拉格朗日中值定理的推廣及其應(yīng)用

1、嘉應(yīng)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）（2014屆）題 目： 拉格朗日中值定理的推廣及其應(yīng)用 姓 名： 徐佳琳 學(xué) 號(hào)： 101010045 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） 指導(dǎo)老師： 溫坤文 申請(qǐng)學(xué)位： 學(xué)士學(xué)位 嘉應(yīng)學(xué)院教務(wù)處摘 要拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基礎(chǔ)定理之一，在理論和應(yīng)用上都有極其重要的意義.本文先對(duì)拉格朗日中值定理作了一定的闡述，并將其進(jìn)行了推廣，然后通過(guò)對(duì)幾種類(lèi)型問(wèn)題的解決，對(duì)拉格朗日值定理的應(yīng)用作一些探討和歸納，以起到對(duì)定理的深入理解，熟悉掌握并能夠正確應(yīng)用的作用.字典關(guān)鍵詞：拉格朗日中值定理，定理的推廣及應(yīng)用，極限，不等式，級(jí)數(shù)的斂散性.AbstractLa

2、grange mean value theorem is one of the basic theorem of differential calculus，It has extremely important meaning in the theory and application.This article first to make the Lagrange theorem certain, and put it to the promotion, then through several types on the solution of the problem,and it will

3、make some discussions and studies on the application of lagrange mean value theorem .Its purpose is to have in-depth understanding of theorem, the role of expert knowledge and be able to correct application.Keywords： Lagrange mean value theorem,The generalization and application of the theorem, The

4、limit, Inequality, The convergence and divergence of the series.1. 引言羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式是微分學(xué)的基本定理，這些定理都具有中值性，所以統(tǒng)稱(chēng)微分學(xué)中值定理，以拉格朗日中值定理為中心，他們之間的關(guān)系可用簡(jiǎn)圖示意如下：羅爾定理特例柯西定理泰勒公式拉格朗日中值定理推廣以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，尤其是拉格朗日中值定理，他建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)，中值定理的主要作用在于理論分析和證明，例如為利用導(dǎo)數(shù)判斷

5、函數(shù)單調(diào)性、取極值、凹凸性、拐點(diǎn)等重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而把握函數(shù)圖像的各種幾何特征.拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基礎(chǔ)定理之一，拉格朗日中值定理作為微分中值定理的核心，它有許多推廣，這些推廣都有一個(gè)基本特點(diǎn)，就是把定理?xiàng)l件中可微性概念拓寬，然后推廣微分中值表達(dá)公式.除此之外，拉格朗日中值定理在理論和應(yīng)用上也有著極其重要的意義.該定理敘述簡(jiǎn)單明了,并有明確的幾何意義，一般掌握問(wèn)題不大，但要深刻認(rèn)識(shí)定理的內(nèi)容，特別是中值點(diǎn)的含義，就有較大難度.總之，微分學(xué)中值定理是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具，而著名的拉格朗日中值定理作為其中一個(gè)承上啟下的定理

6、，是應(yīng)用數(shù)學(xué)研究函數(shù)在區(qū)間整體性態(tài)的有力工具，必須深刻認(rèn)識(shí)定理的內(nèi)容，熟練掌握定理的本質(zhì)，在解題時(shí)游刃有余，若對(duì)定理的實(shí)質(zhì)了解不夠深刻的話(huà)，會(huì)進(jìn)入不少誤區(qū).現(xiàn)借下文中的若干例子來(lái)對(duì)拉格朗日中值定理作一些探討，以起到對(duì)定理深入理解、熟練掌握并正確應(yīng)用的作用.2.拉格朗日中值定理定理2.1（拉格朗日中值定理） 若函數(shù)滿(mǎn)足下列條件：（i） 在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.3. 拉格朗日中值定理的推廣命題3.1 若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，函數(shù)極限都存在；則至少存在一點(diǎn),使得.證明 不妨記, ,令函數(shù) 則函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), .由拉格朗日中值定理,至少

