熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理課后習(xí)題答案第一章

1、1.1 試求理想氣體的體脹系數(shù),壓強(qiáng)系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為 （1）由此易得 （2） （3） （4）1.2 證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)，根據(jù)下述積分求得：如果，試求物態(tài)方程。解：以為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為其全微分為 （1）全式除以，有根據(jù)體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)的定義，可將上式改寫(xiě)為 （2）上式是以為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，有 （3）若，式（3）可表為 （4）選擇圖示的積分路線，從積分到，再積分到（），相應(yīng)地體積由最終變到，有即（常量），或 （5）式（5）就是由所給求得的物態(tài)方程。 確定常量C需要

2、進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。1.3 在和1下，測(cè)得一銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為可近似看作常量，今使銅塊加熱至。問(wèn)：（a）壓強(qiáng)要增加多少才能使銅塊的體積維持不變？（b）若壓強(qiáng)增加100，銅塊的體積改變多少？解：（a）根據(jù)1.2題式（2），有 （1）上式給出，在鄰近的兩個(gè)平衡態(tài)，系統(tǒng)的體積差，溫度差和壓強(qiáng)差之間的關(guān)系。如果系統(tǒng)的體積不變，與的關(guān)系為 （2）在和可以看作常量的情形下，將式（2）積分可得 （3）將式（2）積分得到式（3）首先意味著，經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)等容過(guò)程后，系統(tǒng)在初態(tài)和終態(tài)的壓強(qiáng)差和溫度差滿足式（3）。 但是應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，只要初態(tài)和終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)間的壓強(qiáng)差和溫度差就滿足式（3）。 這是因?yàn)椋?/p>

3、衡狀態(tài)的狀態(tài)參量給定后，狀態(tài)函數(shù)就具有確定值，與系統(tǒng)到達(dá)該狀態(tài)的歷史無(wú)關(guān)。 本題討論的銅塊加熱的實(shí)際過(guò)程一般不會(huì)是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。 在加熱過(guò)程中，銅塊各處的溫度可以不等，銅塊與熱源可以存在溫差等等，但是只要銅塊的初態(tài)和終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的壓強(qiáng)和溫度差就滿足式（3）。將所給數(shù)據(jù)代入，可得因此，將銅塊由加熱到，要使銅塊體積保持不變，壓強(qiáng)要增強(qiáng)（b）1.2題式（4）可改寫(xiě)為 （4）將所給數(shù)據(jù)代入，有因此，將銅塊由加熱至，壓強(qiáng)由增加，銅塊體積將增加原體積的倍。 1.4 簡(jiǎn)單固體和液體的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)數(shù)值都很小，在一定溫度范圍內(nèi)可以把和看作常量. 試證明簡(jiǎn)單固體和液體的物態(tài)方程可近似為 解: 以為狀

4、態(tài)參量，物質(zhì)的物態(tài)方程為根據(jù)習(xí)題1.2式（2），有 （1）將上式沿習(xí)題1.2圖所示的路線求線積分，在和可以看作常量的情形下，有 （2）或 （3）考慮到和的數(shù)值很小，將指數(shù)函數(shù)展開(kāi)，準(zhǔn)確到和的線性項(xiàng)，有 （4）如果取，即有 （5）1.5 描述金屬絲的幾何參量是長(zhǎng)度，力學(xué)參量是張力J，物態(tài)方程是實(shí)驗(yàn)通常在1下進(jìn)行，其體積變化可以忽略。線脹系數(shù)定義為等溫楊氏模量定義為其中是金屬絲的截面積，一般來(lái)說(shuō)，和是T的函數(shù)，對(duì)J僅有微弱的依賴(lài)關(guān)系，如果溫度變化范圍不大，可以看作常量，假設(shè)金屬絲兩端固定。試證明，當(dāng)溫度由降至?xí)r，其張力的增加為解：由物態(tài)方程 （1）知偏導(dǎo)數(shù)間存在以下關(guān)系： （2）所以，有（3） 積

