拓撲學 緊致性

1、第四章 緊致性緊致性是數(shù)學分析中的重要概念。盡管這個概念出現(xiàn)的較早，但是，從本質上講，它是一個拓撲概念，也是一個最基本的拓撲性質。我們先回顧一下度量空間緊性（列緊性）概念（在實直線上，緊性是描述閉區(qū)間性質的，而在實分析中，閉區(qū)間具有良好的性質）。§4-1 度量空間中緊性（簡單復習） 定義1 設是的一個子集。如果中任一無窮點列有子列收斂于中的一點，則稱是相對列緊的；如果中每個收斂子列的極限點都屬于，則稱是列緊的；如果本身是列緊的，則稱為列緊空間。 注釋：這里的緊性之所以成為列緊，是因為用序列收斂描述的。下面的結論是顯然的（由于都是過去的知識，所以不加證明的給出）（1） 有限子集總是列緊

2、的。（2） 列緊空間是完備的（但，完備空間未必是列緊的）。（3） 若是的列緊子集，則是的有界閉集。（4） 在一般度量空間中，（3）成立，反之未必；如果是列緊空間，則 列緊 是閉集。（5） 列緊的度量空間必是可分的。進一步分析：列緊性能用來刻畫閉集，但是，它是利用“序列”形式刻畫的。人們找出了一種非序列刻畫的方式。定義2 設是的一個子集。是的一族開集，滿足，則稱為在中的開覆蓋；若中只有有限個子集，稱為有限開覆蓋；若本身的每一開覆蓋都有一有限子覆蓋，則稱為緊致空間（有的書成為緊空間） 理論上可以證明：對于度量空間來說，列緊性與緊致性是等價的。即列緊空間緊致空間（這在泛函分析書中都有介紹）。

3、7;4-2 拓撲空間的緊性在數(shù)學分析中，人們很早就注意的，實直線上閉區(qū)間具有某些極好的性質，它對于證明極大值定理、一致連續(xù)性定理等起著至關重要的作用。但是，如何在拓撲空間上表述這個特性，長期不得而知。所以，最早人們認為上這個特性取決于上任何一個無窮子集都有極限點，進而提出了列緊性概念。后來研究發(fā)現(xiàn)，在拓撲空間上，序列并不是個好的表達形式。因此，列緊性并未觸及到問題的本質。進一步深入研究，認為用“開集”表達形式更為自然。并且從實分析理論中知道：“實數(shù)空間的子集為有界閉集它的每一開覆蓋都有有限子覆蓋”。這種描述的優(yōu)點：用有限族去代替無窮族（序列）的研究；無須度量描述。解釋：為什么可以用有限覆蓋表述

4、無窮序列收斂？ 定義3 設為拓撲空間，如果的每一開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱為緊致空間。 顯然，每一緊致空間也都是Lindelöf空間（的每一開覆蓋都有可數(shù)子覆蓋），反之不然。 定義4 設為拓撲空間的非空子集，若作為的子空間是緊致的，則稱為的緊致子集。例1 實數(shù)集不是緊致空間。因為為的開覆蓋，但是中任何有限子集族 的并集為，它不能覆蓋，即沒有有限子覆蓋（解釋：要覆蓋只有。但這是一個無限的過程，不能用有限的方法得到）。例2 的開區(qū)間不是緊致的。因為開區(qū)間族： 是的一個開覆蓋，中任何有限個成員都不能覆蓋。例3 的子空間（為正整數(shù)集）是緊致的。 因為，任給的一個開覆蓋，中有一個成員包含0，記

5、這個成員為（開區(qū)間）。于是，開區(qū)間除了有限個“”外，它要包含的所有其余的點，因此，對于中的每一個未包含的點，從中選一個報還它的成員，這些成員當然是有限的。例4 任何一個僅含有限多個點的空間必然是緊致的。 重新看一下定義4：說為拓撲空間的緊致子集，是指中的開集構成的的覆蓋都有有限子覆蓋，并沒有明顯說明：每一的開集構成的的覆蓋都有有限子覆蓋。因此，下面的定理是必要的。定理1 拓撲空間的子集是的緊致子集每一由的開集構成的的覆蓋都有有限子覆蓋。證明： 假設是緊致的。令是由的開集組成的的一個覆蓋，那么，就是中開集所組成的的一個開覆蓋。由于是緊致的，從而有一個有限子族 可以覆蓋，即它就是的一個覆蓋的有限族

