【高考數(shù)學(xué)秘籍】拋物線

1、第 60 講拋物線 并輟” 1. 設(shè)拋物線y= 8x上一點 P 到 y 軸的距離為 4，則點 P 到該拋物線的焦點的距離是 (B) A . 4 B. 6 C. 8 D. 12 C33因為 y2= 8x的焦點 F(2,0)，準(zhǔn)線 x=- 2, 由 P 到 y 軸的距離為 4 知，P 到準(zhǔn)線的距離為 6， 由拋物線的定義知 P 到焦點 F 的距離為 6. 2. (2013 新課標(biāo)卷 1)0 為坐標(biāo)原點，F(xiàn) 為拋物線 C: y2= 4 2x 的焦點，P 為 C 上一點， 若|PF|= 4 2,則厶 P0F 的面積為(C) A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 4 薛3 設(shè) P(xo, yo),

2、則 |PF| = xo+ ,2 = 4 2, 所以 xo= 3 2,所以 y0= 4：E：2XO= 4 2 X 3 2= 24, 所以 |yo|= 2 6 因為 FC.2, 0), 1 1 所以 SzpoF = lOF| |yo|= X , 2X 2,6= 2 , 3. 3如果 P1, P2,，Pn是拋物線 C： y2= 4x上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為 X1, X2,， xn, F 是拋物線 C 的焦點，若 X1 + X2+ Xn= 10,則 |PJF |+ |P2F|+ |PnF|= (A) A . n+ 10 B. n+ 20 C. 2n + 10 D. 2n+ 20 p 由拋物線的定義可

3、知|PiF| = Xi + 2= Xi + 1 , 所以 IP1FI+ IP2FI+ + |PnF|=(X1 + X2+ + Xn) + n= 10+ n. 2 、 k 4. (2016 新課標(biāo)卷n )設(shè) F 為拋物線 C: y = 4x 的焦點，曲線 y= -(k0)與 C 交于點 P, 入 PF 丄 x軸，則 k= (D) 1 A.2 B. 1 3 CQ D. 2 薛3因為 y2= 4x,所以 F(1,0).又因為曲線 y = -(k0)與 C 交于點 P, PF 丄 x軸，所以 X k P(1,2).將點 P(1,2)的坐標(biāo)代入 y= -(k0)得 k= 2故選 D. X 5 . (20

4、18 廣東七校聯(lián)考)過拋物線 y2= 4x的焦點 F 的直線交該拋物線于 A, B 兩點，若 小 3 AF|= 3，則 |BF|= . 堪3設(shè) A, B 的橫坐標(biāo)分別為 XA, XB, 由拋物線的定義可知|AF|= XA+ 2 = XA+ 1= 3, 所以 XA= 2, 2 又 AB 是拋物線的焦點弦，XA, XB滿足XA XB=1 , 1 p 1 3 所以 XB= ，所以 |BF|= XB+ 2 = 1+ 1 = 3. 2 2 6. (20i6 湖南省六校聯(lián)考)若以雙曲線 冷器=i(b0)的左、右焦點 Fi, F2和點 M(i , 2) 為頂點的三角形為直角三角形，貝 U y2= 4bx 的

5、焦點坐標(biāo)為 (i,0). 區(qū)3顯然點 M(i , ,2)為直角頂點， i 所以 |0M|= 3= 2|FiF2|= c,所以 b= i. (1) 求直線 I的方程(用 p 表示); 若設(shè) A(xi, y1), B(X2, y2)，求證:AB |= xi+ x2+ P ； (3)若|AB|= 4，求拋物線方程. 魁 3 (i)因為拋物線的焦點 F 的坐標(biāo)為(2, 0), 又因為直線 I 的斜率為 i , 所以直線 I的方程為：y= x p. (2) 證明：過點 A, B 分別作準(zhǔn)線的垂線 AA , BB，交準(zhǔn)線于 A , B, 則由拋物線的定義得: |AB|= |AF|+ |BF|= |AA |

