特殊分塊矩陣的逆與秩

1、特殊分塊矩陣的逆與秩朱利文，數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院摘··要：矩陣的逆和秩是矩陣的一個(gè)重要不變量,在矩陣中起著基本的作用。不論在理論上還是在實(shí)踐中，矩陣的逆和秩都是一種強(qiáng)有力的工具。深入掌握矩陣的逆和秩可以更好地將其應(yīng)用到實(shí)踐中。本文利用分塊矩陣的特性，研究了幾個(gè)特殊分塊矩陣的逆和秩。關(guān)鍵詞：矩陣的逆和秩是矩陣的一個(gè)重要不變量,在矩陣中起著基本的作用。不論在理論上還是在實(shí)踐中，矩陣的逆和秩都是一種強(qiáng)有力的工具。深入掌握矩陣的逆和秩可以更好地將其應(yīng)用到實(shí)踐中。本文利用分塊矩陣的特性，研究了幾個(gè)特殊分塊矩陣的逆和秩。Special Inverse and Rank of Block

2、MatrixZhu Liwen, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract: The inverse matrix and rank is an important invariant matrix. The inverse matrix and rank is an important invariant matrix Whether in theory or in practice, The inverse matrix and rank is a powerful tool. Deep knowledge of the inve

3、rse matrix and rank can be better applied to practice . In this paper, the characteristics of block matrix.On the research of some special block matrix inverse and rank.Key words: Partitioned matrix; Inverse matrix; Rank correlation引言分塊矩陣是線性代數(shù)中一個(gè)很重要的工具，研究許多問(wèn)題都要用到它。分塊之后使矩陣之間或矩陣內(nèi)部之間的關(guān)系變的更清楚。本文就分塊矩陣在證明

4、相關(guān)矩陣秩及求矩陣的逆兩個(gè)方面做了一些研究。每個(gè)部分給了一些定理和例題，通過(guò)這些可以看出分塊矩陣在處理問(wèn)題上的簡(jiǎn)便性和靈活性。1.分塊矩陣的概念 定義1.1矩陣分塊是在處理級(jí)數(shù)較高的的矩陣時(shí)常用的方法。有時(shí)候，我們把一個(gè)大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組成的一樣。特別在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)作數(shù)一樣處理。就是所謂矩陣的分塊。2.常用的分塊方法2.1按行按列分塊 設(shè)是矩陣，是矩陣。將按列分塊寫(xiě)成則。還可以把按列分塊寫(xiě)成，再把按行分塊寫(xiě)成, 則2.2找零塊例如可分塊為 可表示為型2.3找相同塊 例如 可分塊為可表示為型.2.4找單位塊 例如可分塊為可表示為型（這里的表示階單位陣,本文

5、中的I都表示單位陣）.化為分塊上（下）三角陣?yán)缈煞謮K為 可表示為型.2.5化為分塊對(duì)角陣?yán)缈煞謮K為 可表示為型.在具體的運(yùn)算中，我們要根據(jù)運(yùn)算靈活地分塊，上述方法只是比較常用，我們可以靈活地運(yùn)用，宗旨是使運(yùn)算變得更加簡(jiǎn)便此外，我們?cè)诰仃嚰臃ê统朔ǖ倪\(yùn)算中，分塊矩陣的維數(shù)必須加以限制，以使所定義的運(yùn)算能夠進(jìn)行我們稱(chēng)任何滿(mǎn)足上面這種限制的矩陣分塊關(guān)于所討論的運(yùn)算是相容的對(duì)于加法，相容要求兩個(gè)矩陣按同樣的方式分塊；而對(duì)于乘法，在矩陣與矩陣相乘時(shí)，對(duì)的一個(gè)分塊方式，可以有幾種分塊方式與之相容，這時(shí)便要考慮哪種分塊方式使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便例如： ？.解：我們可以把分塊為 而這時(shí)若只考慮乘法的相容性，可以分

6、塊為，或但是我們可以看到第一種分法中有單位塊，對(duì)于乘法運(yùn)算顯然更簡(jiǎn)便.例 ,=在計(jì)算時(shí)，把,都看成是由這些小矩陣組成的，即按2級(jí)矩陣來(lái)運(yùn)算.于是其中，因此 3.分塊矩陣與逆定義3.1 n階方陣可逆，如果有n階方陣，使，這里的是n階單位陣 而我們將要研究的分塊矩陣的求逆，只不過(guò)是先將矩陣分塊，然后再求逆例如×分塊矩陣的可逆性存在條件和求逆公式及其應(yīng)用首先我們從最簡(jiǎn)單的2×2分塊矩陣開(kāi)始研究,如何求2×2分塊矩陣的逆,用初等變換的方法,這是一個(gè)很好解決的問(wèn)題.而我們重點(diǎn)研究一下這種類(lèi)型的分塊矩陣可逆性的存在條件及其普遍適用的求逆公式.設(shè),A為n階矩陣,B與C分別為n&

