練習(xí)題及參考答案

1、第二章 靜電場 練習(xí)題及參考答案1、均勻帶電導(dǎo)體球，半徑為，帶電量為。試求（1） 球內(nèi)任一點(diǎn)的電場（2） 球外任一點(diǎn)的電位移矢量解：（1）（2） 2、放在坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷在空間任一點(diǎn)處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度表達(dá)式為 （1）求出電力線方程；（2）畫出電力線。圖18-2解:（1） 式中，為任意常數(shù)。（2）電力線圖所示。3、用球坐標(biāo)表示的場，求（1） 在直角坐標(biāo)中點(diǎn)（-3，4，5）處的；（2） 在直角坐標(biāo)中點(diǎn)（-3，4，5）處的分量解：（1） （2）， 4、兩點(diǎn)電荷，位于軸上處，位于軸上處，求空間點(diǎn) 處的（1）電位；（2）該點(diǎn)處的電場強(qiáng)度矢量。解：（1） （2）5、一個(gè)點(diǎn)電荷位于處，另一個(gè)點(diǎn)電荷位于處，其中

2、。求（1） 求出空間任一點(diǎn)處電位的表達(dá)式；（2） 求出電場強(qiáng)度為零的點(diǎn)。解：（1）建立如圖18-1所示坐標(biāo)空間任一點(diǎn)的電位 其中， ， （2）根據(jù)分析可知，電場等于零的位置只能位于兩電荷的連線上的的左側(cè)，設(shè)位于處，則在此處電場強(qiáng)度的大小為 令上式等于零得 求得 6、真空中均勻帶電球體，其電荷密度為，半徑為，試求（1） 球內(nèi)任一點(diǎn)的電位移矢量（2） 球外任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度解：（1） （2）當(dāng)時(shí)， 7、設(shè)無限長直線均勻分布有電荷，已知電荷密度為，如圖所示，求（1） 空間任一點(diǎn)處的電場強(qiáng)度；（2） 畫出其電力線，并標(biāo)出其方向。圖1解（1）圖2（2）其電力線如圖2所示。8、設(shè)為兩種媒質(zhì)的分界面，為空氣，

3、其介電常數(shù)為，為介電常數(shù)的媒質(zhì)2。已知空氣中的電場強(qiáng)度為，求（1）空氣中的電位移矢量。（2）媒質(zhì)2中的電場強(qiáng)度。解：（1）空氣中的電位移矢量 （2）由邊界條件 切向分量 法向分量 故： 得媒質(zhì)2中的電場強(qiáng)度為： 圖1 9、電偶極子電量為，正、負(fù)電荷間距為，沿軸放置，中心位于原點(diǎn)，求出空間任一點(diǎn)P處的電位表達(dá)式。解：其中， 10、同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為，內(nèi)、外導(dǎo)體間介質(zhì)為空氣，其間電壓為 圖2（1）求處的電場強(qiáng)度（2）求處的電位移矢量解：（1）導(dǎo)體內(nèi)部沒有電荷分布，故內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)部處的電場強(qiáng)度處處為零。（2）設(shè)單位長內(nèi)導(dǎo)體表面電荷密度為，由電荷的分布對稱性可知，離導(dǎo)線等距離處的電場大小處處

4、相等，方向?yàn)檠刂鎻较?，在底面半徑為長度為的柱體表面使用高斯定理得：可得任一點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為： 再由 得任一點(diǎn)處的電位移矢量為： 11、自由空間中一點(diǎn)電荷電量為2C，位于處，設(shè)觀察點(diǎn)位于處，求（1）觀察點(diǎn)處的電位（2）觀察點(diǎn)處的電場強(qiáng)度。解：（1）任意點(diǎn)處的電位 將觀察點(diǎn)代入 （2）源點(diǎn)位置矢量 場點(diǎn)位置矢量 點(diǎn)電荷到場點(diǎn)的距離矢量 12、平行板電容器極板長為、寬為，極板間距為，如圖所示。設(shè)的極板上的自由電荷總量為，求 （1）電容器間電場強(qiáng)度；（2）電容器極板間電壓。解：（1）建立如圖所示坐標(biāo)。設(shè)上極板的電荷密度為，則 極板上的電荷密度與電場法向分量的關(guān)系為 由于平行板間為均勻電場，故 （2）

