 設(shè)E是由Rn中k個(gè)線性無(wú)關(guān)向量V1,V2,Vk所張成的平行2

4、k面體, 由Schmidt正交化方法得到與其等體積的直角平行2k面體E0, 張成E0的k個(gè)向量是a1,a2,.,ak兩組向量間的關(guān)系 10*1 ,11kkVVaa11平行2k面體的體積(續(xù)1) 體積公式: |E|=|E0|=|a1|a2|ak|也就是 也就是22221202kEEaaakTkTTEEaaaaaa2121202det12平行2k面體的體積(續(xù)2) 由此就得到其中注意Vj都是列向量.VVETdet2kVVVV2113平行2k面體體積公式解釋 Binet-Cauchy公式: 設(shè)A=(aij)nk, B=(bij)nk, 則 對(duì)這個(gè)公式的解釋: Rn中的平行2k面體的體積的平方等于其在

5、 Rn中所有k維坐標(biāo)面中投影的平方和(一般勾股定理)kiiikiiikiiiniikiiikiiikiiiTkkkkkkkbbbbbbbbbaaaaaaaaaBA21212112121212221111222111det14用切超平面塊近似超曲面面積 設(shè)a,bRk,: a,b Rn (nk+1),正則, S= (a,b). 下面按微元法給出超曲面的面積公式: 任取a,b的一個(gè)分法W: W1,Wm. Sj=(Wj), j= 1, ,m. 取tjWj, 用近似Sj的體積, 然后求和-取極限就得到公式.jjTjtftfW)()(det15n-1維超曲面的面積公式(1) 由參數(shù)方程給出的曲面體積公式: 設(shè)a,bRn-1, : a,b Rn (nk+1) , 正則, S=(a,b). 此時(shí), 習(xí)慣上有下面的記法其中e表示第i個(gè)元素標(biāo)準(zhǔn)基向量ei的列向量 )( det)()(dettfetftfT16n-1維超曲面的面積公式(2) 由函數(shù)圖像給出的曲面體積公式: 函數(shù)圖像公式a,bRn-1, g: a,b R, (t)=(t, g(t), S=(a,b)2)(1)()(dettgtftfT17正則超曲面上的測(cè)度 設(shè)a,bR