6、。 反之，設的每一由的開集構成的覆蓋都有有限子覆蓋。設為的由的開集構成的覆蓋，其有限子覆蓋為 而 故是的緊致子集。定理2 設為拓撲空間的基，若由的成員構成的的每一覆蓋（自然是開的）都有有限子覆蓋，則為緊致空間。證明： 設是的任一開集。對于，則是開集，故存在的子族，使得。令 （即，覆蓋中所有成員的中集族）由 即，是中成員構成的的覆蓋。 如果有有限子覆蓋，不妨設為。故存在，使得，從而。于是，的有限子集族一定是的子覆蓋。所以，為緊致空間。 定理3 緊致空間的每一閉子集都是緊致子集。證明： 設是緊致空間的閉子集，于是是的一個開集。如果是的任一開覆蓋，不難看出構成的一個開覆蓋。又因為是緊致的，故中存在有

7、限集族是的有限子覆蓋，而是的一個有限子覆蓋，即閉集的任一開覆蓋都有有限子覆蓋，所以，是緊致的。下面的幾個定理不加以證明的給出。定理4 每一拓撲空間都是某一緊致空間的子空間。定理5 若均為緊致空間，則積空間為緊致空間。定理6 設是從拓撲空間到的連續(xù)映射，若是的緊致子集，則是的緊致子集。上述定理的解釋：abNR定理4說明，對于非緊致的拓撲空間，可以通過補充一些元素的方法，使其成為緊致空間，并將這個緊致空間稱為原空間的加一點的緊致化。 實直線的單點緊致化同胚于圓周（補充點）； 的單點緊致化同胚于球面。 同時，從定理4 又可以看出，緊致空間的子空間未必是緊致的。即，緊致性不是可遺傳性質。定理6說明：緊

8、致集在連續(xù)映射下的象也是緊致集。從前面的定義知：緊致性是用一族開集的并運算定義的（開覆蓋），那么，根據(jù)集合論中的摩根定律，“開集的并運算”與“閉集的交運算”是對偶的。所以，空間的緊性也可以利用另一種方式來定義。（盡管這種定義是較費解的，但是在拓撲學的某些證明中還是有用的）定義5 令為任意非空集合，是的任一子集族。如果的每一有限子集族的交集都是非空的，則稱具有有限交性質。 定理7 拓撲空間是緊致的 的每一具有有限交性質的閉集族都是非空的交。 關于定理7的注釋（不證明）： 關于“的每一具有有限交性質的閉集族都是非空的交”的含義是： 設是上的一族閉集合，它中的任何有限個集合的交集都是非空的，即是有限

9、交性質的。則應由，即，閉集族都必含有某個相同元素。§4-3 緊致性與分離公理（Hausdorff空間的緊致子集）本節(jié)討論緊致空間和公理共同作用下得到的拓撲空間性質。定理8 設是Hausdorff空間的緊致子集，若，則與有不相交的鄰域。AVUx證明： 對于，則。由于是空間，則有和的開鄰域(注：下標均為，表示這兩個鄰域與的選擇有關)，且。當取遍時，有構成的開覆蓋。又由于是緊致子集，故存在有限子覆蓋，設為。令 ABVU則是的開鄰域，是的開鄰域。又，對于任意均有。所以，。 證畢。 定理9 Hausdorff空間的不相交緊致子集有不相交的鄰域。 證明方法與定理8 雷同，證略。它的意義如右圖所示

10、。由定理8和定理9，可以得到如下的推論。推論1 Hausdorff空間的每一緊致子集都是閉集。注釋：因為，則（閉包），所以不是的聚點，即是含有聚點的集合，故是閉集。推論2 緊致的Hausdorff空間的子集為閉集 它是緊致子集。注釋：根據(jù)推論1得到；由定理3“緊致空間的閉子集是緊致子集”得到。 于是，有如下關系： 緊致空間： 閉集 緊致子集 Hausdorff空間： 閉集 緊致子集緊致Hausdorff空間： 閉集 緊致子集 另外，由定理9，我們得到如下結論。推論3 每一緊致的Hausdorff空間都是空間。注釋：根據(jù)緊致Hausdorff空間的緊致子集是閉集，且閉集也是緊致集。則由定理9，有

11、不相交鄰域，則是空間。推論4 每一緊致的Hausdorff空間都是空間。 注釋：由緊致Hausdorff空間的緊致子集等價于閉集，再由定理8，則是空間。于是，我們又推出如下關系： 對于緊致空間： Hausdorff空間 正則空間 正規(guī)空間注： 已知： 正規(guī)空間 正則空間 Hausdorff空間 （ã） 又，緊致空間是Lindelöf空間，而對Lindelöf空間有，于是正則空間 正規(guī)空間 又由推論3和4，故有（ã）成立。定理10 從緊致空間到Hausdorff空間的連續(xù)映射必為閉映射。證明： 設為緊致空間，為Hausdorff空間。為連續(xù)映射。設是的任一

