《行列式的展開定理》ppt課件

1、引例引例,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 2223113233aaaaa 可見，三階行列式可經(jīng)過(guò)二階行列式來(lái)表示可見，三階行列式可經(jīng)過(guò)二階行列式來(lái)表示2123123133aaaaa 2122133132aaaaa 定義定義在在 n n 階行列式階行列式 中將元素中將元素 所在的所在的ijadet()ija第第 i 行與第行與第 j 列劃去，剩下列劃去，剩下 個(gè)元素按原

2、位置個(gè)元素按原位置2(1)n 次序構(gòu)成一個(gè)次序構(gòu)成一個(gè) 階的行列式，階的行列式，1n 111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa 稱之為元素稱之為元素 的余子式的余子式, ,記作記作 ijMija( 1)ijijijAM 令令稱稱 之為元素之為元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式ijaijA注：注： 行列式中每一個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式行列式中每一個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式無(wú)關(guān)，只與該元素所在行列式中的位置有關(guān)無(wú)關(guān)，只與該元素所在行列式中的位置有關(guān) 元素

3、元素 的余子式和代數(shù)余子式與的余子式和代數(shù)余子式與 的大小的大小ijaija511 111 3351111 1155 0M 例如例如3 333511( 1)11 1155 0A 元素除元素除 外都為外都為 0 0，那么，那么ija.ijijDa A 1.1.引理引理假設(shè)假設(shè)n 階行列式階行列式 D = 中的第中的第 i 行一切行一切det()ija511 111 3351111 1155 0M 例如例如3 333511( 1)11 1155 0A 3 33333331 ( 1).Da AM 證：證： 先證的情形，即先證的情形，即11ijaa

4、11212221200nnnnnaaaaDaaa 由行列式的定義，有由行列式的定義，有1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jjDaaa 222()112( 1)nnnjjjnjjjaaa 222112nnnnaaaaa 1111.a A 1111a M 結(jié)論成立結(jié)論成立. .普通情形：普通情形：111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijijinijiijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111,111,1111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1

5、,10000( 1)ijjjjniiijijijiniijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1111,11,11111,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,10000( 1)( 1)ijjjjnijijiijijinijiijijinnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2( 1)ijijija M ( 1)ijijija M ( 1).ijijijijijaMa A 結(jié)論成立結(jié)論成立. .111,11,1121,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1( 1)jjnijiijijinijii

6、jijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaa 例例1.1.計(jì)算行列式計(jì)算行列式 311 2513420111533D 解：解： 11130153D 511 0005 11 51111 1155 0 51162055 0 1 36 2( 1)55 40 2.定理定理行列式行列式 D D 等于它的任一行列的各元素與其等于它的任一行列的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即1122jjjjnjnjDa Aa Aa A1122iiiiininDa Aa Aa A 1nikikka A 1,2,in 1nkjkjka A 1,2,jn 或或行列式按行列展開法

7、那么行列式按行列展開法那么1111121211nnDa Aa Aa A證：證： 11121121200 0000niiinnnnnaaaaaaDaaa 1122iiiiinina Aa Aa A 11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ni, 2 , 1 例例2.2.計(jì)算計(jì)算n n階行列式階行列式 00 000 0.0 0 00 00na ba bDa bba 解：解： (1)0 000 00 00 00nna baDaa ba 111( 1)nnna ab b 1( 1).nnnab 1(1)

8、00 00 0( 1)0 000 0nnba bbba b 思索按照第一行或思索按照第一行或是最后一行或是最是最后一行或是最后一列展開后一列展開例例3.3.證明范德蒙行列式證明范德蒙行列式 1232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnxxxxxxxxDxxxxxx 特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.第一行都是第一行都是1。2.第二行是根本元素行。第二行是根本元素行。3.從第一行開場(chǎng)每一行是第二行的冪方式。從第一行開場(chǎng)每一行是第二行的冪方式。213113221()()()()()()nnnnxxxxxxxxxxxx 1()ijj i nxx 213132121()()()()()

9、()nnnnxxxxxxxxxxxx 先證明先證明3 3階范德蒙行列式階范德蒙行列式 312322213123213132111()()()().ijj iDxxxxxxxxxxxxxx 證明證明32112322212313111()0rrxxxxxx xxx x 211213122212313111() 00rrxxxxxxx xxx x 3D213132()()().xxxxxx 213122212313xxxxxx xxx x 21312311()()xxxxxx 證：用數(shù)學(xué)歸納法證：用數(shù)學(xué)歸納法. . 時(shí)，時(shí)， 211211.xxxx 2n 01 假設(shè)對(duì)于假設(shè)對(duì)于 階范德蒙行列式結(jié)論成

10、立即階范德蒙行列式結(jié)論成立即1n 02結(jié)論成立結(jié)論成立23222231222223111()nnnijj i nnnnnxxxxxxDxxxxx 把把 從第從第 n n 行開場(chǎng)，后面一行減去前面一行的行開場(chǎng)，后面一行減去前面一行的nD倍，得倍，得1x21311222212313112121221231311111000nnnnnnnnnnnnxxxxxxxx xxx xxx xDxx xxx xxx x 下證對(duì)于下證對(duì)于 n n 階范德蒙行列式階范德蒙行列式 結(jié)論也成立結(jié)論也成立. .nD2131122133112222213311()()()()()()nnnnnnnnxxxxxxxxxxx