6、+ |BB | p p =xi + 2+ X2+ 2= Xl+ X2 + p. (3)由 |AB|= 4，得 xi + X2 + p = 4, 直線 y = x- 2 與拋物線方程聯(lián)立， 2 2 P x 3px+ 4 = 0, Xi + x2 = 3p,代入 xi + x2+ p= 4, y2 = 2x.F ,且與拋物線交于 A, B 兩點. p y = x 2, 2 小 y = 2px 由韋達(dá)定理，得 解得 p= 1 故拋物線方程為 & (2017 新課標(biāo)卷 H )過拋物線 C: y2= 4x 的焦點 F，且斜率為 3 的直線交 C 于點 M(M N 在 I上，且 MN 丄 I，貝

7、U M 到直線 NF 的距離為(C) F(1,0),準(zhǔn)線方程為 x= 1.由直線方程的點斜式可得直線 在 x軸的上方)，1 為 C 的準(zhǔn)線，點 A. 5 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3 區(qū) 3 拋物線 y2= 4x的焦點為 MF 的方程為 y= ,3(x 1). 聯(lián)立得方程組 :1， y2= 4x, 因為點 M 在 x軸的上方，所以 因為 MN 丄，所以 N( 1,2 3). 所以 |NF|= 1+ 1 2+ 0 2 3 2= 4, |MF|= 3 1 2+ 2,32= 4, |MN| = 解得 2護(hù) y一 M(3,2 3). x= 3, 或 y= 2.3. 寸(3 + 1 (+ (

8、2 羽-23 ) = 4. 所以AMMF 是邊長為 4 的等邊三角形. 所以點 M 到直線 NF 的距離為 2.3. 9.已知以 F 為焦點的拋物線 y2= 4x 上的兩點 A, 拋物線準(zhǔn)線的距離為 9 . 4 設(shè) AB 的中點為 C, AB 的延長線與準(zhǔn)線相交于 B 滿足 AF = 2FB，則弦 AB 的中點到 D, 設(shè) A, B, C, F 在準(zhǔn)線上的投影分別為 由拋物線的定義，知 AA = 2t, BB 所以 BB 為 ADA A 的中位線， 所以 I 由 MF F sjDc C,得 FD：f- = CDCC， A , B , C , F ，設(shè) FB = t，貝U AF = 2t, BD

9、 = 3 3t + t 3t+ 2t 9 所以 = c，c，解得 C C = 10. (2016 蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知直線 l: x y 2= 0,拋物線 2 C: y = 2px(p0). (1)若直線 I過拋物線 C 的焦點，求拋物線 C 的方程; (2)已知拋物線 C 上存在關(guān)于直線 I對稱的相異兩點 P 和 Q. 求證：線段 PQ 的中點坐標(biāo)為(2 p, p); 求 p 的取值范圍. 堪 3 (1)拋物線 C: y2= 2px(p0)的焦點為(p, 0), 由點(號，0)在直線 I: x y 2 = 0 上，得 2 0 2= 0, 即 p = 4.所以拋物線

10、C 的方程為 y2= 8x. (2)設(shè) P(xi, yi), Q(x2, y2),線段 PQ 的中點 M(xo, yo). 因為點 P 和 Q 關(guān)于直線 I對稱，所以直線 I垂直平分線段 PQ,于是直線 PQ 的斜率為 1，則可設(shè)其方程為 y= x+ b. |y2=軻 2 證明：由 消去 x得 y+ 2py 2pb= 0.(*) y= x+ b 因為 P 和 Q 是拋物線 C 上的相異兩點，所以 yiz y2, 2 從而= (2p) 4X ( 2pb)0，化簡得 p+ 2b0. 方程(*)的兩根為 yi,2= p p2 + 2pb, yi + y2 從而 y0= 2 = p. 因為 M(x(), y