利用軸對(duì)稱求最短距離問題

1、 利用軸對(duì)稱求最短距離問題基本題引入:如圖（1），要在公路道a上修建一個(gè)加油站，有，兩人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使兩人到加油站的總路程最短？你可以在a上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?圖3思路分析：如圖2，我們可以把公路a近似看成一條直線，問題就是要在a上找一點(diǎn)M，使AM與BM的和最小。設(shè)A是A的對(duì)稱點(diǎn)，本問題也就是要使AM與BM的和最小。在連接AB的線中，線段AB最短。因此，線段AB與直線a的交點(diǎn)C的位置即為所求。如圖3，為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線a上另外任取一點(diǎn)N，連接AN、BN、AN。因?yàn)橹本€a是A，A的對(duì)稱軸，點(diǎn)M,N在a上，所以AM= AM,AN

2、= AN。AM+BM= AM+BM= AB在ABN中，ABAN+BNAM+BMAN+BN即AM+BM最小。 教師要充分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生不僅獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，更要獲得數(shù)學(xué)思想和觀念，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。同時(shí)每年的中考題也千變?nèi)f化，為了提高學(xué)生的應(yīng)對(duì)能力，除了進(jìn)行專題訓(xùn)練外，還要多歸納多總結(jié)，將一類問題集中呈現(xiàn)給學(xué)生。一、三角形中的軸對(duì)稱題目1： 如圖,在ABC中,AC=BC=2,ACB=90°,D是BC邊上的中點(diǎn),E是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn),則EC+ED的最小值是_點(diǎn)評(píng)：本題只要把點(diǎn)C、D看成基本題中的、兩鎮(zhèn)，把線段AB看成燃?xì)夤艿繿，問題就可以迎刃

3、而解了，本題只是改變了題目背景，所考察的知識(shí)點(diǎn)并沒有改變。第1題圖二、四邊形中的軸對(duì)稱題目:2： 如圖，正方形ABCD的邊長為8， M在DC上，且DM=2,N是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為多少？點(diǎn)評(píng)：此題也是運(yùn)用到正方形是軸對(duì)稱圖形這一特殊性質(zhì)，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)正好是點(diǎn)B，最小值為MB10。N第2題圖三、圓中的軸對(duì)稱題目3：已知：如圖，已知點(diǎn)A是O上的一個(gè)六等分點(diǎn)，點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的動(dòng)點(diǎn)，若O的半徑長為1，求AP+BP的最小值。第3題圖點(diǎn)評(píng)：這道題也運(yùn)用了圓的對(duì)稱性這一特殊性質(zhì)。點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B在圓上，AB交ON于點(diǎn)p,由AON60°, BON30&

4、#176;，AOB90°，半徑長為1可得AB。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p時(shí)，此時(shí)AP+BP有最小值為 四、立體圖形中的軸對(duì)稱題目5 如圖1是一個(gè)沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處的食物，已知盒高h(yuǎn)10cm，底面圓的周長為32cm，A距離下底面3cm請(qǐng)你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為 cmH 第4題圖2點(diǎn)評(píng)：如圖2，此題是一道立體圖形問題需要轉(zhuǎn)化成平面問題來解決，將圓柱的側(cè)面展開得矩形EFGH,作出點(diǎn)B關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)B,作ACGH于點(diǎn)C,連接A B。在RtA BC中，AC16, BC12,求得A B20，則螞蟻爬行的最短路程為20c

5、m。綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生在熟練掌握書本例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行科學(xué)的變式訓(xùn)練，對(duì)鞏固基礎(chǔ)、提高能力有著至關(guān)重要的作用。更重要的是，變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維、逆向思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生全方位、多角度思考問題的能力，有助于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。11(2015南寧）如圖6，AB是O的直徑，AB=8，點(diǎn)M在O上，,N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN=1，則周長的最小值為（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）79（2015資陽）如圖5，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3 cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一

6、只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3 cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是A13cmBcmCcmDcm跟蹤練習(xí)1： 如圖7，已知點(diǎn)A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的動(dòng)點(diǎn)，若O的半徑長為1，則AP+BP的最小值為_。圖73、變形3： 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2）點(diǎn)，點(diǎn)B是半徑為的B的圓心，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），請(qǐng)你探索在x軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)C以及在B上是否存在一個(gè)點(diǎn)D，使得AC+CD最小，若存在，請(qǐng)你在圖中作出點(diǎn)C和點(diǎn)D，并求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和AC+CD的最小值；若不存在請(qǐng)說明理由。理解轉(zhuǎn)化題意：點(diǎn)A 點(diǎn)B在X軸的同旁,作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連結(jié)BE交X軸于

7、點(diǎn)C, ，交B于點(diǎn)D，點(diǎn)C點(diǎn)D即為所求。解：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，作直線BE交x軸于點(diǎn)C，交B于點(diǎn)D，連接AC，則點(diǎn)C、D即為所求 A（0，2）E（0，-2） 設(shè)BE的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y=kx+b，則 k=1y=x-2C(2,0)過點(diǎn)B作BGx軸于點(diǎn) G則CG=4-2=2 BG=2BC=2 BD=CD=AC+CD= 2+=3。五、延伸拓展雙重對(duì)稱24（12分）（2015德州）已知拋物線y=mx2+4x+2m與x軸交于點(diǎn)A（，0），B（，0），且=2，（1）求拋物線的解析式（2）拋物線的對(duì)稱軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為E，是否存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使四邊形D

