最全面的解三角形講義

1、解三角形【高考會這樣考】1考查正、余弦定理的推導(dǎo)過程2考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法4.考查利用正弦定理、余弦定理解決實際問題中的角度、方向、距離及測量問題基礎(chǔ)梳理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問題2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形為：cos A，cos B，cos

2、 C.3面積公式：SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R，r.4已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabsin Absin Aabababab解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解5用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等6實際問題中的常用角(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖(1)(2)方位角指

3、從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖(2)(3)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°，西偏東60°等(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)考向探究題型一 正弦余弦定理運用【例題1】在ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A、C和c.【例題2】 在ABC中，a、b、c分別是角A，B，C的對邊，且=-.（1）求角B的大??；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面積.【例題3】 （14分）ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大小；（2）若a=，求bc的最

4、大值；（3）求的值.【變式】1.ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c=，b=，B=120°,則a= .2.（1）ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;(2)ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.3.在ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，則ABC的面積為 .4.已知ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若ABC的面積為S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.5. 在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，則cosA= .6. 在ABC中,角

5、A、B、C的對邊分別為a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，則角B的值為 .7. 在ABC中，內(nèi)角A、B、C對邊的邊長分別是a、b、c.已知c=2,C=.（1）若ABC的面積等于，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面積.題型二 判斷三角形形狀 【例題】在ABC中，a、b、c分別表示三個內(nèi)角A、B、C的對邊，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判斷三角形的形狀.【變式】 已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數(shù)列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判斷ABC的形狀

6、.題型三 測量距離問題【例題】如圖所示，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，在這岸定一基線CD，現(xiàn)已測出CDa和ACD60°，BCD30°，BDC105°，ADC60°，試求AB的長 【變式】 如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂，測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離題型四測量高度問題【例題】如圖，山腳下有一小塔AB，在塔底B測得山頂C的

7、仰角為60°，在山頂C測得塔頂A的俯角為45°，已知塔高AB20 m，求山高CD. 【變式】如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB.題型五正、余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用【例題】如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30°，ADB45°，求BD的長 【變式】 如圖，在ABC中，已知B45°，D是BC邊上的一點，AD10，AC14，DC6，求AB的長鞏固訓(xùn)練1.在ABC中，若2cosBsinA=sinC,則ABC一

8、定是 三角形.2.在ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，則的值為 .3.已知ABC的三邊長分別為a,b,c,且面積SABC=（b2+c2-a2），則A= .4.在ABC中，BC=2，B=，若ABC的面積為，則tanC為 .5.在ABC中，a2-c2+b2=ab,則C= .6.ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),則C= .7.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，若a=1,b=,c=,則B= .8.某人向正東方向走了x千米，他右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點恰好千米，那么x的值是 .9.下列判斷中不正確的結(jié)論的序號是 .

9、ABC中，a=7，b=14，A=30°,有兩解ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解ABC中，a=6,b=9，A=45°，有兩解ABC中，b=9,c=10,B=60°,無解10. 在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，并且a2=b(b+c).（1）求證：A=2B；（2）若a=b,判斷ABC的形狀.11. 在ABC中，cosB=-，cosC=.（1）求sinA的值； （2）ABC的面積SABC=，求BC的長.12.已知a、b、c是ABC的三邊長，關(guān)于x的方程ax2-2 x-b=0 (acb)的兩根之差的平方等于4，ABC的面積S=1

10、0，c=7.（1）求角C；（2）求a，b的值.13. 在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a+b=5，c=，且4sin2-cos2C=.(1)求角C的大?。唬?）求ABC的面積.14(人教A版教材習題改編)如圖，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為() A50 m B50 m C25 m D. m15從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為() A B C90° D180°16若點A在點C的北偏東30

11、6;，點B在點C的南偏東60°，且ACBC，則點A在點B的() A北偏東15° B北偏西15° C北偏東10° D北偏西10°17一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時() A5海里 B5海里C10海里 D10海里18海上有A，B，C三個小島，測得A，B兩島相距10海里，BAC60°，ABC75°，則B，C間的距離是_海里19.如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方航行，乙

12、船按固定方向勻速直線航行當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里，當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里問：乙船每小時航行多少海里？ 參考答案例題答案題型一 正弦、余弦定理【例題1】 解 B=45°90°且asinBba,ABC有兩解.由正弦定理得sinA= =,則A為60°或120°.當A=60°時，C=180°-(A+B)=75°,c=.當A=120°時，C=180°-(A+B)=1

