平面向量的線性運算以及坐標運算

1、、同步知識梳理1、向量：既有大小，又有方向的量.（注意零向量，單位向量）數量：只有大小，沒有方向的量.有向線段的三要素：起點、方向、長度.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.相等向量：長度相等且方向相同的向量.2、向量加（減）法運算:三角形法則的特點：首尾相連.平行四邊形法則的特點：共起點.= AB + BC= AC三角形不等式:$ |b.當 0時,運算律：運算性質：交換律:3、向量數乘運算:的方向與a的方向相同；當的方b .b b向相反；當0時,；結合律：a b實數與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作0時，a的方向、同步例題分析例1、判斷下列命題

2、的真假。（1）零向量是沒有方向的；（2）零向量與任一向量共線；（3）零向量的方向是任意的；（4）單位向量都是相等的向量；（5）向量AB與向量BA的長度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若兩個單位向量共線，則必相等;（8）向量就是有向線段；（9）非零向量a的單位向量是擊;（1。）若,則;(11)若(12)若(2)(3)(4)；(13)若a,則例2、給出下列幾個命題:若aBDC,則A、B、CD四點是平行四邊形的四個頂點;在平行四邊形ABCDK一定有ABdC；其中不正確命題的個數為（）A.2B.3C.4D.5例3、如圖，在0ABCD中,ABa,ADb,aN1AC3M為BC的中點，則。（用a,

3、b表本）變式:1、化簡下列各式:(1)bcLaB；(2)abaCbdcD；(3)nQqPmNmPo2、已知P,A,B,C是平面內四點，且PAPBPCAC,那么一定有（A.PB2APB.CP2PBC.AP2PBD.PB2AB3、已知、R,則在以下各命題中，正確的命題共有(1)(2)(3)0,a0時,0,a0時,a時,與a的方向一定相反;a與a的方向一定相同;與a是共線向量;4aJra的方向一定相同;-faJra與a的方向一定相反。A.2個B.3個C.4個D.54、已知任意平面四邊形ABC珅，EF分另1J為ADBC的中點。求證:藻-(ABDC)25、如圖，在五邊形ABODES,若ACDE是平行四邊

4、形，且品良豆CD及C1例8、設兩個非零向量a、b不共線,2a8b,CD3(ab),求證:(2)試確定實數k使得kab與akb共線。變式：如圖，平行四邊形ABC邛，E是DC中點，AE交BD于M,試用向量的方法證明：M是BD的一個三等分點。三、課后作業(yè)1、若有以下命題:兩個相等向量的模相等;若a和b都是單位向量，則a相等的兩個向量一定是共線向量;a/b,c/b,則ac；零向量是唯一沒有方向的向量;兩個非零向量的和可以是零。其中正確的命題序號是2、已知下列各式:ABBCCA;ABMBBOOMABACBDCDOAOCBOCO其中結果為零向量的個數為3、在ABCM,設ABa,ADb,ACc,BDd,則下

5、列等式中不正確的是A.abcB.aD.cab4、若a與b的方向相反，且b,則a+b的方向與a的方向止匕時a5、若AB18,5,則的取值范圍是6、（廣東卷）如圖1所示，D是ABC的邊AB上的中點,A.BC-BA2B.BC弼C.BC罰D.則向量BC圖17、在四邊形ABCD43,若ABa,ADb,且|ab|ab|,則四邊形ABC而形狀8、設e1，e2為兩個不共線的向量，若aee2與b2e13e2共線，則3ei 3e2，試證A,B, D三點共線.9、設e1,e2是兩不共線的向量，若ABe1e2,BC2e18e2,CD10、如圖，在任意四邊形 ABC邛,E、F分別是AD,BC的中點，求證：AB+DC=2

