江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽試題匯總(共17頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2010年江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽試題（本科二級）一 填空題（每題4分，共32分）1. 2.， 3.， 4. 5. 6.圓的面積為 7.，可微，則 8.級數(shù)的和為 .二.（10分）設(shè)在上連續(xù)，且，求證：存在點，使得.三（10分）已知正方體的邊長為2，為的中點，為側(cè)面正方形的中點，（1）試求過點的平面與底面所成二面角的值。（2）試求過點的平面截正方體所得到的截面的面積.四（12分）已知是等腰梯形，,求的長，使得梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大。五（12分）求二重積分，其中六、（12分）求，其中為曲線從到.七.（12分）已知數(shù)列單調(diào)增加，記，判別級數(shù)的斂散性.2010年江蘇省

2、高等數(shù)學(xué)競賽試題（本科三級）一 填空題（每題4分，共32分）1. 2.， 3.設(shè)由確定，則 4.， 5. 6.，可微，則 7設(shè)可微，由確定，則 8.設(shè)，則 二.（10分）設(shè)為正常數(shù)，使得對一切正數(shù)成立，求常數(shù)的最小值三.（10分）設(shè)在上連續(xù)，且，求證：存在點，使得.四.（12分）求廣義積分五（12分）過原點作曲線的切線，求該切線、曲線與軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.六、（12分）已知是等腰梯形，,求的長，使得梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大。七（12分）求二重積分，其中2008年江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽題（本科一級）一填空題（每題5分，共40分）1. ， 時，2. ， 時在時關(guān)于的

3、無窮小的階數(shù)最高。3. 4.通過點與直線的平面方程為 5.設(shè)則= 6.設(shè)為圍成區(qū)域，則 7.設(shè)為上從到的一段弧，則= 8.冪級數(shù)的和函數(shù)為 ，收斂域為 。二（8分）設(shè)數(shù)列為證明：數(shù)列收斂，并求其極限三（8分）設(shè)在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求證四（8分）1）證明曲面為旋轉(zhuǎn)曲面2）求旋轉(zhuǎn)曲面所圍成立體的體積五（10分）函數(shù)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，算子定義為1）求；2)利用結(jié)論1）以為新的自變量改變方程的形式六（8分）求七（9分）設(shè)的外側(cè)，連續(xù)函數(shù)求八（9分）求的關(guān)于的冪級數(shù)展開式2006年江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽試題（本科一、二級）一.填空（每題5分，共40分）1.， 2. 3. 4.已知點,為坐標(biāo)原點，則四面體

4、的內(nèi)接球面方程為 5. 設(shè)由確定，則 6.函數(shù)中常數(shù)滿足條件 時，為其極大值.7.設(shè)是上從點到的一段曲線， 時，曲線積分取最大值.8.級數(shù)條件收斂時，常數(shù)的取值范圍是 二.（10分）某人由甲地開汽車出發(fā)，沿直線行駛，經(jīng)2小時到達乙地停止，一路暢通，若開車的最大速度為100公里/小時，求證：該汽車在行駛途中加速度的變化率的最小值不大于公里/小時三.（10分）曲線的極坐標(biāo)方程為，求該曲線在所對應(yīng)的點的切線的直角坐標(biāo)方程，并求切線與軸圍成圖形的面積.四（8分）設(shè)在上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的有界函數(shù)，求證：五（12分）本科一級考生做：設(shè)錐面被平面截下的有限部分為.（1）求曲面的面積；（2）用薄鐵片制作的模型，為上

5、的兩點，為原點，將沿線段剪開并展成平面圖形，以方向為極坐標(biāo)軸建立平面極坐標(biāo)系，寫出的邊界的極坐標(biāo)方程.本科二級考生做：設(shè)圓柱面被柱面截下的有限部分為.為計算曲面的面積，用薄鐵片制作的模型，為上的三點，將沿線段剪開并展成平面圖形，建立平面在極坐標(biāo)系，使位于軸正上方，點坐標(biāo)為，寫出的邊界的方程，并求的面積.六（10分）曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的曲面與所圍成的立體區(qū)域記為，本科一級考生做本科二級考生做七（10分）本科一級考生做1）設(shè)冪級數(shù)的收斂域為，求證冪級數(shù)的收斂域也為；2）試問命題1）的逆命題是否正確，若正確給出證明；若不正確舉一反例說明.本科二級考生做：求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)2006年江蘇省高等