5、分得 （4）與1.3題類(lèi)似，上述結(jié)果不限于保持金屬絲長(zhǎng)度不變的準(zhǔn)靜態(tài)冷卻過(guò)程，只要金屬絲的初態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的張力差就滿足式（4），與經(jīng)歷的過(guò)程無(wú)關(guān)。1.6一理想彈性線的物態(tài)方程為其中是長(zhǎng)度，是張力J為零時(shí)的L值，它只是溫度T的函數(shù)，b是常量. 試證明：（a）等溫?fù)P氏模量為在張力為零時(shí)，其中A是彈性線的截面面積。（b）線脹系數(shù)為其中（c）上述物態(tài)方程適用于橡皮帶，設(shè)，試計(jì)算當(dāng)分別為和時(shí)的值，并畫(huà)出對(duì)的曲線.解:（a）根據(jù)題設(shè)，理想彈性物質(zhì)的物態(tài)方程為 （1）由此可得等溫楊氏模量為（2） 張力為零時(shí)，（b）線脹系數(shù)的定義為由鏈?zhǔn)疥P(guān)系知 （3）而所以（4） （c）根據(jù)題給的數(shù)據(jù)，對(duì)的曲線分別如圖1

6、-2（a），（b），（c）所示。1.7 抽成真空的小匣帶有活門(mén)，打開(kāi)活門(mén)讓氣體沖入，當(dāng)壓強(qiáng)達(dá)到外界壓強(qiáng)時(shí)將活門(mén)關(guān)上，試證明：小匣內(nèi)的空氣在沒(méi)有與外界交換熱量之前，它的內(nèi)能與原來(lái)在大氣中的內(nèi)能之差為，其中是它原來(lái)在大氣中的體積，若氣體是理想氣體，求它的溫度與體積。解：將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內(nèi)能與其原來(lái)在大氣中的內(nèi)能由式（） （1）確定。由于過(guò)程進(jìn)行得很迅速，過(guò)程中系統(tǒng)與外界沒(méi)有熱量交換， 過(guò)程中外界對(duì)系統(tǒng)所做的功可以分為和兩部分來(lái)考慮。一方面，大氣將系統(tǒng)壓入小匣，使其在大氣中的體積由變?yōu)榱恪Ｓ捎谛∠缓苄?，在將氣體壓入小匣的過(guò)程中大氣壓強(qiáng)可以認(rèn)為沒(méi)有變化，即過(guò)程是等壓的（但不是

7、準(zhǔn)靜態(tài)的）。過(guò)程中大氣對(duì)系統(tǒng)所做的功為另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過(guò)程中不受外界阻力，與外界也就沒(méi)有功交換，則因此式（1）可表為 （2）如果氣體是理想氣體，根據(jù)式（）和（），有 （3） （4）式中是系統(tǒng)所含物質(zhì)的量。代入式（2）即有 （5）活門(mén)是在系統(tǒng)的壓強(qiáng)達(dá)到時(shí)關(guān)上的，所以氣體在小匣內(nèi)的壓強(qiáng)也可看作，其物態(tài)方程為 （6）與式（3）比較，知 （7）1.8 滿足的過(guò)程稱(chēng)為多方過(guò)程，其中常數(shù)名為多方指數(shù)。試證明：理想氣體在多方過(guò)程中的熱容量為解：根據(jù)式（），多方過(guò)程中的熱容量 （1）對(duì)于理想氣體，內(nèi)能U只是溫度T的函數(shù)，所以 （2）將多方過(guò)程的過(guò)程方程式與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去

8、壓強(qiáng)可得（常量）。 （3）將上式微分，有所以 （4）代入式（2），即得（5）其中用了式（）和（1.7.9）。1.9 試證明：理想氣體在某一過(guò)程中的熱容量如果是常數(shù)，該過(guò)程一定是多方過(guò)程，多方指數(shù)。假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。解：根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有 （1）對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程有對(duì)理想氣體有氣體在過(guò)程中吸收的熱量為因此式（1）可表為 （2）用理想氣體的物態(tài)方程除上式，并注意可得 （3）將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有 （4）式（3）與式（4）聯(lián)立，消去，有 （5）令，可將式（5）表為 （6）如果和都是常量，將上式積分即得（常量）。 （7）式（7）表明，過(guò)程是多方過(guò)程。1.10 聲波在氣