7、#215;m和m×n矩陣,D為m階矩陣.定理1.若A矩陣是可逆的,則M矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)可逆.這時(shí)證明: 由 = 故存在. 由 即 由可逆,可知存在.=, 故 存在. 定理2.若D可逆,則M可逆可逆,這時(shí)證明方法同定理1,在此略去證明過(guò)程.在此,我們還可以得出推論:推論1:若B可逆,則M可逆可逆.推論2:若C可逆,則M可逆可逆.通過(guò)以上的討論,我們只要知道某一塊可逆,運(yùn)用定理及其推論就可以判斷出M是否可逆,如果可逆,我們就可以運(yùn)用相應(yīng)的求逆公式求出.我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用時(shí),如果一個(gè)階數(shù)較大的矩陣,找不到特殊的塊(如零塊,單位塊,相同塊等),或者不能化為特殊型(如分塊對(duì)角陣,分塊上(下)三角陣

8、等),那么求它的逆運(yùn)用分塊的方法優(yōu)勢(shì)也就不明顯了.而以上所研究的求逆條件和求逆公式的實(shí)用價(jià)值也就大打折扣.而我們?cè)趯?shí)際計(jì)算當(dāng)中,最常遇到的便是矩陣中含有零塊的情況,下面我們來(lái)研究一下2×2分塊矩陣中含有零塊時(shí),它的可逆性存在條件及其可逆公式是什么形式的.1.分塊矩陣中含有3個(gè)零塊,即 、 、 、這種情況下,分塊矩陣是不可逆的.以第一種情況為例若A可逆,而=0,是不可逆的, M= 不可逆(若A不可逆,那么M就更不可逆了).2. 分塊矩陣中有兩個(gè)零塊. 分塊矩陣的兩個(gè)零塊在同一行或同一列,即和,則這種分塊矩陣不可逆. 由定理1可知,在中若存在, =0不可逆.M不可逆. 由推論1可知,在中

9、若存在, =0不可逆.M不可逆.分塊矩陣的兩個(gè)零塊不在同一行或同一列,即和, 由定理1可知,在中若存在, =D,只有當(dāng)D可逆時(shí),M才可逆.代入求逆公式得 ,反過(guò)來(lái),若D可逆,也只有A可逆時(shí),M才可逆. 同前面的一樣.由推論1可知,在中若存在, =C,只有當(dāng)C可逆時(shí),M才可逆, 此時(shí) .可以用下面的方法求出上面的,設(shè)=,則 =.3. 分塊矩陣中只有一個(gè)零塊 .分塊矩陣的零塊在主對(duì)角線上,即和.由定理1可知,在中若存在,只有 可逆,M才可逆而= 只有當(dāng) 、同時(shí)存在時(shí),M才可逆.若A不可逆,則令=,=,=,如果要使存在,那么,一定存在. 可用同樣的方法討論.總結(jié): 這種類(lèi)型的分塊矩陣,無(wú)論A(D)是

10、否可逆,只有B、C同時(shí)可逆時(shí),M才可逆. 分塊矩陣的零塊不在主對(duì)角線上,即和對(duì)于,可以直接應(yīng)用定理1判斷是否可逆,然后直接代入求逆公式即只有當(dāng)A 、D同時(shí)可逆時(shí),M可逆.此時(shí)= 對(duì)于,同樣應(yīng)用定理2可得只有當(dāng)AD同時(shí)可逆時(shí),M可逆.此時(shí), = .通過(guò)以上的討論,我們不難發(fā)現(xiàn),如果分塊矩陣中含有零塊,那么判斷其可逆性存在條件以及求逆公式都會(huì)相應(yīng)地簡(jiǎn)單很多.因此,我們?cè)趯?duì)階數(shù)較大的矩陣分塊時(shí)應(yīng)注意零塊.下面我們來(lái)看一些典型的應(yīng)用分塊矩陣法來(lái)求逆的例子,看看是如何分塊,如何應(yīng)用公式及推論的.例1：設(shè)，其中與均可逆則.上述結(jié)果可以利用公式直接求得.例2：設(shè)A,B均為階可逆方陣.則級(jí)方陣可逆，求.證明:

11、由A.B可逆,則A的行列式B的行列式不為0，故D可逆.設(shè)則有依據(jù)矩陣相等的定義有 故.用同樣的方法，可得如下結(jié)論：設(shè)A.B均可逆，則1、設(shè),;2、設(shè),例8 設(shè)是一個(gè)四分塊方陣,其中為r階方陣, 為階方陣,當(dāng)與(-)都是可逆矩陣時(shí),則是可逆矩陣,且,特別地，當(dāng)=， =，B與C都可逆時(shí)，有；當(dāng)A=0，D0時(shí)，B與C都可逆時(shí)，有.例9:設(shè)是一個(gè)四分塊方陣,其中A為r階方陣,D為k階方陣,當(dāng)與(-)都是可逆矩陣時(shí),則Q是可逆矩陣,且，特別地，(1)當(dāng)B=0,C=0,A與D都可逆，有；(2)當(dāng)C=0,B0,A與D都可逆時(shí)，有;當(dāng)B=0,C0,A與D都可逆時(shí)有.4.分塊矩陣與秩定義4.1 在m´

