譜方法解偏微分方程講解

1、譜方法解偏微分方程學(xué)生：石幸媛，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 指導(dǎo)老師：陳慧琴 ，江漢大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院學(xué)號： 200808101125摘要本論文分析的是偏微分方程的譜方法解。在此，我借用向新民編的譜方法 的數(shù)值分析中第 67頁例 2.1 方程進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)例 2.1 的譜方法計(jì)算方式， 給該方程具體的函數(shù)進(jìn)行計(jì)算， 求解其值， 并繪圖。最后研究比較一階波動方程 的 Fourier 譜方法與 Fourier 配點(diǎn)逼近有什么不同與相近之處，做出結(jié)論。關(guān)鍵詞 ： Fourier 配點(diǎn)逼近，截?cái)嗪瘮?shù)，插值函數(shù) ,Fourier 譜方法AbstractThis paper analyses the pa

2、rtial differential equations of the spectral method. Here, I use the Xiang Xinmin series" numerical analysis of spectral method" on page sixty-seventh example 2.1equation. According to the case of 2.1spectral methods for computing method, give the specific function for calculating equation

3、, solving its value, and drawing. The final study comparing a first-order wave equation in Fourier spectral method and Fourier collocation approximation of what is the difference and similarities, make a conclusion.Key words: Fourier collocation approximation, truncated function, interpolation funct

4、ion, Fourier spectral method目錄緒論 4論文主題 5§1 定義引用： 5§2 論文內(nèi)容： 52.1 ： Fourier 配點(diǎn)法 5結(jié)論 13致謝 14參考文獻(xiàn) 15緒論譜方法是 70 年代發(fā)展起來的一種數(shù)值求解偏微分方程的方法，它具有“無 窮階”收斂性，可采用快速算法，這以后。尤其到了 80 年代，Quarteroni 、Canuto、 Pasciak 、 Funaro、郭本瑜、 Maday 等人對譜方法從理論上作了系統(tǒng)研究，對各 類投影算子、 插值算子等導(dǎo)出了在各種范數(shù)意義下的誤差估計(jì)， 并把這些理論運(yùn) 用于一系列重要的線性和非線性偏微分方程上

5、， 取得了令人滿意的結(jié)果， 與此同 時(shí)，大量的實(shí)際計(jì)算也證明了譜方法確是一種有效的數(shù)值方法。 現(xiàn)已被廣泛用于 氣象、物理、 力學(xué)等諸多領(lǐng)域， 成為繼差分法和有限元法之后又一種重要的數(shù)值 方法。目前，國內(nèi)外專門介紹譜方法思想及其理論的書籍甚少。且雖然譜方法在 在理論研究方面已取得了一些重要進(jìn)展，但與差分法和有限元法相比還差很遠(yuǎn)。 因此，在研究偏微分方程的譜方法解時(shí)可運(yùn)用資源有限。 在導(dǎo)師的指導(dǎo)下， 我借 助所學(xué)習(xí)的書籍種的知識， 對偏微分方程的某個(gè)方程即摘要中提到的 譜方法的 數(shù)值解一書中的第第 67頁例2.1 方程進(jìn)行具體化計(jì)算分析。 對結(jié)果進(jìn)行畫圖， 研究其形狀特征。論文主題§ 1

6、 定義引用：當(dāng)用譜方法來求解偏微分方程時(shí)，經(jīng)常需要用到截?cái)嗪瘮?shù)或者插值函數(shù) 的微分，以下就來討論此問題。suiku?k k x設(shè) k .是u 的 Fourier 級數(shù)，因而可得PNu PNu ,即截?cái)嗪颓髮?dǎo)是可交換的，如果 u L2 ，那么Su 也在L2意義下收斂于 u 。§2 論文內(nèi)容：u f x ,0 x 22.1.1 )2.1 ：Fourier 配點(diǎn)法 引用例 2.1 考慮方程 d a x du dxdx的 Fourier 配點(diǎn)逼近。bj其N1 dunbleilxdx l Nddx2N 121N p 0a xp dduxN x xilxeN 1 du suN xei x,則 d