8、NME的周長最??？若存在，請(qǐng)畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由（3）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）利用根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系得出+=，=2，進(jìn)而代入求出m的值即可得出答案；（2）利用軸對(duì)稱求最短路線的方法，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，得出四邊形DNME的周長最小為：DE+DE，進(jìn)而利用勾股定理求出即可；（3）利用平行四邊形的判定與性質(zhì)結(jié)合P點(diǎn)縱坐標(biāo)為±4，進(jìn)而分別求出即可解答：解：（1）由題意可得：，是方程mx2+4x+2m=0

9、的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，+=，=2，=2，=2，即=2，解得：m=1，故拋物線解析式為：y=x2+4x+2；（2）存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使得四邊形DNME的周長最小，y=x2+4x+2=（x2）2+6，拋物線的對(duì)稱軸l為x=2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2，6），又拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，2），點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于l對(duì)稱，E點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，2），作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，則D的坐標(biāo)為；（2，6），E坐標(biāo)為：（4，2），連接DE，交x軸于M，交y軸于N，此時(shí)，四邊形DNME的周長最小為：DE+DE，如圖1所示：延長EE，D交于一點(diǎn)F，在RtDEF中，DF=6，

10、EF=8，則DE=10，設(shè)對(duì)稱軸l與CE交于點(diǎn)G，在RtDGE中，DG=4，EG=2，DE=2，四邊形DNME的周長最小值為：10+2；（3）如圖2，P為拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PHx軸，垂足為H，若以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則PHQDGE，PH=DG=4，|y|=4，當(dāng)y=4時(shí)，x2+4x+2=4，解得：x1=2+，x2=2，當(dāng)y=4時(shí)，x2+4x+2=4，解得：x3=2+，x4=2，故P點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2，4），（2+，4），（2，4），（2+，4）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理、利用軸對(duì)稱求最短路線等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵六

11、、延伸拓展能力提高22（14分）（2015日照）如圖，拋物線y=x2+mx+n與直線y=x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）（）求拋物線的解析式和tanBAC的值；（）在（）條件下：（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQPA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（2）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多

12、少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；矩形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.專題：壓軸題分析：（）只需把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+mx+n，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線AB與拋物線的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BHx軸于H，如圖1易得BCH=ACO=45°，BC=，AC=3，從而得到ACB=90°，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tanBAC的值；（）（1）過點(diǎn)P作PGy軸于G，則PGA=90°設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x0，則PG=x，易得APQ=ACB=90&#

13、176;若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，當(dāng)PAQ=CAB時(shí)，PAQCAB此時(shí)可證得PGABCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=3PG=3x則有P（x，33x），然后把P（x，33x）代入拋物線的解析式，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)當(dāng)PAQ=CBA時(shí)，PAQCBA，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)E作ENy軸于N，如圖3易得AE=EN，則點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間可表示為+=DE+EN作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DE，則有DE=DE，DC=DC，DCA=DCA=45°，從而可得DCD=90°，DE+EN=DE+EN根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)D、E、

14、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=DE+EN最小此時(shí)可證到四邊形OCDN是矩形，從而有ND=OC=3，ON=DC=DC然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到OD、ON、NE的值，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)解答：解：（）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：拋物線的解析式為y=x2x+3聯(lián)立，解得：或，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）過點(diǎn)B作BHx軸于H，如圖1C（3，0），B（4，1），BH=1，OC=3，OH=4，CH=43=1，BH=CH=1BHC=90°，BCH=45°，BC=同理：ACO=45°，AC=3，ACB=180°45°45°=9

15、0°，tanBAC=；（）（1）存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似過點(diǎn)P作PGy軸于G，則PGA=90°設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x0，則PG=xPQPA，ACB=90°，APQ=ACB=90°若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，如圖2，當(dāng)PAQ=CAB時(shí)，則PAQCABPGA=ACB=90°，PAQ=CAB，PGABCA，=AG=3PG=3x則P（x，33x）把P（x，33x）代入y=x2x+3，得x2x+3=33x，整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=1（舍去）如圖2，當(dāng)PAQ=CBA時(shí)，則PAQCBA同理可得：

16、AG=PG=x，則P（x，3x），把P（x，3x）代入y=x2x+3，得x2x+3=3x，整理得：x2x=0解得：x1=0（舍去），x2=，P（，）；若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，當(dāng)PAQ=CAB時(shí)，則PAQCAB，同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）當(dāng)PAQ=CBA時(shí)，則PAQCBA同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，）綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）、（，）、（，）；（2）過點(diǎn)E作ENy軸于N，如圖3在RtANE中，EN=AEsin45°=AE，即AE=EN，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為+=DE+EN作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DE，則有DE=DE，DC=DC，DCA=DCA=45°，DCD=90°，DE+EN=DE+EN根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)D、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=DE+EN最小此時(shí)，DCD=DNO=NOC=90°，四邊形OCDN是矩形，ND=OC=3，ON=DC=DC對(duì)于y=