9、體中的傳播速度為假設(shè)氣體是理想氣體，其定壓和定容熱容量是常量，試證明氣體單位質(zhì)量的內(nèi)能和焓可由聲速及給出：其中為常量。解：根據(jù)式（），聲速的平方為 （1）其中v是單位質(zhì)量的氣體體積。理想氣體的物態(tài)方程可表為式中是氣體的質(zhì)量，是氣體的摩爾質(zhì)量。 對(duì)于單位質(zhì)量的氣體，有 （2）代入式（1）得 （3）以表示理想氣體的比內(nèi)能和比焓（單位質(zhì)量的內(nèi)能和焓）。 由式（）（1.7.12）知 （4）將式（3）代入，即有 （5）式（5）表明，如果氣體可以看作理想氣體，測(cè)定氣體中的聲速和即可確定氣體的比內(nèi)能和比焓。1.11大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對(duì)流層中的低處與高處之間空氣不斷發(fā)生對(duì)流，由于氣壓隨高度而降低

10、，空氣上升時(shí)膨脹，下降時(shí)收縮，空氣的導(dǎo)熱率很小，膨脹和收縮的過(guò)程可以認(rèn)為是絕熱過(guò)程，試計(jì)算大氣溫度隨高度的變化率，并給出數(shù)值結(jié)果。解：取軸沿豎直方向（向上）。以和分別表示在豎直高度為和處的大氣壓強(qiáng)。 二者之關(guān)等于兩個(gè)高度之間由大氣重量產(chǎn)生的壓強(qiáng)，即 （1）式中是高度為處的大氣密度，是重力加速度。 將展開(kāi)，有代入式（1），得 （2）式（2）給出由于重力的存在導(dǎo)致的大氣壓強(qiáng)隨高度的變化率。以表大氣的平均摩爾質(zhì)量。 在高度為處，大氣的摩爾體積為，則物態(tài)方程為 （3）是豎直高度為處的溫度。 代入式（2），消去得 （4）由式（）易得氣體在絕熱過(guò)程中溫度隨壓強(qiáng)的變化率為 （5）綜合式（4）和式（5），有（

11、6）大氣的（大氣的主要成分是氮和氧，都是雙原子分子），平均摩爾質(zhì)量為，代入式（6）得 （7）式（7）表明，每升高1km，溫度降低10K。 這結(jié)果是粗略的。由于各種沒(méi)有考慮的因素，實(shí)際每升高1km，大氣溫度降低6K左右。1.12 假設(shè)理想氣體的是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中的關(guān)系，該關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù)，其表達(dá)式為解：根據(jù)式（），理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中滿足 （1）用物態(tài)方程除上式，第一項(xiàng)用除，第二項(xiàng)用除，可得 （2）利用式（1.7.8）和（），可將式（2）改定為 （3）將上式積分，如果是溫度的函數(shù)，定義 （4）可得（常量）， （5）或（常量）。 （6）式（6）給出當(dāng)是溫度的函數(shù)時(shí)，理

12、想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中T和V的關(guān)系。1.13 利用上題的結(jié)果證明：當(dāng)為溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為解：在是溫度的函數(shù)的情形下，1.9就理想氣體卡諾循環(huán)得到的式（）（1.9.6）仍然成立，即仍有 （1） （2） （3）根據(jù)1.13題式（6），對(duì)于1.9中的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程（二）和（四），有 （4） （5）從這兩個(gè)方程消去和，得 （6）故 （7）所以在是溫度的函數(shù)的情形下，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為 （8）1.14試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交。解：假設(shè)在圖中兩條絕熱線交于點(diǎn)，如圖所示。設(shè)想一等溫線與兩條絕熱線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)（因?yàn)榈葴鼐€的斜率小于絕熱線的斜率，這樣的等溫線總

13、是存在的），則在循環(huán)過(guò)程中，系統(tǒng)在等溫過(guò)程中從外界吸取熱量，而在循環(huán)過(guò)程中對(duì)外做功，其數(shù)值等于三條線所圍面積（正值）。循環(huán)過(guò)程完成后，系統(tǒng)回到原來(lái)的狀態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有。這樣一來(lái)，系統(tǒng)在上述循環(huán)過(guò)程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α?，這違背了熱力學(xué)第二定律的開(kāi)爾文說(shuō)法，是不可能的。 因此兩條絕熱線不可能相交。1.15 熱機(jī)在循環(huán)中與多個(gè)熱源交換熱量，在熱機(jī)從其中吸收熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為，試根據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過(guò)解：根據(jù)克勞修斯不等式（式（），有 （1）式中是熱機(jī)從溫度為的熱源吸取的熱量（吸熱為正，放熱為負(fù)）。 將

