北師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第一章勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題(經(jīng)典)

1、第一章 勾股定理知識(shí)點(diǎn)一：勾股定理定義 畫(huà)一個(gè)直角邊為3cm和4cm的直角ABC，量AB的長(zhǎng)；一個(gè)直角邊為5和12的直角ABC，量AB的長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)32+42與52的關(guān)系，52+122和132的關(guān)系，對(duì)于任意的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）1如圖，直角ABC的主要性質(zhì)是：C=90°，（用幾何語(yǔ)言表示）兩銳角之間的關(guān)系： ；若D為斜邊中點(diǎn)，則斜邊中線 ；若B=30°，則B的對(duì)邊和斜邊： ；（給出證明）三邊之間的關(guān)系： 。知識(shí)點(diǎn)二：驗(yàn)證勾股定理 知識(shí)點(diǎn)三：勾股定理證明（等面積法）例1。已知：在ABC中，C=90

2、76;，A、B、C的對(duì)邊為a、b、c。 求證：a2b2=c2。證明：例2。已知：在ABC中，C=90°，A、B、C的對(duì)邊為a、b、c。求證：a2b2=c2。證明：知識(shí)點(diǎn)四：勾股定理簡(jiǎn)單應(yīng)用 在RtABC中，C=90°(1) 已知：a=6, b=8，求c(2) 已知：b=5，c=13，求a知識(shí)點(diǎn)五：勾股定理逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)為，滿足，那么，這個(gè)三角形是直角三角形利用勾股定理的逆定理判別直角三角形的一般步驟： 先找出最大邊（如c） 計(jì)算與，并驗(yàn)證是否相等。 若=，則ABC是直角三角形。若，則ABC不是直角三角形。1.下列各組數(shù)中，以a，b，c為邊的三角形不是Rt的是（）

3、A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24 C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=52.三角形的三邊長(zhǎng)為,則這個(gè)三角形是( )A. 等邊三角形 B. 鈍角三角形 C. 直角三角形 D. 銳角三角形3.已知 ,則由此為三邊的三角形是 三角形.知識(shí)點(diǎn)六：勾股數(shù)（1）滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（2）勾股數(shù)中各數(shù)的相同的整數(shù)倍，仍是勾股數(shù)，如3、4、5是勾股數(shù)，6、8、10也是勾股數(shù)（3）常見(jiàn)的勾股數(shù)有：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25； 11、60、61；9、40、411.設(shè)、是直角三角形的三邊,則、不可能的是（ ）.A.3,5,4 B.

4、5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,151. 若線段a，b，c組成Rt，則它們的比可以是（）A.234 B.346 C.51213D.467知識(shí)點(diǎn)七：確定最短路線1. 一只長(zhǎng)方體木箱如圖所示，長(zhǎng)、寬、高分別為5cm、4cm、3cm,AB有一只甲蟲(chóng)從A出發(fā)，沿表面爬到，最近距離是多少？2.如圖,一圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食,要爬行的最短路程（ 取3）是 .AB知識(shí)點(diǎn)八：逆定理判斷垂直1在ABC中，已知AB2BC2CA2，則ABC的形狀是( )A銳角三角形；B直角三角形；C鈍角三角形；D無(wú)法確定2如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則ABC是(

5、)A直角三角形 B銳角三角形 C鈍角三角形 D以上答案都不對(duì)知識(shí)點(diǎn)九：勾股定理應(yīng)用題1.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？2.如圖為某樓梯,測(cè)得樓梯的長(zhǎng)為5米,高3米,計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長(zhǎng)度至少需要_米.3.一根直立的桅桿原長(zhǎng)25m，折斷后，桅桿的頂部落在離底部的5m處，則桅桿斷后兩部分各是多長(zhǎng)？4.某中學(xué)八年級(jí)學(xué)生想知道學(xué)校操場(chǎng)上旗桿的高度，他們發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子

6、垂到地面還多1米，當(dāng)他們把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好觸地面，你能幫他們把旗桿的高度和繩子的長(zhǎng)度計(jì)算出來(lái)嗎？綜合練習(xí)一一、選擇題1、下面幾組數(shù):7,8,9;12,9,15;m2 + n2, m2 n2, 2mn(m,n均為正整數(shù),mn);,.其中能組成直角三角形的三邊長(zhǎng)的是( ) A.; B.; C.; D.2已知一個(gè)Rt的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（）A.25B.14 C.7D.7或253.三角形的三邊長(zhǎng)為,則這個(gè)三角形是( )A. 等邊三角形; B. 鈍角三角形; C. 直角三角形; D. 銳角三角形.4.ABC的三邊為a、b、c且(a+b)(a-b)=c2，則( )A.