13、5°,c=.故在ABC中，A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.【例題2】 解（1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.將上式代入=-得:·=-整理得:a2+c2-b2=-accosB= =-B為三角形的內(nèi)角，B=.（2）將b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosBb2=16-2ac,ac=3.SABC=acsinB=.【例題3】解（1）cosA=-, 又A（0°，180°），A=120°. （2）由a=,得b2+c2

14、=3-bc,又b2+c22bc（當且僅當c=b時取等號），3-bc2bc(當且僅當c=b時取等號）. 即當且僅當c=b=1時，bc取得最大值為1. （3）由正弦定理得：2R, = = = 【變式】1. 2. 解（1）由正弦定理得.B=60°,C=75°,A=45°,b=4.(2)由正弦定理得sinC=1.又30°C150°,C=90°.A=180°-(B+C)=60°,a=4.3. 104. 解 依題意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2a

15、b(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2化簡得：tan=2.從而tanC=-.5. 6. 或 7. 解 （1）由余弦定理及已知條件，得a2+b2-ab=4.又因為ABC的面積等于，所以absinC=，所以ab=4.聯(lián)立方程組 解得.（2）由題意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,當cosA=0時，A=，B=，a=，b=.當cosA0時，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,聯(lián)立方程組 解得所以ABC的面積S=absinC=.題型二 判斷三角形形狀 【例題】 解方法一 已知等式可化為a2

16、sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化為：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC為等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC為

17、等腰或直角三角形.【變式】 解 方法一 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=.0B,B=.a，b，c成等差數(shù)列，a+c=2b.cosB=，化簡得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又B=，ABC是等邊三角形.方法二 2cos2B-8cosB+5=0，2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=,0B,B=,a

18、,b,c成等差數(shù)列，a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.sinA+sin=，sinA+sin-cos=.化簡得sinA+cosA=,sin =1.A+=,A=,C=,ABC為等邊三角形.題型三 測量距離問題【例題】解在ACD中，已知CDa，ACD60°，ADC60°，所以ACa.BCD30°，BDC105°CBD45°在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因為ACB30°，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點之間的距離為ABa.【變式】解在ACD中，DAC30°，

19、ADC60°DAC30°，所以CDAC0.1 km.又BCD180°60°60°60°，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.又ABC15°在ABC中，所以AB(km)，同理，BD(km)故B、D的距離為 km.題型四測量高度問題【例題】解如圖，設(shè)CDx m，則AEx20 m，tan 60°，BDx (m)在AEC中，x20x，解得x10(3) m故山高CD為10(3) m. 【變式】解在BCD中，CBD，由正弦定理得，所以BC在RtABC中，ABBCtanACB.題型五正、余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用【

20、例題】解在ABC中，AB5，AC9，BCA30°.由正弦定理，得，sinABC.ADBC，BAD180°ABC，于是sinBADsinABC.同理，在ABD中，AB5，sinBAD，ADB45°，由正弦定理：，解得BD.故BD的長為.【變式】解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120°，ADB60°.在ABD中，AD10，B45°，ADB60°，由正弦定理得，AB5鞏固訓(xùn)練1. 等腰；2. ；3. 45°；4. ；5. 60°；6. 45°或135°

21、;；7. ；8. 或2；9. 10.（1）證明 因為a2=b(b+c)，即a2=b2+bc,所以在ABC中，由余弦定理可得,cosB=,所以sinA=sin2B,故A=2B.（2）解 因為a=b,所以=,由a2=b(b+c)可得c=2b,cosB=,所以B=30°,A=2B=60°,C=90°.所以ABC為直角三角形.11. 解 (1)由cosB=-,得sinB=,由cosC=,得sinC=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.(2)由SABC=,得×AB×AC×sinA=. 由(1)知sinA=,故AB×AC=65.又AC=AB,故AB2=65,AB=.所以BC=.12. 解 （1）設(shè)x1、x2為方程ax2-2x-b=0的兩根，則x1+x2=，x1·x2=-.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+=4.a2+b2-c2=ab.又cosC=,又C(0°,180°),C=60°.(2)S=absinC=10，ab=40 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,即c2=(a+b)2-2ab(1+cos60°).72=(a+b)2-2×40×