7、存在一點(diǎn)，使得又，所以.命題3.2若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),函數(shù)極限與都存在；則至少存在一點(diǎn)，使得證明 令則復(fù)合函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)為由已知函數(shù)極限,與,都存在.由命題3.1，至少存在一點(diǎn)，使得,令,則時(shí)，并且.所以，至少存在一點(diǎn)，使得命題3.3若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),函數(shù)極限與都存在，則至少存在一點(diǎn)使得 .證明 令,且則復(fù)合函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為由已知函數(shù)極限,與,都存在.由命題3.1，至少存在一點(diǎn)使得令則時(shí)，所以，至少存在一點(diǎn)使得命題3.4 若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間,使得證明 令，且則復(fù)合函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為由已知函數(shù)極限,與,都存在.由命題3.1，至少存在一點(diǎn)，使得令則時(shí)，所以，至少存在一

8、點(diǎn)使得顯然,有如下的推論:若把上述命題的第二個(gè)條件加強(qiáng)為：有關(guān)的函數(shù)極限存在且相等,則至少存在一點(diǎn)屬于上述各區(qū)間,使得.于是我們得到了推廣的羅爾中值定理.不難看出,推廣的羅爾中值定理,有其明確的幾何意義:在符合定理的條件下,曲線(xiàn)在點(diǎn)處有水平的切線(xiàn).4. 拉格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理的應(yīng)用廣泛，可用于計(jì)算、證明、估算、判定等，在應(yīng)用中靈活性較大，下面從求極限、證明不等式、判別級(jí)數(shù)斂散性等方面對(duì)拉格朗日中值定理的應(yīng)用做進(jìn)一步的研究.4.1 利用拉格朗日中值定理求極限 用拉格朗日中值定理,最重要的是去找函數(shù)和相應(yīng)的區(qū)間,而公式可變形為:它的左端是有特點(diǎn)的，恰好是在區(qū)間上的增量與的區(qū)間長(zhǎng)度的

9、比值.因此公式變形后就可以確定函數(shù)和相應(yīng)的區(qū)間.例1求極限：.解 函數(shù)在或上運(yùn)用拉格朗日中值定理，得 (在與之間).故.例2設(shè)連續(xù),有公式 , （1） 試求解 對(duì)函數(shù)在或上運(yùn)用拉格朗日中值定理，得 ,代入（1）式，得 . （2）將按泰勒公式展開(kāi)： , （3）由（2）（3）得,故.例3求極限：.解 令在或上對(duì)變量運(yùn)用拉格朗日中值定理，得 （在之間）,故. 4.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式拉格朗日中值定理存在的形式并不是不等式的形式.那么怎么能用拉格朗日中值公式去證明不等式呢?我們知道,在拉格朗日中值公式中而不知道具體是多少,但根據(jù)在之間的取值卻可以估計(jì)的取值范圍.或者說(shuō)可以估計(jì)出取值的上、

10、下界，分別用取值的上、下界去代換拉格朗日中值公式中的就可以得到不等式.這就是用拉格朗日中值公式證明不等式的思想.例4證明當(dāng)時(shí)，.證明 設(shè)，顯然在區(qū)間上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件，故有 . （1）又 ,故（1）式為 ,則,即.例5設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且,若有使得，則必有，使得.證明 由題知，在,上分別滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件，則有,且.因且,故，又由題知在上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理，即.例6證明：當(dāng)時(shí)，.證明 令，則在上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件，故存在，使得,即.又因，故.當(dāng)時(shí)，,即.所以當(dāng)時(shí)，不等式成立.4.3 利用拉格朗日中值定理證明恒等式由拉格朗日中值定理知，函數(shù)在定義域內(nèi)取兩點(diǎn)

11、（不妨設(shè)），有，那么若恒為0，則有，所以.由的任意性可知，在定義域內(nèi)函數(shù)值恒等.即有下面一個(gè)推論：推論 如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么在內(nèi)是一個(gè)常數(shù).利用這個(gè)推論可以證明一類(lèi)反三角恒等式的題目.例7證明恒等.證明 令在時(shí)，有意義，且 . 所以，在時(shí)，（常數(shù)）.又取內(nèi)任一點(diǎn)，如，有，且，所以端點(diǎn)值也成立，由推論有恒等.4.4 利用拉格朗日中值定理證明等式用拉格朗日中值定理證明等式也是它的應(yīng)用中很重要的一項(xiàng),證明的目標(biāo)在于湊出形式類(lèi)似于拉格朗日中值定理的式子，尋找機(jī)會(huì)應(yīng)用.例8設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證，使得.證明 令，則在上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故存在，使得，由條件，可得，再令，則在上滿(mǎn)足拉