6、數(shù)學(xué)競賽試題（本科三級、民辦本科）一.填空（每題5分，共40分）1. 2. 3. ，則 4. 5. 設(shè)由確定，則 6.函數(shù)中常數(shù)滿足條件 時，為其極大值.7.交換二次積分的次序 .8.設(shè)，則 二.（8分）設(shè)，試問為何值時，在處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但二階導(dǎo)數(shù)不存在.三.（9分）過點作曲線的切線，（1）求的方程；（2）求與所圍成平面圖形的面積；（3）求圖形的部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積.四（8分）設(shè)在上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)，求證：五（8分）求六（9分）本科三級做：設(shè)，證明在點處可微，并求民辦本科做：設(shè)圓柱面被柱面截下的有限部分為.為計算曲面的面積，用薄鐵片制作的模型，為上的三點，將沿線段剪開并展成平面圖形

7、，建立平面在極坐標(biāo)系，使位于軸正上方，點坐標(biāo)為，寫出的邊界的方程，并求的面積.七（9分）本科一級考生做：用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)在區(qū)域上的最大值與最小值.八（9分）設(shè)為所圍成的平面圖形，求.2004年江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽試題（本科二級）一.填空（每題5分，共40分）1. 是周期為的奇函數(shù)，且在處有定義，當(dāng)時，求當(dāng)時，的表達式 .2. 3. 4. 時 5. 6. .7.設(shè)可微，則 .8. 設(shè)，為，則 . 二（10分）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，,求證： 內(nèi)至少存在一點使得三.（10分）設(shè)，在的邊界上任取點,設(shè)到原點距離為，作垂直于，交的邊界于1）試將的距離表示為的函數(shù)；2）求饒旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積四（1

8、0分）已知點,在平面上求一點，使最小五（10分）求冪級數(shù)的收斂域。六（10分）設(shè)可微，求.七（10分）求二次積分2004年江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽試題（本科三級）一.填空（每題5分，共40分）1. 是周期為的奇函數(shù)，且在處有定義，當(dāng)時，求當(dāng)時，的表達式.2. 時，與為等價無窮小，則 3. 4. 5. 時 6. 7. .8. 設(shè)，為，則 . 二（10分）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，,求證： 內(nèi)至少存在一點使得三.（10分）設(shè)，在的邊界上任取點,設(shè)到原點距離為，作垂直于，交的邊界于1）試將的距離表示為的函數(shù)；2）求饒旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積四（10分）設(shè)在上有定義，在處連續(xù)，且對一切實數(shù)有，求證：在上處處連續(xù)。

9、五（10分）上為常數(shù)，方程在恰有一個根，求的取值范圍。六（10分）已知點,在平面上求一點，使最小七（10分）求冪級數(shù)的收斂域。2002年江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽試題（本科二級）一.填空（每題5分，共40分）1.，則 ， 2. 設(shè)在上可導(dǎo)，下列結(jié)論成立的是 A. 若，則在上有界B. 若，則在上無界C. 若，則在上無界3. 設(shè)由確定，則 4. 5. 曲線，在點的切線的參數(shù)方程為 6.設(shè)，有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 7. 交換二次積分的次序 .8.冪級數(shù)的收斂域 二.（8分）設(shè)在上連續(xù)，單調(diào)減少，求證三.（8分）設(shè)在上連續(xù)，求證: 在內(nèi)至少存在兩個零點.四.（8分）求直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方

