【高考精品】函數(shù)的奇偶性與周期性

1、第 7 講函數(shù)的奇偶性與周期性衛(wèi)銀1. (2017 北京卷)已知函數(shù) f(x) = 3x- (3)x,則 f(x)(B)A 是偶函數(shù)，且在 R 上是增函數(shù) B 是奇函數(shù)，且在 R 上是增函數(shù)C.是偶函數(shù)，且在 R 上是減函數(shù) D .是奇函數(shù)，且在 R 上是減函數(shù) 価 因?yàn)楹瘮?shù) f(x)的定義域?yàn)?R ,1 1f(-x) = 3-x-(1)-x=(x-3x=- f(x),所以函數(shù) f(x)是奇函數(shù).1因?yàn)楹瘮?shù)R 上是減函數(shù)，1所以函數(shù) y=(3)x在 R 上是增函數(shù).又因?yàn)?y= 3x在 R 上是增函數(shù)，1所以函數(shù) f(x)= 3x(3)x在 R 上是增函數(shù).2.(2014 新課標(biāo)卷I)設(shè)函數(shù)

2、f(x) ,g(x)的定義域都為 R，且 f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù), 則下列結(jié)論正確的是(C)A . f(x)g(x)是偶函數(shù)B . |f(x)|g(x)是奇函數(shù)C. f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D. |f(x)g(x)|是奇函數(shù)麻總因?yàn)?f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，所以 f( x)=- f(x), g(-x)= g(x),所以 f( x)g( x)=- f(x)g(x),所以 f(x)g(x)為奇函數(shù).|f( - x)|g( x) = |f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)為偶函數(shù).f(-x)|g( x)| = - f(x)|g(x)|,所以 f(x)|g(x)|為

3、奇函數(shù).|f( - x)g( x)|= |f(x)g(x)|, 所以|f(x)g(x)|為偶函數(shù).3. (2018 華大新高考聯(lián)盟教學(xué)質(zhì)量測評9=x(1 + x)，則 f( 2)= (A)価 f(-1)=f(2+4)=f(2=- f(p=-2(1+2一 44. (2016 安徽皖北聯(lián)考)已知偶函數(shù) f(x)對于任意 x R 都有 f(x+ 1) = -f(x),且 f(x)在區(qū) 間0,2上是遞增的，則 f( - 6.5), f(- 1), f(0)的大小關(guān)系為(A)A . f(0)f(- 6.5)f( - 1) B . f(- 6.5)f(0)f( 1)設(shè) f(x)是周期為 4 的奇函數(shù)，當(dāng)

4、0Wxw1 時(shí)，f(x)34C. f( 1)f( 6.5)f(0) D . f( 1)f(0)f( 6.5) 由 f(x+ 1) = f(x),得 f(x+ 2) = f(x+ 1) = f(x),故函數(shù) f(x)是周期為 2 的函數(shù).又 f(x)為偶函數(shù)，所以 f( 6.5) = f( 0.5) = f(0.5), f( 1)= f(1),因?yàn)?f(x)在區(qū)間0,2上是遞增的，所以 f(0)f(0.5)f(1),即 f(0)f( 6.5)0，則實(shí)數(shù) m92的取值范圍為2，2.03 由 f(m 1) + f(2m 1)0? f(m 1) f(2m 1),因?yàn)?f(x)為奇函數(shù)，所以一 f(x)

5、 = f( x),所以 f(m 1)f(1 2m),又 f(x)在10,10上是減函數(shù)，10 m 1 10,所以 一 10W2m K 10, 解得m|.m 10,7. 已知函數(shù) f(x) = n, x= 0,是奇函數(shù).x2+ mx,x0(1)求實(shí)數(shù) m, n 的值；若函數(shù) f(x)在區(qū)間1, a 2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.03 (1)設(shè) x0,f( x) = ( x)2+ 2( x) = x2 2x,又因?yàn)?f(x)為奇函數(shù)，所以 f(0) = n = 0,f( x) = f(x),于是 x 1 ,結(jié)合 f(x)的圖象可知有a2W1,故所求實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(1,3.8.(20

6、16 山東卷)已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R.當(dāng) x0 時(shí)，f(x)=x3 1；當(dāng)一 Kx2 時(shí),f(x + 2)= f(x 2),則 f(6) = (D)A . 2 B. 1C. 0 D. 21 1 1ICO 由題意知，當(dāng) x2 時(shí)，f(x+ 2)=f(x2),則當(dāng) x0 時(shí)，f(x+ 1) = f(x). 又當(dāng)1 x 1 時(shí)，f( x)= f(x),所以 f(6) = f(1) = f( 1).又當(dāng) xv0 時(shí)，f(x) = x3 1,所以 f( 1) = 2,所以 f(6) = 2故選 D.x+ 12+ sin x,=9.設(shè)函數(shù) f(x) =x2+1的取大值為2x+ sin x2x+

7、sin x設(shè)g(x)=仆，則咖是奇函數(shù),因?yàn)?f(x)的最大值為 M，最小值為 m,所以 g(x)的最大值為 M 1,最小值為 m 1.所以 M 1 + m 1 = 0,所以 M + m= 2. 2x+ b10.已知定義域?yàn)镽的函數(shù) f(x)=x+r的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.2 十 a(1)求 a, b 的值；若對任意的 t R，不等式 f(2t2 2t)十 f(t2 k)0 恒成立，求 k 的取值范圍.佃 (1)因?yàn)?f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(x)是奇函數(shù)，所以 f(0) = 0,b 11 2*即 =0,解得 b = 1，所以 f(x)= 二.a+ 2a+ 2x+1又 f(x)是奇函數(shù)，所以不等式 f(2t1 2 2t) + f(t2 k)0 等價(jià)于 f(2t2 2t)k t2.即對一切 t R 有 3t2 2t k0 ,1從而判別式A=4+ 12k0，解得 k 3.1所以 k 的取值范圍為(一g,3)所以 1a 3.M，最小值為 m,貝 U M + m =f(x) = 1 +