數(shù)學(xué)理北京市各區(qū)一模試題分類解析12圓錐曲線_第1頁(yè)
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1、十二、圓錐曲線10(2012年海淀一模理10)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn),且平行于經(jīng)過(guò)一、三象限的漸近線的直線方程是 . 答案:。7(2012年門頭溝一模理7)已知點(diǎn)在拋物線上,則點(diǎn)到直線的距離和到直線 的距離之和的最小值為( C )A.B.C.D.13(2012年?yáng)|城一模理13)拋物線的準(zhǔn)線方程為 ;此拋物線的焦點(diǎn)是,則經(jīng)過(guò)和點(diǎn),且與準(zhǔn)線相切的圓共有 個(gè)答案:;。9(2012年豐臺(tái)一模理9)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率是_ 答案:.13(2012年密云一模理13)若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為,P為雙曲線上一點(diǎn),且,則該雙曲線離心率的取值范圍是_答案:1<e2

2、.9.(2012年朝陽(yáng)一模理9)已知雙曲線的方程為,則此雙曲線的離心率為 ,其焦點(diǎn)到漸近線的距離為 .答案:;13.(2012年?yáng)|城11校聯(lián)考理13)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一條漸近線與x軸的夾角為,且,則雙曲線的離心率的取值范圍是_.答案:。19.(2012年海淀一模理19)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為, 為橢圓的上頂點(diǎn),且.()求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;()已知直線:與橢圓交于,兩點(diǎn),直線:()與橢圓交于,兩點(diǎn),且,如圖所示.()證明:;()求四邊形的面積的最大值.解:()設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 因?yàn)?,所?所以 . 所以 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ()設(shè),.()證

3、明:由消去得:.則, 所以 .同理 . 因?yàn)?,所以 .因?yàn)?,所以 . ()解:由題意得四邊形是平行四邊形,設(shè)兩平行線間的距離為,則 .因?yàn)?,所以 . 所以 .(或)所以 當(dāng)時(shí), 四邊形的面積取得最大值為. 19.(2012年西城一模理19)已知橢圓的離心率為,定點(diǎn),橢圓短軸的端點(diǎn)是,且.()求橢圓的方程;()設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于,兩點(diǎn).試問(wèn)軸上是否存在定點(diǎn),使平分?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由. 解:()由 , 得 . 依題意是等腰直角三角形,從而,故. 所以橢圓的方程是. ()設(shè),直線的方程為. 將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去得 . 所以 ,. 若平分,則直線

4、,的傾斜角互補(bǔ),所以. 設(shè),則有 .將 ,代入上式,整理得 ,所以 . 將 ,代入上式,整理得 . 由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,所以 . 綜上,存在定點(diǎn),使平分.19(2012年?yáng)|城一模理19)已知橢圓:的左、右頂點(diǎn)分別為,為短軸的端點(diǎn),的面積為,離心率是()求橢圓的方程;()若點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn),直線,與直線分別交于,兩點(diǎn),證明:以為直徑的圓與直線相切于點(diǎn) (為橢圓的右焦點(diǎn))解:()由已知 解得, 故所求橢圓方程為 證明:()由()知,設(shè)橢圓右焦點(diǎn)設(shè),則于是直線方程為 ,令,得;所以,同理 所以,.所以 所以 ,點(diǎn)在以為直徑的圓上 設(shè)的中點(diǎn)為,則 又,所以 所以 因?yàn)槭且詾橹睆降膱A的半

5、徑,為圓心,故以為直徑的圓與直線相切于右焦點(diǎn)19. (2012年豐臺(tái)一模理19)已知橢圓C:的離心率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)()求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;()設(shè)直線l:與橢圓C相交于,兩點(diǎn),連接MA,MB并延長(zhǎng)交直線x=4于P,Q兩點(diǎn),設(shè)yP,yQ分別為點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo),且求證:直線過(guò)定點(diǎn) 解:()依題意,所以 2分因?yàn)椋?所以3分橢圓方程為 5分()消y得 , 6分因?yàn)?,所?, 7分設(shè)直線MA:,則;同理9分因?yàn)?,所以 , 即10分所以 ,所以 ,所以 ,得 13分則,故過(guò)定點(diǎn) 14分19.(2012年朝陽(yáng)一模理19)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,.點(diǎn)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.()求橢圓的方程;()

6、已知點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.過(guò)點(diǎn)任作直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),設(shè)直線,的斜率分別為,若,試求滿足的關(guān)系式.解: ()依題意, , 所以. 故橢圓的方程為. 4分 ()當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由解得. 不妨設(shè), 因?yàn)椋?,所以?所以的關(guān)系式為,即. 7分 當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為. 將代入整理化簡(jiǎn)得,. 設(shè),則,. 9分又,.所以 12分所以,所以,所以的關(guān)系式為.13分綜上所述,的關(guān)系式為. 14分19.(2012年?yáng)|城11校聯(lián)考理19)已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸正半軸的拋物線上有一點(diǎn),點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為1.(1)求該拋物線的方程;(2)設(shè)為拋物線上的一個(gè)定點(diǎn),過(guò)作拋物線的兩條互

7、相垂直的弦,求證:恒過(guò)定點(diǎn).(3)直線與拋物線交于,兩點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn),使得為以為斜邊的直角三角形.解:(1)由題意可設(shè)拋物線的方程為,則由拋物線的定義可得,即,所以拋物線的方程為 . 4分 (2)由題意知直線與軸不平行,設(shè)所在直線方程為得 其中 即 所以 所以直線的方程為 即 9分(3)假設(shè)(上,的解,消去得 .14分19.(2012年石景山一模理19)已知橢圓()右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為,短軸長(zhǎng)為.()求橢圓的方程;()過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓分別交于、兩點(diǎn),若三角形的面積為,求直線的方程解:()由題意, -1分解得. -2分 即:橢圓方程為 -3分 ()當(dāng)直線與軸垂直時(shí), 此時(shí)不符合題

8、意故舍掉; -4分 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線 的方程為:, 代入消去得:. -6分 設(shè) ,則, -7分所以 . -9分原點(diǎn)到直線的距離,所以三角形的面積.由, -12分所以直線或. -13分19.(2012年房山一模19)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為(I)求橢圓的方程;(II)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)當(dāng)時(shí),求的取值范圍解:(I)依題意可設(shè)橢圓方程為 ,則離心率為故,而,解得, 4分故所求橢圓的方程為. 5分(II)設(shè),P為弦MN的中點(diǎn),由 得 ,直線與橢圓相交, , 7分,從而,(1)當(dāng)時(shí) (不滿足題目條件),則 ,即 , 9分把代入得 ,解得 , 10分

9、由得,解得故 11分(2)當(dāng)時(shí)直線是平行于軸的一條直線, 13分綜上,求得的取值范圍是 14分19(2012年密云一模理19) 如圖所示,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,1).平行于OM的直線在y軸上的截距為m(m0),且交橢圓于A,B兩不同點(diǎn).(I) 求橢圓的方程;(II) 求m的取值范圍;(III) 求證:直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.解:(I) 設(shè)橢圓的方程為(a>b>0)由題可得所求橢圓的方程為 . 4分(II)直線OM且在y軸上的截距為m,直線l方程為:y=x+m.聯(lián)立消y化簡(jiǎn)得直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),解得又因?yàn)閙0.m的取值范圍為-2<m<2且m0. 8分(III)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為,則問(wèn)題只需證明.設(shè)A,B則.由(2)又代入整理得 .從而直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形. 13分19(2012年門頭溝一模理19)已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離

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