7、uN令 N dx,uN x SN為方程的近似解，那么duNdx中.x xpN1N1ilx jilble j ,lNi ei xp,而21N2N-1u xs e is0這樣duNdxxxbl2NN 1 2N 1i u xs e i xsei xp ,N 2N s 02N 1 N 1 2N 1a xpi u xs e i xse p e pp 0 N 2N S 0最后ddxN1INl N2N 2N 1 N 1s 0 NduN a x Ndx x x jil 2N 1 N 1 i il a xp i p 0 N 2Ni 2N 1 i a xp 2N P 02N 1i xs i xpi x p i x

8、ju xse se p e pe js0N1il ilx j ilx peel N2Nes u xs ,寫成矩正形式即為：1ikx je ikxj ,kN ,., N 1,2N(DVD I)U F,其中D C KC,C ckj ,ckj j 0,.,2N 1,K diag ik , k,k N 1,., N 1,0,k N,A diag a x0 ,.,a x2N 1 , F f x0 ,., f x2N 1 .我們?nèi)∵吔缰?.u(0)=u(2 )=o, 改變 a(x),f(x) 或 u(x) 函數(shù)，然后在計(jì)算機(jī)中運(yùn) 用 Matlab 程序 進(jìn)行計(jì)算。 Matlab 程序設(shè)置或步驟如下： la

9、mal=0;% 可以對應(yīng)修改的常數(shù)N=100; h=2*pi/(2*N);for k=-N:N-1for j=1:2*Nx=j*h;C(k+N+1,j)=1/(2*N)*exp(-i*k*x);endend k1(1)=0;for k=-N+1:N-1 k1(k+N+1)=k*i;endK=diag(k1);for j=1:2*Nx=j*h;a(j)=1; % 可以對應(yīng)修改的函數(shù)%a(j)=x;f(j)=-sin(x);% 可以對應(yīng)修改的函數(shù) %f(j)=x;endA=diag(a);F=f'I=ones(2*N,2*N);D=inv(C)*K*C;AA=D*A*D-lamal*I;f

10、or j=1:2*N-2AA1(:,j)=AA(:,j+1);endU=inv(AA1'*AA1)*AA1'*F;for j=1:2*Nx(j)=j*h;endUU(1)=0;UU(2*N)=0;for j=1:2*N-2UU(j+1)=U(j);end% plot(x,UU)for j=1:2*Nx(j)=j*h;y(j)=sin(x(j); % 可以對應(yīng)修改的函數(shù) % y(j)=1/6*x(j)3+(-1/6*(2*pi)2)*x(j);endplot(x,UU,'r',x,y,'b') 設(shè) 0 ，a(x)=1,u(x)=sinx 那么根據(jù)公

11、式 ()帶入得 f (x) sin x 運(yùn)行 程序最后獲得結(jié)果為下圖：如圖紅線為譜方法的解，藍(lán)色為精確解。所示譜方法所求解與精確解基本吻合。 設(shè)0, a(x)=1 ，u(x) sin2x, 則根據(jù)公式( 2. 1.1 )算得 f(x) 4sin2x,運(yùn)行程序最后得到結(jié)果圖為：如圖所示，譜方法解與精確解基本吻合。x cos x 運(yùn) 設(shè)0, a(x)=x,u(x)=sinx. 則根據(jù)公式( )計(jì)算 f ( x) sin x行程序得到最后結(jié)果如下圖：由圖片觀察紅線與藍(lán)線相差很大，此時(shí)得到結(jié)果脫離了我們的要求。當(dāng)我們嘗試調(diào)節(jié)8 時(shí)，我們就可以得到一個(gè)相對精確的值，圖如下：1.5-1.510.5-0.5

12、-112340 設(shè) 0, a(x ) =1,f(x)=x 那 么 由 給 定 初 始 值 u( 0) u( 2 ) 0 ， 解 得y 1 x3 1 (2 ) 2x6 6 , 再次通過 Matlab 進(jìn)行運(yùn)行得到最后結(jié)果為下圖：結(jié)果分析的誤差依然很大。然后在下面操作時(shí)，無論 改變?yōu)楹沃?，都存在上圖的誤差。例當(dāng) 得到圖形為：1000 時(shí)2.2 有限差分法 1：由上面我們可以得到用 Fourier 配點(diǎn)法算得的解與精確解有較大的誤 根據(jù)中我們可以得到 a(x)=x,u(x)=sinx, 此時(shí)我們?nèi)?1000 ，由公式( ) 可以得到 f(x)=cosx-xsinx-1000sinx, 最后獲得結(jié)果為