5、 由： 將上面電場代入得： ab13、電荷q均勻分布在內(nèi)半徑為a, 外半徑為b的球殼形區(qū)域內(nèi)，如圖示：（1）求各區(qū)域內(nèi)的電場強(qiáng)度；（2）若以處為電位參考點(diǎn)，試計(jì)算球心（）處的電位。解：（1）電荷體密度為：由高斯定理： 可得， 區(qū)域內(nèi)， 區(qū)域內(nèi)， 區(qū)域內(nèi)，（2）代入各量并計(jì)算得， 14、圖示球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑， 外導(dǎo)體內(nèi)徑 ，其間充有兩種電介質(zhì)與， 它們的分界面的半徑為。 已知與的相對介電常數(shù)分別為。求此球形電容器的電容。（已知）解：15、圖示極板面積為S、間距為 d 的平行板空氣電容器內(nèi)，平行地放入一塊面積為S、厚度為a、介電常數(shù)為的介質(zhì)板。 設(shè)左右兩極板上的電荷量分別為與 。若忽略端部的

6、邊緣效應(yīng)，試求 (1) 此電容器內(nèi)電位移與電場強(qiáng)度的分布；(2) 電容器的電容及儲存的靜電能量。 解：（1），（2) 16、半徑為的均勻帶電無限長圓柱導(dǎo)體，單位長度上的電荷量為，求空間電場強(qiáng)度分布。解：因?yàn)殡姾煞植季哂兄鶎ΨQ性，由靜電場的高斯定理，可作一個(gè)與已知柱體同軸的、高為、半徑為的柱面為高斯面，則分區(qū)域討論：（1）時(shí)，由高斯定理得：（2）時(shí)，高斯面內(nèi)包圍的電荷量為 ，同理可得 17、兩個(gè)點(diǎn)電荷，電量分別為+q和-3q，相距為d，試求：（1）在它們的連線上電場強(qiáng)度=0的點(diǎn)與電荷量為+q的點(diǎn)電荷相距多遠(yuǎn)？（2）若選無窮遠(yuǎn)處電勢為零，兩點(diǎn)電荷之間電勢U=0的點(diǎn)與電荷量為+q的點(diǎn)電荷相距多遠(yuǎn)？解

7、：（1）據(jù)題意可知電場強(qiáng)度=0的點(diǎn)一定在它們的連線的延長線上且位于電荷量為+q的點(diǎn)一側(cè)，設(shè)與電荷量為+q的點(diǎn)電荷相距為，則由=0得：解得：。（2）據(jù)題意可知電位的點(diǎn)可能在它們的連線上()也可能在它們的連線的延長線上且位于電荷量為+q的點(diǎn)一側(cè)，設(shè)與電荷量為+q的點(diǎn)電荷相距為，則由可得： 或 分別解得： () 18、一個(gè)半徑為的電介質(zhì)球內(nèi)含有均勻分布的自由電荷，電荷體密度為。證明其中心點(diǎn)的電位是 證明：由靜電場的高斯定理可求得空間的電場強(qiáng)度分布為：若選擇無窮遠(yuǎn)為電位參考點(diǎn)，球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可得球心的電位為：將電場強(qiáng)度的大小分別代入，并計(jì)算得：，結(jié)論得證。19、證明極化介質(zhì)中，極化電荷體密度與自由電荷體密度的關(guān)系為：證明：由高斯定理的微分形式及電位移矢量的定義式和極化電荷體密度公式得：化簡得：，結(jié)論得證。20、一個(gè)半徑為，帶電量為的導(dǎo)體球，球外套有半徑為的同心介質(zhì)球殼，介質(zhì)的介電系數(shù)為,殼外是空氣。求空間任意點(diǎn)的及電位。解：由介質(zhì)中靜電場的高斯定理，得空間各區(qū)域的電位移矢量分別為：空間各區(qū)域的電場強(qiáng)