7、a邊的對(duì)角是直角 B.b邊的對(duì)角是直角C.c邊的對(duì)角是直角 D.是斜三角形5.以下列各組中的三個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形的個(gè)數(shù)有（ ）6、7、8，8、15、17，7、24、25，12、35、37，9、40、41A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)6.將直角三角形的三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不是直角三角形7.若ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則ABC是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.如圖，=90°，=5，=8，=11，則

8、的長(zhǎng)為 （ ）A、10 B、11 C、12 D、139.如圖、山坡的高=5，水平距離=12，若在山坡上每隔0.65栽一棵茶樹(shù),則從上到下共 ( )A、19棵 B、20棵 C、21棵 D、22棵10.RtABC中，=90°，、所對(duì)的邊分別是、，若=2，則+的值是 （ ）A、6 B、8 C、10 D、411.下列各組數(shù)據(jù)中，不能構(gòu)成直角三角形的一組數(shù)是（）、9，12，15 B、，1， C、0.2，0.3，0.4 D、40，41，912.已知，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后，則兩船相距（）A

9、.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二、填空題1.在RtABC中，C=90°，若a=5，b=12，則c=_；若a=15，c=25，則b=_；若c=61，b=60，則a=_；若ab=34，c=10則SRtABC=_2.現(xiàn)有長(zhǎng)度分別為2、3、4、5的木棒，從中任取三根，能組成直角三角形，則其周長(zhǎng)為 3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知兩邊求 ；勾股定理的逆定理的作用是用來(lái)證明 4.如圖中字母所代表的正方形的面積：= = 5.在ABC中，C90°，若 a5，b12，則 c 6.ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，則高AD= ，SABC = 。7.在RtA

10、BC中，有一邊是2，另一邊是3，則第三邊的平方是 。8.在ABC中，AC=17 cm，BC= 10 cm，AB=9 cm，這是一個(gè)_三角形（按角分）。9.已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是12cm，16cm，20cm，則這個(gè)三角形的面積為 。三、簡(jiǎn)答題1.判斷正誤，并指出為什么？（1）ABC的兩邊為3和4，求第三邊 解：由于三角形的兩邊為3和4，所以它的第三邊c為5。（2）若已知ABC為直角三角形，則第三邊為52.在ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2(mn)。 求證：ABC是直角三角形。3.求斜邊長(zhǎng)17厘米，一條直角邊長(zhǎng)15厘米的直角三角形的面積(畫(huà)圖求解)4.已知一艘輪船以

11、16的速度離開(kāi)港口向東北方向航行，另一艘輪船同時(shí)離開(kāi)港口，以12的速度向東南方向航行，它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)相距多少千米？(畫(huà)圖求解)5.如圖，一根旗桿在離地面9米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前有多高？6.如圖，在四邊形ABCD中，BAD =，DBC =，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD； 家庭作業(yè)：一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo):1. 下列說(shuō)法正確的是（）A.若 a、b、c是ABC的三邊，則a2b2c2； B.若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2；C.若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2；D.若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c22.

12、ABC的三條邊長(zhǎng)分別是、，則下列各式成立的是（）A B. C. D. 3直角三角形中一直角邊的長(zhǎng)為9，另兩邊為連續(xù)自然數(shù)，則直角三角形的周長(zhǎng)為（）A121 B120 C90 D不能確定4斜邊的邊長(zhǎng)為，一條直角邊長(zhǎng)為的直角三角形的面積是 ACB5假如有一個(gè)三角形是直角三角形，那么三邊、之間應(yīng)滿足 ，其中 邊是直角所對(duì)的邊；如果一個(gè)三角形的三邊、滿足，那么這個(gè)三角形是 三角形，其中邊是 邊，邊所對(duì)的角是 6一個(gè)三角形三邊之比是，則按角分類它是 三角形7如圖，已知中，以直角邊為直徑作半圓，則這個(gè)半圓的面積是 8 一長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為，面積為，那么它的一條對(duì)角線長(zhǎng)是 二、綜合發(fā)展:1如圖，一個(gè)高、寬的大