6、EF思考題：設點。在AABC內部，且有4OAOBOC0,求三角形ABCW三角形OBC勺面積之比平面向量的基本定理及坐標表示一、知識點梳理a,有且只有一對實數1、如果ei和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a=iei+2e2。稱不共線的向重e、e叫做一組基底。2、已知兩個非零向量a和b,做OAa,OBb,則AOB0180叫做向量a與b的夾角。如果a與b的夾角是90,則稱a與b,記作。3、向量的正交分解：4、平面向量的坐標運算(1)平面向量的坐標：設i,j是與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量，對于平面上任一向量a,有且只有一對實數x,y,使得axiyj,記作ax,y。(2)

7、平面向量的坐標運算axi,yi,bx2,y2,則有ab,ab,a,設Ax,yi,Bx2,y2,則有aB；向量共線的坐標表示：設ax1，yi,bx2,y2,則有a與b共線，中點公式設R%,必，P2x2,y2,P為PP2的中點，則對任一點Op 1 Op1 OP22,所以點P的坐標是二、專題經典講練例1、設:、:是同一平面內兩個不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是(D.e1，ee2例2、已知x、y R,向量a(2x,1), b (y 1, x),若 aoy,X (4 4C 量 向 求 Jb變式：1、已知a(1,5), 3(6,19)，求2、若 A(0,1), B(1,2), C(3,4),則

8、aB 2bC =3、設向量a=(1,3),b=(2,4),若表示向量4a、3b2a,c的有向線段首尾相接能構成三角形，則向量c為(A)(1,1)(B)(1,1)(C)(4,6)(D)(4,6)4、已知過點A(-2,m)和B(m,4)的直線與直線2x+y1=0平行，則m的值為()A.0B.8C.2D.10等于(B.例2、已知點A(3,1),B(0,0),C83,0),設/BAC的平分線AE與BC相交于E,且BC=CE,則D.變式：1oP oA0,點，ABC是平面上不共線的三個點，則P的軌跡一定通過 ABC的動點P(A)外心(B)內心(C)重心(D)垂心2、平面直角坐標系中,O為坐標原點，已知兩點

9、A 3,1, B 1,3 ,若點C滿足OCOA OB,其中有且1,則點C的軌跡方程為()_2_2(A)3x2y110(B)x1y25(C)2xy0(D)x2y50例3、已知點A(1,-2),若向量AB與a=2,3同向，AB=2J13,則點B的坐標為變式：1、已知向量a=(2,2),b=(5,k).若|a+b|不超過5,則k的取值范圍是()A.-4,6B.6,4C.6,2D,-2,62、已知向量a(cos,sin)，向量b(J3,1)則12ab|的最大值，最小值分別是()A.4短0B.4,4&C.16,0D.4,03、若平面向量b與向量a(1,2)的夾角是180,且|b|3再，則bA.(3,6)

10、B.(3,6)C.(6,3)D.(6,3)4、若向量，滿足|,則與所成角的大小為.例4、若向量a(1,2),變式：1、已知向量a(3,4),b(A)3(B)344(sin,cos)，且a/b,則tan=(C)4(D)-332、向量oA(k,12),OB(4,5),(10,k),當k為何值時，A、RC三點共線。3、ABC的三內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c設向量3(ac,b),q(ba,c,則角C的大小為()(A)_(B)-(C)-(D)例5、已知三點A(2,3),B(5,4),C(7,10)，點P滿足(1)為何值時，點P在正比仞函數yx的圖像上(2)設點P在第三象限，求的取值范圍。課后

11、作業(yè)1、下列各組向量中，可以作為基底的是()A.ei(0,0),e2(1.2)b,ei(1,2),e?(5,7)13C.e(3,5),e(6,10)D,e(2,3),e2(一,一)242、已知點A1,3,B4,1，則與向量AB同方向的單位向量為()A.B.C.D.3、已知 a (5, 2)(4, 3)(x, y),若a 2b3c0,則C等于()A.(1,|)B.13 8、7,3)C.13 4、7,3)/ 134、D. (，, 二)334、若將向量a=(2,1)圍繞原點按逆時針方向旋轉一得到向量b,則向量b的坐標為48.AABC中，若.口=2心3，CZ)=yC4C5f則九二B.D.6、在直角坐標系xOy中，已知點