12、閉集，故而是緊致子集（由定理3），則是的緊致子集（由定理6）。由推論1，是閉集。故為閉映射。定理11 為緊致空間，為Hausdorff空間，是在上的一一連續(xù)映射，則是同胚。證明： （提示：只要證明是連續(xù)的）在第二章§2-5“連續(xù)映射與同胚”中定理1（3）已有結論：“，若的閉集在下的原象是閉的，則連續(xù)”在此，記；于是利用定理10，有是連續(xù)的。故是同胚。 關于“歐氏空間的緊致子集”一節(jié)略，同學們可以自己看。§4-4 幾種緊致性的關系（簡介）在微積分學中，實數(shù)空間的子集上，下述命題是等價的：（1）是有界閉集；（2）的每一開覆蓋都有有限子覆蓋；（3）中每一無限子集都有聚點在中；（4

13、）中每一序列都有收斂的子序列收斂于中的點； 同時，（2）可以寫成（5）的每一可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋（注：由（5）不能推出（2）！ 即，（5）不是（1）（4）的等價命題）定義6 設為拓撲空間，如果的每一可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱為可數(shù)緊致空間。下面的命題都是顯然的。命題1 每一緊致空間都是可數(shù)緊致空間。命題2 每一Lindelöf的可數(shù)緊致空間都是緊致空間。注釋： Lindelöf空間每一開覆蓋有可數(shù)子覆蓋。如果它又是可數(shù)緊致空間，則每個可數(shù)子覆蓋都有有限子覆蓋，則每個開覆蓋都有有限子覆蓋，故是緊致空間。前面介紹了度量空間的列緊性，列緊性也可以移植到拓撲空間中。定義7

14、設為拓撲空間，如果的每一無限子集都有聚點，則稱為列緊空間。 （說明：許多書對列緊的定義不一致）定理12 每一可數(shù)緊致空間都是列緊空間。（不證明）定義8 設為拓撲空間，如果中每一序列都有收斂的子序列，則稱為序列緊致空間。定理13 每一序列緊致空間都是可數(shù)緊致空間。每一滿足第一可數(shù)公理的可數(shù)緊致空間都是序列緊致空間。 由上述定理，我們可歸納出如下關系：緊致空間可數(shù)緊致空 間序列緊致空 間列緊空間C1LindelöfT1未證明 §4-5 局部緊致與仿緊緊致性是一種很好的拓撲性質，如，緊致空間上的函數(shù)有界，并且達到最大、最小值。但是，緊致性的條件太強，以至于維歐氏空間也不是緊致的（

15、的閉子集是緊致的）。本節(jié)介紹緊致性的兩個方面推廣 局部緊致和仿緊的。定義9 設為拓撲空間，如果的每一點都有一個緊致的鄰域，則稱為局部緊致空間。注釋：“，都有一個緊致的鄰域”，表示至少存在一個，并不是說的所有鄰域都是緊致的。 由定義9不難看出： 緊致空間一定是局部緊致的。 因為，若是緊致的，則其閉子集也是緊致的，只要取包含的閉集作為的鄰域即可； 另外，本身就是每一的鄰域。 維歐氏空間是局部緊致空間。 因為歐氏空間上的閉子集是緊致的，于是的球形鄰域的閉包是緊致的。下面討論局部緊致性與公理（Hausdorff空間）配合的結果。 定理14 設是局部緊致的Hausdorff空間，則（1）滿足公理。（2）

16、，的緊致鄰域構成它的鄰域基（也稱局部基）。（3）的開子集也是局部緊致的。證明：（1）證明思路：由§3-4節(jié)命題5，有 “是 和它的開鄰域，存在的開鄰域，使得”。于是，設，是的開鄰域，僅證存在的開鄰域，使得。設是局部緊致的Hausdorff空間，是的開鄰域。有一緊致鄰域。根據(jù)§4-3中推論1“Hausdorff空間的每一緊致子集都是閉集”，則是的閉集。又由推論4“每一緊致的Hausdorff空間都是空間”，則作為子空間是空間。令，則是在中的開鄰域；由于是空間，則有在中的開鄰域，使得。以為是的開集，是的閉子空間，是中閉包，也是中閉包。綜上所述：，在中的開鄰域，滿足，即是空間。 （2）證明思路：根據(jù)的局部基定義，只要證明對于的任一開鄰域，存在的一個緊致鄰域，使得。對于，設是的一個緊致鄰域，則也是的鄰域。又根據(jù)（1）知，滿足公理，于是，存在的鄰域，滿足。取，它是緊致空間的閉集，故也是緊致的。（3）可由（2）直接推出。在定義仿緊性之前，先給出兩個概念： 設是拓撲空間的一個覆蓋，如果對于任一，有一鄰域，僅與中有限個成員相交，則稱為的局部有限覆蓋。易知，有限覆蓋當然是局部有限覆蓋。 設和都是的覆蓋，若的每一成員都包含在的某個成員中，則