13、下圖 :差。因此，我們嘗試用差分法對進(jìn)行繼續(xù)分析. 對原方程進(jìn)行變形得a(x) u(x) a(x)u(x) u(x) f (x)Matlab 程序編程如下： clear format long lamal=1000; % 可以修改的常量 N=100;h=2*pi/(N);for i=1:N-1x(i)=i*h; y(i)=sin(x(i);%y(i)=1/6*x(i)3+(-1/6*(2*pi)2)*x(i);% a(i)=1; % 可以修改的常量 a1(i)=0; % 可以修改的常量 l1(i)=a1(i)/(2*h)+a(i)/(h2);end(2.2.1)精確值for i=1:N-1A(

14、i,i)=-lamal; endfor i=1:N-2A(i,i+1)= l1(i); end for i=2:N-1 A(i,i-1)= -l1(i); endfor i=1:N-1x(i)=i*h;% f(i)=x(i)-lamal*(1/6*x(i)3+(-1/6*(2*pi)2)*x(i); f(i)=cos(x(i)-x(i)*sin(x(i)-lamal*sin(x(i);% end可以修改的常量UU=inv(A)*f'plot(x,UU,'r',x,y,'b')得到的是一個(gè)十分精確地結(jié)果。根據(jù)同樣可以到一個(gè)相對精確地解，如下圖：也可以得到一

15、個(gè)十分精確地解結(jié)論1、總體分析可得， Fourier 配點(diǎn)法是具有可行性的。并且可以得到比較精確地 結(jié)果。如圖分析結(jié)果所示當(dāng) u 是無窮可微且具有周期性時(shí)，則可以得到所謂的“譜精度” 。但是把譜方法 2、運(yùn)用于偏微分方程求解時(shí)， u 一般只具有有限正則性，這時(shí)上面得到的估計(jì) 就不是最優(yōu)，如所示。此時(shí)用差分法，精度會比譜方法高。致謝感謝學(xué)校，給了我舒適的學(xué)習(xí)環(huán)境和學(xué)習(xí)資源，讓我學(xué)習(xí)和制作論文能順 利進(jìn)行。感謝數(shù)計(jì)學(xué)院的老師們在大學(xué)四年傳授給我這么多的數(shù)學(xué)知識儲備， 給 我論文的研究奠定了一定的基礎(chǔ)。 感謝我的指導(dǎo)老師陳慧琴老師， 數(shù)月以來， 從 論文方向的確定， 制作步驟的進(jìn)行， 以及制作過程遇

16、到的困難順利解決， 都離不 開陳老師給予的耐心細(xì)致的講解和指導(dǎo)， 在論文制作中， 不僅收獲了新知識即譜 方法求解偏微分方程， 還學(xué)會如何制作一篇合格優(yōu)秀的論文作品。 論文在此順利 完成，謝謝你們。參考文獻(xiàn)1 向新民 .譜方法的數(shù)值分析 .北京，科學(xué)出版社， 20002 Wang J P.Non-periodic fourier transform and limite spectral method.3 任宗修. SRLW 方程的 Chebyshev 擬譜方法. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 1995 ，12(2) ： 34-404 余德浩.湯華中 . 微分方程數(shù)值解法 . 科學(xué)出版社5 張理論.李曉梅.

17、譜方法數(shù)值計(jì)算研究進(jìn)展 . 指揮技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) , 200167 Y.Maday&A.Quarteroni,(1981),Legendre and Chebyshev spectral approximations of Burgers'equation,Numer.Math.,37,321332 .8 郭本瑜，( 1985 )，Navier-Strokes 方程的譜解法，中國科學(xué)， A 輯， NO.8 ，353362.9 郭本瑜，( 1988 )，偏微分方程的差分方法，科學(xué)出版社。10 劉播，黃明游，( 1987 )，一些非線性發(fā)展方程的 Fourier 方法，高等學(xué)校 計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， Vol.9,No.2,119133.11 F.john,(1986), 偏微分方程。朱汝金譯，科學(xué)出版社。12 郭本瑜，( 1985 )，KDV-Burgers 方程譜方法的誤差估計(jì)， 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， No.1, 115.13