14、熱量重新定義，可將式（1）改寫(xiě)為 （2）式中是熱機(jī)從熱源吸取的熱量，是熱機(jī)在熱源放出的熱量，恒正。 將式（2）改寫(xiě)為 （3）假設(shè)熱機(jī)從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為，必有故由式（3）得 （4）定義為熱機(jī)在過(guò)程中吸取的總熱量，為熱機(jī)放出的總熱量，則式（4）可表為 （5）或 （6）根據(jù)熱力學(xué)第一定律，熱機(jī)在循環(huán)過(guò)程中所做的功為熱機(jī)的效率為 （7）1.16 理想氣體分別經(jīng)等壓過(guò)程和等容過(guò)程，溫度由升至。 假設(shè)是常數(shù)，試證明前者的熵增加值為后者的倍。解：根據(jù)式（），理想氣體的熵函數(shù)可表達(dá)為 （1）在等壓過(guò)程中溫度由升到時(shí)，熵增加值為 （2）根據(jù)式（

15、），理想氣體的熵函數(shù)也可表達(dá)為 （3）在等容過(guò)程中溫度由升到時(shí)，熵增加值為 （4）所以 （5）1.17 溫度為的1kg水與溫度為的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水溫達(dá)到。試分別求水和熱源的熵變以及整個(gè)系統(tǒng)的總熵變。欲使參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)如何使水溫從升至？已知水的比熱容為解：的水與溫度為的恒溫?zé)嵩唇佑|后水溫升為，這一過(guò)程是不可逆過(guò)程。為求水、熱源和整個(gè)系統(tǒng)的熵變，可以設(shè)想一個(gè)可逆過(guò)程，它使水和熱源分別產(chǎn)生原來(lái)不可逆過(guò)程中的同樣變化，通過(guò)設(shè)想的可逆過(guò)程來(lái)求不可逆過(guò)程前后的熵變。為求水的熵變，設(shè)想有一系列彼此溫差為無(wú)窮小的熱源，其溫度分布在與之間。令水依次從這些熱源吸熱,使水溫由升至。在這可逆過(guò)程

16、中,水的熵變?yōu)?（1）水從升溫至所吸收的總熱量為為求熱源的熵變，可令熱源向溫度為的另一熱源放出熱量。在這可逆過(guò)程中，熱源的熵變?yōu)?（2）由于熱源的變化相同，式（2）給出的熵變也就是原來(lái)的不可逆過(guò)程中熱源的熵變。則整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)椋?） 為使水溫從升至而參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)令水與溫度分布在與之間的一系列熱源吸熱。水的熵變?nèi)杂墒剑?）給出。這一系列熱源的熵變之和為 （4）參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)?（5）1.18 10A的電流通過(guò)一個(gè)的電阻器，歷時(shí)1s。（a）若電阻器保持為室溫，試求電阻器的熵增加值。（b）若電阻器被一絕熱殼包裝起來(lái)，其初溫為，電阻器的質(zhì)量為10g，比熱容為 問(wèn)電

17、阻器的熵增加值為多少？解：（a）以為電阻器的狀態(tài)參量。設(shè)想過(guò)程是在大氣壓下進(jìn)行的，如果電阻器的溫度也保持為室溫不變，則電阻器的熵作為狀態(tài)函數(shù)也就保持不變。（b）如果電阻器被絕熱殼包裝起來(lái)，電流產(chǎn)生的焦耳熱將全部被電阻器吸收而使其溫度由升為，所以有故電阻器的熵變可參照1.17例二的方法求出，為1.19 均勻桿的溫度一端為，另一端為，試計(jì)算達(dá)到均勻溫度后的熵增。解：以L表示桿的長(zhǎng)度。桿的初始狀態(tài)是端溫度為，端溫度為，溫度梯度為（設(shè)）。 這是一個(gè)非平衡狀態(tài)。通過(guò)均勻桿中的熱傳導(dǎo)過(guò)程，最終達(dá)到具有均勻溫度的平衡狀態(tài)。為求這一過(guò)程的熵變，我們將桿分為長(zhǎng)度為的許多小段，如圖所示。位于到的小段，初溫為 （1

