數(shù)學(xué)模型方法分析簡述(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 數(shù)學(xué)模型方法分析簡述 函數(shù)關(guān)系可以說是一種變量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型方法是處理科學(xué)理論問題的一種經(jīng)典方法，也是處理各類實(shí)際問題的一般方法掌握數(shù)學(xué)模型方法是非常必要的在此，對數(shù)學(xué)模型方法作一簡述 數(shù)學(xué)模型方法（Mathematical Modeling)稱為MM方法它是針對所考察的問題構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的研究，使問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法 一、數(shù)學(xué)模型的含義 數(shù)學(xué)模型是針對于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對象，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出必要的簡化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，采用形式化語言，概括或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)它或者能解釋特定對

2、象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，或者能預(yù)測對象的未來狀態(tài)，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制數(shù)學(xué)模型既源于現(xiàn)實(shí)又高于現(xiàn)實(shí)，不是實(shí)際原形，而是一種模擬，在數(shù)值上可以作為公式應(yīng)用，可以推廣到與原物相近的一類問題，可以作為某事物的數(shù)學(xué)語言，可譯成算法語言，編寫程序進(jìn)入計(jì)算機(jī) 二、數(shù)學(xué)模型的建立過程 建立一個實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，需要一定的洞察力和想像力，篩選、拋棄次要因素，突出主要因素，做出適當(dāng)?shù)某橄蠛秃喕^程一般分為表述、求解、解釋、驗(yàn)證幾個階段，并且通過這些階段完成從現(xiàn)實(shí)對象到數(shù)學(xué)模型，再從數(shù)學(xué)模型到現(xiàn)實(shí)對象的循環(huán)可用流程圖表示如下： 表述 根據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的目的和掌握的信息，將實(shí)際問題翻譯成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言

3、確切地表述出來 這一個關(guān)鍵的過程，需要對實(shí)際問題進(jìn)行分析，甚至要做調(diào)查研究，查找資料，對問題進(jìn)行簡化、假設(shè)、數(shù)學(xué)抽象，運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)表達(dá)式去表現(xiàn)客觀對象及其關(guān)系如果現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不夠用時，可根據(jù)實(shí)際情況，大膽創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)概念和方法去表現(xiàn)模型 求解 選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ蟮脭?shù)學(xué)模型的解答 解釋 數(shù)學(xué)解答翻譯回現(xiàn)實(shí)對象，給實(shí)際問題的解答 驗(yàn)證 檢驗(yàn)解答的正確性 例如,哥尼斯堡一條普雷格爾河，這條河有兩個支流，在城中心匯合成大河，河中間有一小島，河上有七座橋，如圖1所示18世紀(jì)哥尼斯堡的很多居民總想一次不重復(fù)地走過這七座橋，再回到出發(fā)點(diǎn)可是試來試去總是辦不到，于是有人寫信給當(dāng)時著名的

4、數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉于1736年，建立了一個數(shù)學(xué)模型解決了這個問題他把、這四塊陸地抽象為數(shù)學(xué)中的點(diǎn)，把七座橋抽象為七條線，如圖2所示 圖1 圖2 人們步行七橋問題，就相當(dāng)于圖2的一筆畫問題，即能否將圖2所示的圖形不重復(fù)地一筆畫出來，這樣抽象并不改變問題的實(shí)質(zhì) 哥尼斯堡七橋問題是一個具體的實(shí)際問題，屬于數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)原型經(jīng)過理想化抽象所得到的如圖2所示的一筆畫問題便是七橋問題的數(shù)學(xué)模型在一筆畫的模型里，只保留了橋與地點(diǎn)的連接方式，而其他一切屬性則全部拋棄了所以從總體上來說，數(shù)學(xué)模型只是近似地表現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)原型中的某些屬性，而就所要解決的實(shí)際問題而言，它是更深刻、更正確、更全面地反映了現(xiàn)實(shí)，也正由此，對一