12、n矩陣A中，任意決定k行和k列 (1£k£minm,n) 交叉點(diǎn)上的元素構(gòu)成A的一個(gè)k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱(chēng)為A的一個(gè)k階子式. 例如，在階梯形矩陣 中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點(diǎn)上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 ,就是矩陣A的一個(gè)2階子式. 定義4.2.的不為零的子式的最大階數(shù)稱(chēng)為矩陣A 的秩，記作，或. 特別規(guī)定零矩陣的秩為零.顯然min(m,n) 易得： 若A中至少有一個(gè)r階子式不等于零,且在r<min(m,n)時(shí),A中所有的r+1階子式全為零,則A的秩為r. 由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n,通常又將可逆矩陣稱(chēng)為滿(mǎn)秩矩陣, det(A)&#

13、185; 0;不滿(mǎn)秩矩陣就是奇異矩陣,det(A)=0. 由行列式的性質(zhì)1(1.54)知,矩陣A的轉(zhuǎn)置AT的秩與A的秩是一樣的。 例1. 計(jì)算下面矩陣的秩， 而的所有的三階子式，或有一行為零；或有兩行成比例，因而所 有的三階子式全為零，所以r(A)。定義2. 的不為零的子式的最大階數(shù)稱(chēng)為矩陣A 的秩,記作r(A),或rank(A). 特別規(guī)定零矩陣的秩為零. 顯然min(m,n) 易得： 若A中至少有一個(gè)r階子式不等于零，且在r<min(m,n)時(shí)，A中所有的r+1階子式全為零，則A的秩為r. 由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n,通常又將可逆矩陣稱(chēng)為滿(mǎn)秩矩陣, det(A)¹

14、0；不滿(mǎn)秩矩陣就是奇異矩陣,det(A)=0. 由行列式的性質(zhì)知,矩陣A的轉(zhuǎn)置的秩與A的秩是一樣的. 例1. 計(jì)算下面矩陣的秩，而的所有的三階子式,或有一行為零；或有兩行成比例,因而所 有的三階子式全為零,所以r(A). 引理 1矩陣乘積的秩不大于每一個(gè)因子的秩;兩個(gè)矩陣中又一個(gè)是可逆矩陣時(shí)，它們乘積的秩等于另一個(gè)因子的秩.引理 2 .引理 3 特別有事實(shí)上，我們有,再利用引理1.引理4 在一個(gè)分塊矩陣中，若把每個(gè)塊看成一個(gè)元素,則進(jìn)行通常的初等變換扔不改變矩陣的秩.例如,對(duì)的第二行乘-1加到第一行便得,從而有= 定理 1 設(shè)矩陣，則證明：因?yàn)?于是引理2.1及4，得從而有推論 1. 設(shè)矩陣，

15、則.證明：根據(jù)定理1，由 定理2 設(shè)，且,則.證明：由于,故有,于是由引理2.1及4得推論2 設(shè)是n階方陣，且,則.證明：由,則,故有定理2，另一方面由定理1得從而有=n.例2 設(shè)且證明 .證明：法1設(shè),則由可知為方程的解,設(shè)為方程的基礎(chǔ)解系,由齊次線性方程解的性質(zhì)可知,向量組可由向量組線性表示,固有上面結(jié)果,即.法2 設(shè)A為m×n矩陣，B為n×l矩陣，若AB=0,則r(A)+r(B)n.證明 因?yàn)閞(A) + r(B) = =n,所以r(A)+r(B)n. 參考文獻(xiàn)：1 王萼芳,石生明.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社,1987.2 樊惲,劉宏偉.線性代數(shù)與解析幾何教程M.武漢:科學(xué)出版社,2008.3 丘森.高等代數(shù)M.武漢:武漢大學(xué)出版社,2012.4 宋光艾.高等代數(shù)J.北京:清華大學(xué)出版社,2012.5 陳光大.高等代數(shù)M. 武漢:華中科技大學(xué)出版社, 2006.6 陳建龍.線性代數(shù)J.北京：科學(xué)出版社，2007.7 田原,沈亦一.線性代數(shù)J.上海：華東理工大學(xué)出版社2007.致謝語(yǔ)： 首先感謝我的指導(dǎo)老師梁峰悉心、認(rèn)真的指導(dǎo).在我畢業(yè)論文的選題、寫(xiě)作、修