18、）這小段由初溫T變到終溫后的熵增加值為（2）其中是均勻桿單位長(zhǎng)度的定壓熱容量。根據(jù)熵的可加性，整個(gè)均勻桿的熵增加值為 （3）式中是桿的定壓熱容量。1.20 一物質(zhì)固態(tài)的摩爾熱量為，液態(tài)的摩爾熱容量為. 假設(shè)和都可看作常量. 在某一壓強(qiáng)下，該物質(zhì)的熔點(diǎn)為，相變潛熱為. 求在溫度為時(shí)，過(guò)冷液體與同溫度下固體的摩爾熵差. 假設(shè)過(guò)冷液體的摩爾熱容量亦為. 解: 我們用熵函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算.以為狀態(tài)參量. 在討論固定壓強(qiáng)下過(guò)冷液體與固體的熵差時(shí)不必考慮壓強(qiáng)參量的變化.以a態(tài)表示溫度為的固態(tài)，b態(tài)表示在熔點(diǎn)的固態(tài). b, a兩態(tài)的摩爾熵差為（略去摩爾熵的下標(biāo)不寫(xiě)） （1）以c態(tài)表示在熔點(diǎn)的液相，c，b兩

19、態(tài)的摩爾熵差為 （2）以d態(tài)表示溫度為的過(guò)冷液態(tài)，d，c兩態(tài)的摩爾熵差為 （3）熵是態(tài)函數(shù)，d，c兩態(tài)的摩爾熵差為 （4）1.21 物體的初溫，高于熱源的溫度，有一熱機(jī)在此物體與熱源之間工作，直到將物體的溫度降低到為止，若熱機(jī)從物體吸取的熱量為Q，試根據(jù)熵增加原理證明，此熱機(jī)所能輸出的最大功為其中是物體的熵減少量。解：以和分別表示物體、熱機(jī)和熱源在過(guò)程前后的熵變。由熵的相加性知，整個(gè)系統(tǒng)的熵變?yōu)橛捎谡麄€(gè)系統(tǒng)與外界是絕熱的，熵增加原理要求 （1）以分別表示物體在開(kāi)始和終結(jié)狀態(tài)的熵，則物體的熵變?yōu)?（2）熱機(jī)經(jīng)歷的是循環(huán)過(guò)程，經(jīng)循環(huán)過(guò)程后熱機(jī)回到初始狀態(tài)，熵變?yōu)榱?，?（3）以表示熱機(jī)從物體吸取的

20、熱量，表示熱機(jī)在熱源放出的熱量，表示熱機(jī)對(duì)外所做的功。 根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有所以熱源的熵變?yōu)?（4）將式（2）（4）代入式（1），即有 （5）上式取等號(hào)時(shí)，熱機(jī)輸出的功最大，故 （6）式（6）相應(yīng)于所經(jīng)歷的過(guò)程是可逆過(guò)程。1.22 有兩個(gè)相同的物體，熱容量為常數(shù)，初始溫度同為。今令一制冷機(jī)在這兩個(gè)物體間工作，使其中一個(gè)物體的溫度降低到為止。假設(shè)物體維持在定壓下，并且不發(fā)生相變。試根據(jù)熵增加原理證明，此過(guò)程所需的最小功為解： 制冷機(jī)在具有相同的初始溫度的兩個(gè)物體之間工作，將熱量從物體2送到物體1,使物體2的溫度降至為止。以表示物體1的終態(tài)溫度，表示物體的定壓熱容量，則物體1吸取的熱量為 （1）

21、物體2放出的熱量為 （2）經(jīng)多次循環(huán)后，制冷機(jī)接受外界的功為 （3）由此可知，對(duì)于給定的和，愈低所需外界的功愈小。 用和分別表示過(guò)程終了后物體1，物體2和制冷機(jī)的熵變。由熵的相加性和熵增加原理知，整個(gè)系統(tǒng)的熵變?yōu)?（4）顯然因此熵增加原理要求 （5）或 （6）對(duì)于給定的和，最低的為代入（3）式即有 （7）式（7）相應(yīng)于所經(jīng)歷的整個(gè)過(guò)程是可逆過(guò)程。1.23 簡(jiǎn)單系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立參量。 如果以為獨(dú)立參量，可以以縱坐標(biāo)表示溫度，橫坐標(biāo)表示熵，構(gòu)成圖。圖中的一點(diǎn)與系統(tǒng)的一個(gè)平衡態(tài)相對(duì)應(yīng)，一條曲線與一個(gè)可逆過(guò)程相對(duì)應(yīng)。試在圖中畫(huà)出可逆卡諾循環(huán)過(guò)程的曲線，并利用圖求可逆卡諾循環(huán)的效率。解： 可逆卡諾循環(huán)包含