5、筆畫問題經(jīng)過一定的分析和邏輯推理，得到此問題無解的結(jié)論之后，可以返回到七橋問題，得出七橋問題的解答，不重復(fù)走過七座橋回到出發(fā)點(diǎn)是不可能的 數(shù)學(xué)模型，從廣義上講，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程式、各種函數(shù)關(guān)系，以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等都可以叫做數(shù)學(xué)模型從狹義上講，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系的結(jié)構(gòu)，才叫做數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)中,數(shù)學(xué)模型都作狹義解釋而建立數(shù)學(xué)模型的目的，主要是為了解決具體的實(shí)際問題 三、函數(shù)模型的建立 研究數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而借鑒數(shù)學(xué)模型，對提高解決實(shí)際問題的能力，以及提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是十分重要的建立函數(shù)模型的步驟可分為：

6、 (1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示； (2) 根據(jù)所給條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)或物理知識，確定等量關(guān)系； (3) 具體寫出解析式，并指明定義域例1 重力為的物體置于地平面上，設(shè)有一與水平方向成角的拉力，使物體由靜止開始移動，求物體開始移動時拉力與角之間的函數(shù)模型（圖3）解 由物理知，當(dāng)水平拉力與摩擦力平衡時，物體開始移動，而摩擦力是與正壓力成正比的（設(shè)摩擦系數(shù)為），故有 ,即 （0°<<90°）. 建立函數(shù)模型是一個比較靈活的問題，無定法可循，只有多做些練習(xí)才能逐步掌握 例2 在金融業(yè)務(wù)中有一種利息叫做單利設(shè)是本金，是計(jì)息的利率，是計(jì)息期滿應(yīng)付的利

7、息，是計(jì)息期數(shù)，是個計(jì)息期（即借期或存期）應(yīng)付的單利，是本利和求本利和與計(jì)息期數(shù)的函數(shù)模型解 ，即.由此得 ,單利與計(jì)息數(shù)成正比，即個計(jì)息期應(yīng)付的單利為 ,因?yàn)?,所以 ,本利和為 ,即 ,可得本利和與計(jì)息期數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即單利模型 . 四、數(shù)學(xué)建模方法數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程（見數(shù)學(xué)建模過程流程圖）數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段常用的數(shù)學(xué)建模方法如下：（一） 機(jī)理分析法 從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型的方法1. 比例分析法 建立變量之間函數(shù)

8、關(guān)系的最基本、最常用的方法. 2. 代數(shù)方法求解離散問題（離散的數(shù)據(jù)、符號、圖形）的主要方法. 3. 邏輯方法是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法，用以解決社會學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際問題，在決策論，對策論等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用. 4. 常微分方程解決兩個變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建立“瞬時變化率”的表達(dá)式 5. 偏微分方程解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律 （二） 數(shù)據(jù)分析法 從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計(jì)方法建立數(shù)學(xué)模型的方法 1. 回歸分析法用于對函數(shù)的一組觀測值，確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法 2. 時序分析法處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計(jì)方法 (三)仿真和其

9、他方法 1. 計(jì)算機(jī)仿真（模擬）實(shí)質(zhì)上是統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法，等效于抽樣試驗(yàn) 離散系統(tǒng)仿真有一組狀態(tài)變量 連續(xù)系統(tǒng)仿真有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 2. 因子試驗(yàn)法在系統(tǒng)上作局部試驗(yàn)，再根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu) 3. 人工現(xiàn)實(shí)法基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達(dá)到的目標(biāo)，并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化，人為地組成一個系統(tǒng) 五、名師談數(shù)學(xué)建模競賽 1全國人大常委會副委員長、著名數(shù)學(xué)家丁石孫 建模競賽，我認(rèn)為是一個非常有意義的活動很多人都知道，數(shù)學(xué)是非常重要的我們教了幾十年的數(shù)學(xué)，曾經(jīng)花了很多力氣想使得大家能夠認(rèn)識到數(shù)學(xué)的重要性，但是我們沒有找到一個合適的方法我覺得，建模競賽是一個