11、xxxxxxxxxxxxx 23222232131122223111()()()nnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxx 1()ijj i nxx 范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少兩個(gè)相等中至少兩個(gè)相等120,nnDx xx 注：注：213111()()()nnxxxxxx D 213112()()()()nijj i nxxxxxxxx 范德蒙行列式另一方式：范德蒙行列式另一方式：211112121221333211111nnnnnnnxxxxxxxxxxxx 第一節(jié)的例第一節(jié)的例2：解方程：解方程21 112 30.4 9xx 例例4.4.計(jì)算計(jì)算2n2n階行列式階行列式 22nnab

12、abDbaba 其中未標(biāo)明的元素都是其中未標(biāo)明的元素都是0.解：解： 2(21)00000 0000000 00 0nnababDaba bbaa 2(22)0000000nabababa bba 21 12(22)0000( 1)000nnababbba bba 222(1)()nab D 22 22(2)()nabD 2212()nabD 221()na babb a 22()nab 21(21)0000 00( 1)0 000000 00 0nnababbbabab 3.推論推論行列式任一行列的元素與另一行列的行列式任一行列的元素與另一行列的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即對(duì)應(yīng)元素

13、的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,ijijninja Aa Aa Aij 11220,ijijinjna Aa Aa Aij 11211222120nna Aa Aa A 證證行行展展開開，有有按按第第把把行行列列式式j(luò)aDij)det( 11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaa Aa Aaaaa可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 11111111,niinijinjniinnnnaaaaa Aa Aaaaa行行第第 j行行第第 i一樣一樣11220,ijijninja Aa Aa Aij 11220.ijijinjna Aa Aa A 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,

14、ij 同理可證同理可證, , 10nikjkkDija Aij 10nkikjkDija Aij 綜合定理及推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：綜合定理及推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：代數(shù)余子式三種和方式比較代數(shù)余子式三種和方式比較11222.0,ijijinjna Aa Aa Aij 11221.iiiiininijna Aa Aa ADa定理定理推論推論1121314111213141MMMMAAAA 11112411113.,niiijjnnnnaaAAAaaaa 2和和3的解題的解題思緒：根據(jù)行思緒：根據(jù)行列式列式D構(gòu)造新構(gòu)造新的行列式。的行列式。例例5.5.設(shè)設(shè) 求求 35 211

15、105,1 3132413D 解：解：11121314AAAA 111111051 3132413 4. 和和11213141.MMMM 11121314AAAA 11213141MMMM11213141AAAA 15211 10513131413 0. 自然科學(xué)與工程技術(shù)中，我們會(huì)碰到未知數(shù)的自然科學(xué)與工程技術(shù)中，我們會(huì)碰到未知數(shù)的個(gè)數(shù)很多的線性方程組個(gè)數(shù)很多的線性方程組如如n元一次線性方程組元一次線性方程組11112211211222221122,(1).nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 它的解也有類似二元、三元一次線性方程組的結(jié)論它的解也有類似二

16、元、三元一次線性方程組的結(jié)論.三、克拉默法那么三、克拉默法那么Cramer,瑞士，瑞士，17041752定理定理 假設(shè)線性方程組假設(shè)線性方程組1的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa 那么方程組那么方程組()有獨(dú)一解有獨(dú)一解1212,nnDDDxxxDDD 2Cramer法那么法那么其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列(1,2, )jDjn Dj所得的一個(gè)所得的一個(gè) n 級(jí)行列式，即級(jí)行列式，即的元素用方程組的元素用方程組1的常數(shù)項(xiàng)代換的常數(shù)項(xiàng)代換 12,nb bb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn

17、 jnnaabaaaabaaDaabaa 1122jjnnjb Ab Ab A 1.nssjsb A 注解注解1 1：克拉默克拉默(Cramer)(Cramer)法那么中包含著兩個(gè)前提和三個(gè)結(jié)論：法那么中包含著兩個(gè)前提和三個(gè)結(jié)論：前提：前提：1 1線性方程組線性方程組1 1中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)；中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)；2 2線性方程組線性方程組1 1的系數(shù)矩陣的行列式不等于零的系數(shù)矩陣的行列式不等于零. .結(jié)論：結(jié)論：1線性方程組線性方程組1有解；有解；2線性方程組線性方程組1的解是獨(dú)一的；的解是獨(dú)一的；3線性方程組線性方程組1的解由公式的解由公式2給出給出.例例 5 用克拉默法

18、那么解方程組用克拉默法那么解方程組 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不等時(shí)程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不等時(shí), , 就不能用克拉就不能用克拉經(jīng)過(guò)上述例子經(jīng)過(guò)上述例子, , 我們看到用克拉默法那么求我們看到用克拉默法那么求解解線性方程組時(shí)線性方程組時(shí), ,要計(jì)算要計(jì)算 n+1 n+1 個(gè)個(gè) n n 階行列式階行列式, ,這個(gè)這個(gè)計(jì)算量是相當(dāng)大的計(jì)算量是相當(dāng)大的, , 所以所以, , 在詳細(xì)求解線性方程在詳細(xì)求解線性方程組時(shí)組時(shí), , 很少用克拉默法那么