22、兩個(gè)可逆等溫過(guò)程和兩個(gè)可逆絕熱過(guò)程。 在圖上，等溫線是平行于T軸的直線。 可逆絕熱過(guò)程是等熵過(guò)程，因此在圖上絕熱線是平行于S軸的直線。 圖1-5在圖上畫(huà)出了可逆卡諾循環(huán)的四條直線。（一）等溫膨脹過(guò)程工作物質(zhì)經(jīng)等溫膨脹過(guò)程（溫度為）由狀態(tài)到達(dá)狀態(tài)。 由于工作物質(zhì)在過(guò)程中吸收熱量，熵由升為。吸收的熱量為 （1）等于直線下方的面積。（二）絕熱膨脹過(guò)程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)絕熱膨脹過(guò)程到達(dá)狀態(tài)。過(guò)程中工作物質(zhì)內(nèi)能減少并對(duì)外做功，其溫度由下降為，熵保持為不變。（三）等溫壓縮過(guò)程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)等溫壓縮過(guò)程（溫度為）到達(dá)狀態(tài)。工作物質(zhì)在過(guò)程中放出熱量，熵由變?yōu)椋懦龅臒崃繛?（2）等于直線下方的面積。（四）絕熱

23、壓縮過(guò)程工作物質(zhì)由狀態(tài)經(jīng)絕熱壓縮過(guò)程回到狀態(tài)。溫度由升為，熵保持為不變。在循環(huán)過(guò)程中工作物質(zhì)所做的功為 （3）等于矩形所包圍的面積?？赡婵ㄖZ熱機(jī)的效率為（4） 上面的討論顯示，應(yīng)用圖計(jì)算（可逆）卡諾循環(huán)的效率是非常方便的。實(shí)際上圖的應(yīng)用不限于卡諾循環(huán)。根據(jù)式（） （5）系統(tǒng)在可逆過(guò)程中吸收的熱量由積分 （6）給出。如果工作物質(zhì)經(jīng)歷了如圖中的（可逆）循環(huán)過(guò)程，則在過(guò)程中工作物質(zhì)吸收的熱量等于面積，在過(guò)程中工作物質(zhì)放出的熱量等于面積，工作物質(zhì)所做的功等于閉合曲線所包的面積。 由此可見(jiàn)（可逆）循環(huán)過(guò)程的熱功轉(zhuǎn)換效率可以直接從圖中的面積讀出。 在熱工計(jì)算中圖被廣泛使用。 補(bǔ)充題1 1mol理想氣體，在

24、的恒溫下體積發(fā)生膨脹，其壓強(qiáng)由20準(zhǔn)靜態(tài)地降到1，求氣體所作的功和所吸取的熱量。解：將氣體的膨脹過(guò)程近似看作準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。根據(jù)式（），在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過(guò)程中氣體體積由膨脹到，外界對(duì)氣體所做的功為氣體所做的功是上式的負(fù)值，將題給數(shù)據(jù)代入，得在等溫過(guò)程中理想氣體的內(nèi)能不變，即根據(jù)熱力學(xué)第一定律（式（），氣體在過(guò)程中吸收的熱量為補(bǔ)充題2 在下，壓強(qiáng)在0至1000之間，測(cè)得水的體積為如果保持溫度不變，將1mol的水從1加壓至1000，求外界所作的功。解：將題中給出的體積與壓強(qiáng)關(guān)系記為 （1）由此易得 （2）保持溫度不變，將1mol的水由1加壓至1000，外界所做的功為在上述計(jì)算中我們已將過(guò)程近擬看作準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。補(bǔ)充題3 承前1.6題，使彈性體在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過(guò)程中長(zhǎng)度由壓縮為，試計(jì)算外界所作的功。解：在準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程中彈性體長(zhǎng)度有dL的改變時(shí)，外界所做的功是 （1）將物態(tài)方程代入上式，有 （2）在等溫過(guò)程中是常量，所以在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過(guò)程中將彈性體長(zhǎng)度由壓縮為時(shí)，外界所做的功為（3）值得注意，不論將彈性體拉長(zhǎng)還是壓縮，外界作用力都與位移同向，外界所做的功都是正值。補(bǔ)充題4 在和1下，空氣的密度為,