10、很好的方法，使得更多的學(xué)生，包括他們有關(guān)的朋友，能夠認(rèn)識到數(shù)學(xué)的真正用處因?yàn)?，?shù)學(xué)對于學(xué)生的培養(yǎng)，不只是數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式，這其實(shí)是次要的，像剛才同學(xué)所說的，更重要的是培養(yǎng)同學(xué)一個正確的思想方法，而且依據(jù)自己所學(xué)到的知識，能夠不斷創(chuàng)新，不斷地找出新的途徑這不是在課堂里死啃幾個定理就能夠解決的我們用什么辦法才能讓更多的人，更多的學(xué)生認(rèn)識到這個事情呢？我覺得，建模競賽是一個很好的方法 2前教育部副部長周遠(yuǎn)清 數(shù)學(xué)建模競賽的特點(diǎn)是題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實(shí)際問題簡化加工而成，對數(shù)學(xué)知識要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神由于競賽是由三名大學(xué)生組成一

11、隊(duì)，在三天時間內(nèi)分工合作，共同完成一篇論文，因而也培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神加之競賽評獎以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)，因此，這項(xiàng)活動的開展有利于對學(xué)生知識、能力和素質(zhì)的全面培養(yǎng)，既豐富、活躍了廣大同學(xué)的課外生活，也為優(yōu)秀學(xué)生脫穎而出創(chuàng)造了條件3中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會理事長、中科院院士曾慶存 同學(xué)們不要忘記，中華文化是博大精深的，很可能下個世紀(jì)是中西文化的合璧現(xiàn)在已經(jīng)有很多苗頭，光靠西方的演繹或者是還原論的東西解決不了問題，說不定要借助于東方的文化，正像萊布尼茨借助于中國的哲學(xué)一樣，還有控制論、系統(tǒng)論是借助于中國的思維希望同學(xué)們看怎么樣能夠把中華文化的精華和

12、西方的結(jié)合起來，我看我們大有前途下個世紀(jì)，有人說是知識經(jīng)濟(jì)，是美國人提出來的，我們可以同意，也可以不同意但有一點(diǎn)，知識在經(jīng)濟(jì)或者社會發(fā)展當(dāng)中所占的比例是越來越大,甚至?xí)饹Q定性的作用，而知識思維的方式，不管是定量的或是定性的描述，都離不開數(shù)學(xué)我希望同學(xué)們加把勁，把我國實(shí)現(xiàn)中等發(fā)達(dá)的過程更縮短一點(diǎn) 4葉其孝、姜啟源教授談大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模：不僅僅是一項(xiàng)競賽 數(shù)學(xué)建模，專家給它下的定義是：“通過對實(shí)際問題的抽象、簡化，確定變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些規(guī)律建立起變量、參數(shù)間的確定的數(shù)學(xué)問題（也可稱為一個數(shù)學(xué)模型），求解該數(shù)學(xué)問題，解釋驗(yàn)證所得到的解，從而確定能否用于解決問題多次循環(huán)、不斷深化的過程

13、”簡而言之，就是建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實(shí)際問題的過程 1985年，美國率先舉辦了大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 1992年中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會開始組織全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 1994年起,這項(xiàng)競賽由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同組織 姜啟源教授介紹說，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是面向全國大學(xué)生的群眾性科技活動參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計(jì)算機(jī)方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文（即答卷）競賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當(dāng)簡化加工的實(shí)現(xiàn)問題，有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)全國大學(xué)

14、生數(shù)學(xué)建模競賽的規(guī)模逐年擴(kuò)大，參賽學(xué)生也從幾百人增加到幾千人每年還有不少學(xué)生參加美國大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競賽，成績優(yōu)秀，在國際上產(chǎn)生了很大的影響為什么這樣的單項(xiàng)競賽能夠產(chǎn)生如此的吸引力呢？開展這項(xiàng)競賽并開設(shè)相關(guān)的課程，對高等院校的教學(xué)工作會起什么樣的作用？對大學(xué)生全面素質(zhì)的提高又有什么樣的幫助？對記者的問題，葉其孝教授回答說，這種競賽對參加者來說，是一種綜合的訓(xùn)練，在相當(dāng)程度上模擬了大學(xué)生畢業(yè)以后的工作環(huán)境參賽者不要求預(yù)先掌握深入的專門知識，只需要學(xué)過普通高校的數(shù)學(xué)課程；更主要的是要靠參賽者自己動腦子，自己查找文獻(xiàn)資料，同隊(duì)成員討論研究，齊心協(xié)力完成答卷因此，它對學(xué)生的能力培養(yǎng)是多方面的葉教授將之