10、程，求求該曲面與所包圍的立體的體積.五.（9分）設(shè)為常數(shù)，試判斷級數(shù)的斂散性，何時絕對收斂？何時條件收斂？何時發(fā)散？六.（9分）設(shè)討論在點處連續(xù)性，可偏導(dǎo)性？可微性.七.（9分）設(shè)在可導(dǎo)，求八.（9分）設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，一質(zhì)點在力作用下沿曲線從運動到，力的大小等于到定點的距離，其方向垂直于線段，且與軸正向的夾角為銳角，求力對質(zhì)點做得功.2002年江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽試題（本科三級）一.填空（每題5分，共40分）1.，則 ， 2. 設(shè)在上可導(dǎo)，下列結(jié)論成立的是 A. 若，則在上有界B. 若，則在上無界C. 若，則在上無界3. 設(shè)由確定，則 4. 5. 6.設(shè)，有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

11、則 7. 交換二次積分的次序 .8.函數(shù)滿足方程的條件的極大值為 極小值為 二.（8分）設(shè)在上連續(xù)，單調(diào)減少，求證三.（8分）設(shè)，1）若，求證在上恰有一個零點；2）若，且在上恰有一個零點，求常數(shù)的取值范圍.四.（8分）求五.（9分）設(shè)討論在點處連續(xù)性，可偏導(dǎo)性？可微性.六.（8分）設(shè)，的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，可導(dǎo)，求全導(dǎo)數(shù)七.（9分）設(shè)在可導(dǎo)，求八.（9分）求2000年江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽試題（本科二級）一.填空（每題3分，共15分）. 1.設(shè)，則 2. 3. 已知，則 4. 5.設(shè)由方程確定（為任意可微函數(shù)），則 二選擇題（每題3分，共15分）1.對于函數(shù)，點是（ ）A. 連續(xù)點； B. 第一類間斷

12、點；C. 第二類間斷點；D可去間斷點2.已知函數(shù)對一切滿足，若，則（ ）A. 是的極大值； B. 是曲線的拐點；C. 是的極小值；D不是的極值，也不是曲線的拐點3. （ ）A. 等于1； B. 等于0；C. 等于；D不存在，但也不是4.若都存在，則在A. 極限存在，但不一定連續(xù)； B. 極限存在且連續(xù)；C. 沿任意方向的方向?qū)?shù)存在； D 極限不一定存在，也不一定連續(xù)5.設(shè)為常數(shù)，則級數(shù)A. 絕對收斂 B. 條件收斂；C. 發(fā)散； D 收斂性與取值有關(guān)三（6分）求四（6分）已知函數(shù)由參數(shù)方程確定，求五（6分）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且對于一切均有，證明若在內(nèi)有兩個零點，則至少存在一個介于這兩個零點

13、之間的零點。六（6分）設(shè)，求。七（6分）已知，求八（8分）過拋物線上一點作切線，問為何值時所作的切線與拋物線所圍成的平面圖形面積最小。九（8分）求級數(shù)的收斂域及和函數(shù).十（8分）設(shè)在上連續(xù)且大于零，利用二重積分證明不等式：十一（8分）計算曲線積分，其中為曲線上點沿逆時針方向到該曲線上點的一段曲線。十二（8分）計算曲面積分，其中為曲面繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面之下側(cè)2000年江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽試題（本科三級）一.填空（每題3分，共15分）1. 已知，則 設(shè) 2. 3. 4若級數(shù)收斂，則的取值為 5. 二選擇題（每題3分，共15分）1.函數(shù)，的可去間斷點為（ ）A. ； B. ；C. ；D無可去間斷點2.改變積分次序（ ）A. ； B. ；C. ； D3. 設(shè)可導(dǎo)，若欲使在可導(dǎo)，則必有（ ）A. ； B. ；C. ；D4.若都存在，則在A.連續(xù)且可微； B.連續(xù)但不可微；C. 可微但不連續(xù)； D不一定可微，也不一定連續(xù)5.在點處?。?） A. 極大值 B. 極小值； C. 不取極大值； D極小值三（6分）設(shè)，求常數(shù)。四（6分）設(shè)，求