12、格朗日中值定理?xiàng)l件，故存在，使得，綜合上述兩式可得，即.4.5 利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)因?yàn)槔窭嗜罩兄刀ɡ頊贤撕瘮?shù)與其導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，很多時(shí)候我們可以借助其導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)從而了解函數(shù)在整個(gè)定義域區(qū)間上的整體認(rèn)識(shí).比如研究函數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)、單調(diào)性、一致連續(xù)性，凸性等等，都可能用到拉格朗日中值定理的結(jié)論，通過(guò)對(duì)函數(shù)局部性質(zhì)的研究把握整體性質(zhì)，這是數(shù)學(xué)研究中一種重要的方法.例9 證明：若函數(shù)在有窮或無(wú)窮的區(qū)間內(nèi)存在有界的導(dǎo)函數(shù)，則在內(nèi)一致連續(xù).證明 設(shè)當(dāng)時(shí)，對(duì)于，在以為端點(diǎn)的區(qū)間上由拉格朗日中值定理，有，在之間，那么對(duì)于,取，則當(dāng)，且，就有（在之間），由一致連續(xù)定義可知，在

13、內(nèi)一致連續(xù).4.6 利用拉格朗日中值定理證明估值問(wèn)題證明估值問(wèn)題，一般情況下選用泰勒公式證明比較簡(jiǎn)便，特別是二階及二階以上的導(dǎo)函數(shù)估值時(shí).但對(duì)于某些積分估值，可以采用拉格朗日中值定理來(lái)證明.例10設(shè)在上連續(xù)，且，試證：.證明 若，不等式顯然成立；若不恒等于0，使，在及上分別用拉格朗日中值定理，有 ,從而,這里利用了,所以原不等式得證.4.7 利用拉格朗日中值定理判別級(jí)數(shù)的斂散性在級(jí)數(shù)斂散性的判別問(wèn)題上，可以構(gòu)造輔助函數(shù)，研究在各個(gè)區(qū)間上的特點(diǎn)，最后相加可以進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用級(jí)數(shù)斂散性的判別法則給出判斷.例11證明調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性.證明 作輔助函數(shù)，其在區(qū)間上符合拉格朗日中值定理的條件，則存在一點(diǎn)，

14、使,故有,.把不等式兩邊分別累加，得.由于,所以，.即調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的.例12 若一正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，證明級(jí)數(shù)收斂.證明 作輔助函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，在上用拉格朗日中值定理，得，即，于是，由于.所以級(jí)數(shù)收斂，由比較原則知，級(jí)數(shù)收斂.4.8 利用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性證明方程根的存在性,所給根的范圍就是區(qū)間,把所給方程設(shè)為函數(shù),就可用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性(一般用反證法).例13設(shè)在上可導(dǎo),且,又對(duì)于內(nèi)所有的點(diǎn)有證明方程在內(nèi)有唯一的實(shí)根.證明 先證存在性.令,則在上可導(dǎo)，故，.所以，由零點(diǎn)定理知在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.即.再證唯一性（用反證法）.假設(shè)方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根不妨設(shè)則有對(duì)在上運(yùn)

15、用拉格朗日中值定理，有 .因此.這與已知條件矛盾.（唯一性得證）.4.9 利用拉格朗日中值定理證明函數(shù)的單調(diào)性例14證明 在內(nèi)單調(diào)增加.證明 因，又在上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件，故從而有.所以，在時(shí)單調(diào)增加.結(jié)語(yǔ)在高等數(shù)學(xué)中，拉格朗日中值定理所涉及到的應(yīng)用領(lǐng)域十分豐富，不僅內(nèi)容廣泛，而且方法靈活多樣，的確是一個(gè)需要認(rèn)真學(xué)習(xí)與研究的領(lǐng)域.本文先對(duì)拉格朗日中值定理推廣進(jìn)行了證明，然后從高等數(shù)學(xué)中常用的幾個(gè)方面概述了拉格朗日中值定理的應(yīng)用，并相應(yīng)地舉了些例子，以便更好的理解拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理的應(yīng)用是一個(gè)龐大的課題，加上我自身理論、能力方面的欠缺，所以本文中還有許多不足和無(wú)法涉及的內(nèi)容.本文對(duì)拉格朗日中值定理的應(yīng)用的相關(guān)論述，不可避免的存在著諸多漏洞與不足，懇請(qǐng)老師予以批評(píng).參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系·數(shù)學(xué)分