15、歸納為：應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)行分析、推理、證明和計(jì)算的能力；“雙向翻譯”（即用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題，用普通人能理解的語言表達(dá)數(shù)學(xué)的結(jié)果）的能力；應(yīng)用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)數(shù)學(xué)軟件的能力；應(yīng)變能力（即獨(dú)立查找文獻(xiàn)，消化和應(yīng)用的能力）；組織、協(xié)調(diào)、管理特別是及時妥協(xié)的能力；交流表達(dá)的能力；寫作的能力；創(chuàng)造性、想像力、聯(lián)想力和洞察力它還可以培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)強(qiáng)的意志，培養(yǎng)自律、“慎獨(dú)”的優(yōu)秀品質(zhì)，培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系實(shí)際問題與數(shù)學(xué)的橋梁，是各種應(yīng)用問題嚴(yán)密化、精確化、科學(xué)化的途徑，是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索新真理的工具 數(shù)學(xué)模型具有解釋、判斷、預(yù)測等重要功能，它在各個領(lǐng)域的應(yīng)用會越來越廣泛其主要原因是： （1）社會生

16、活的各個方面正在日益數(shù)量化，人們對各種問題的要求愈來愈精確； （2）計(jì)算機(jī)的發(fā)展為精確化提供了條件； （3）很多無法實(shí)驗(yàn)或費(fèi)用很大的實(shí)驗(yàn)問題，用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究是一個有效途徑 很多像牛頓一樣偉大的科學(xué)家都是建立和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的大師，他們將各個不同的科學(xué)領(lǐng)域同數(shù)學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，在不同的學(xué)科中取得了巨大的成就如力學(xué)中的牛頓定律，電磁學(xué)中的麥克斯韋方程組，化學(xué)中的門捷列夫周期表，生物學(xué)中的孟德爾遺傳定律等都是經(jīng)典學(xué)科中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的光輝范例目前在計(jì)算機(jī)的幫助下數(shù)學(xué)模型在生態(tài)、地質(zhì)、航空等方面有了更加廣泛和深入的應(yīng)用因此，從某種意義上講，數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)現(xiàn)代化高科技人才的重要途徑 數(shù)學(xué)建模課程可以培養(yǎng)

17、和提高學(xué)生下列能力： （1）洞察能力許多提出的問題往往不是數(shù)學(xué)化的，這就是需要建模工作者善于從實(shí)際工作提供的原形中抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)； （2）數(shù)學(xué)語言翻譯能力，即把經(jīng)過一定抽象和簡化的實(shí)際用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)出來，形成數(shù)學(xué)模型，并對數(shù)學(xué)的方法和理論推導(dǎo)或計(jì)算得到的結(jié)果，能用大眾化的語言表達(dá)出來，在此基礎(chǔ)上提出解決某一問題的方案或建議； （3）綜合應(yīng)用分析能力用已學(xué)到的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行綜合應(yīng)用分析，并能學(xué)習(xí)一些新的知識； （4）聯(lián)想能力對于不少的實(shí)際問題，看起來完全不同，但在一定的簡化層次下，它們的數(shù)學(xué)模型是相同的或相似的這正是數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的體現(xiàn)，這就是培養(yǎng)學(xué)生有廣泛的興趣，多思考，勤奮踏實(shí)地工作，通過熟能生巧達(dá)到觸類旁通的境界；（5）各種當(dāng)代科技最新成果的使用能力目前主要是應(yīng)用計(jì)算機(jī)和相應(yīng)的各種軟件包，這不僅能夠節(jié)省時間，得到直觀形象的結(jié)果，有利與用戶深入討論，而且能夠養(yǎng)成自覺應(yīng)用最新科技成果的良好習(xí)慣由于數(shù)學(xué)建模是以解決實(shí)際問題和培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力為目的的，它的教學(xué)內(nèi)容和方式是多種多樣的從教材來看，有的強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法，有的強(qiáng)調(diào)實(shí)際