13、門(mén)，需要在對(duì)角線的頂點(diǎn)間加固一個(gè)木條，求木條的長(zhǎng)2.一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng)分別為，這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高是多少？3m4m20m3如圖，小李準(zhǔn)備建一個(gè)蔬菜大棚，棚寬4m，高3m，長(zhǎng)20m，棚的斜面用塑料薄膜遮蓋，不計(jì)墻的厚度，請(qǐng)計(jì)算陽(yáng)光透過(guò)的最大面積. 4如圖，有一只小鳥(niǎo)在一棵高13m的大樹(shù)樹(shù)梢上捉蟲(chóng)子，它的伙伴在離該樹(shù)12m，高8m的一棵小樹(shù)樹(shù)梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹(shù)樹(shù)梢，那么這只小鳥(niǎo)至少幾秒才可能到達(dá)小樹(shù)和伙伴在一起？勾股定理綜合二1如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8?，F(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于 AC

14、DBE1題2已知，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（ ）cm2ABEFDC第2題 3已知：將正長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊兩次，第一次折痕為AC，第二次折痕為AE，且點(diǎn)D落在F處.若長(zhǎng)方形長(zhǎng)為4，寬為3，求DE.4已知：如圖，ABC中，C90º，AD是角平分線，CD15，BD25求AC的長(zhǎng)分類討論思想1 在RtABC中，已知兩邊長(zhǎng)為3、4，則第三邊的長(zhǎng)為 2在RtABC中，已知兩邊長(zhǎng)為5、12，則第三邊的長(zhǎng)為 3等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為10和12，則周長(zhǎng)為_(kāi)，底邊上的高是_，面積是_。4.一個(gè)直角三角形，有兩邊長(zhǎng)分別

15、為6和8，下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 第三邊一定為10 B. 三角形的周長(zhǎng)為25 C. 三角形的面積為48 D. 第三邊可能為10確定三角形形狀1已知a、b、c是ABC的三邊，且a2c2b2c2a4b4，試判斷三角形的形狀2. 在ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，則ABC是否為直角三角形？為什么？3.若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，則ABC為 三角形（填銳角、直角或鈍角）4.已知三角形的三邊分別是n-2，n，n+2，當(dāng)n是多少時(shí)，三角形是一個(gè)直角三角形？最短距離問(wèn)題ABCDL1.如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的

16、同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？2. 如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？ 3.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是 4.如圖，在直角ABC中，AB=4，BAC=45

17、°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（ ）5.如圖，在正方形ABCD的邊AB上連接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角邊上連接正方形，無(wú)限重復(fù)上述過(guò)程，如果第一個(gè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，那么第個(gè)正方形的面積為 綜合練習(xí)三一、選擇題1. 直角三角形一直角邊長(zhǎng)為12，另兩條邊長(zhǎng)均為自然數(shù)，則其周長(zhǎng)為( ).（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能確定2. 直角三角形的斜邊比一直角邊長(zhǎng)2 cm，另一直角邊長(zhǎng)為6 cm，則它的斜邊長(zhǎng)（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm（D）12 cm3. 已知一個(gè)Rt的兩邊長(zhǎng)分別為3

18、和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（）（A）25（B）14（C）7（D）7或254. 等腰三角形的腰長(zhǎng)為10,底長(zhǎng)為12,則其底邊上的高為( ) （A）13 （B）8 （C）25 （D）645. 五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（ ） 6. 將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù), 得到的三角形是( )（A） 鈍角三角形 （B） 銳角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.7. 如圖小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是 ( )（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.58. 三角形的三邊長(zhǎng)為,則這個(gè)三角形是

19、( )（A） 等邊三角形 （B） 鈍角三角形 （C） 直角三角形 （D） 銳角三角形.9.ABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地.已知C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮元計(jì)算，那么共需要資金（ ）.（A）50元 （B）600元 （C）1200元 （D）1500元10.如圖EABCD，ABCD于B，ABD和BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的長(zhǎng)為（ ）.（A）12 （B）7 （C）5 （D）13 （第10題） （第11題） （第14題）二、填空題11. 如圖為某樓梯,測(cè)得樓梯的長(zhǎng)為5米,高3米,計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長(zhǎng)度至少需要_米.12. 在直角三角形中，斜邊=2，則=_.13. 直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)偶數(shù)，則其周長(zhǎng)為 .14. 如圖，在ABC中，C=90°，BC=3，AC=4.以斜邊AB為直徑作半圓，則這個(gè)半圓的面積是_. （第15題） （第16題） （第17題）15. 如圖，校園內(nèi)有兩棵樹(shù)，相距12米，一棵樹(shù)高13米，另一棵樹(shù)高8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛_米.16. 如圖，ABC中，C=90°，A