控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)習(xí)題解答

1、第6章 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)6.1 學(xué)習(xí)要點(diǎn)1 控制系統(tǒng)校正的概念，常用的校正方法、方式；2 各種校正方法、方式的特點(diǎn)和適用性；3各種校正方法、方式的一般步驟。 6.2 思考與習(xí)題祥解題6.1 校正有哪些方法？各有何特點(diǎn)？答：控制系統(tǒng)校正有根軌跡方法和頻率特性方法。根軌跡法是一種直觀的圖解方法，它顯示了當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)(通常為開環(huán)放大系數(shù))從零變化到無窮大時(shí)，如何根據(jù)開環(huán)零極點(diǎn)的位置確定全部閉環(huán)極點(diǎn)的位置。因此，根軌跡校正方法是根據(jù)系統(tǒng)給定的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)確定主導(dǎo)極點(diǎn)位置，通過適當(dāng)配置開環(huán)零極點(diǎn)，改變根軌跡走向與分布，使其通過期望的主導(dǎo)極點(diǎn)，從而滿足系統(tǒng)性能要求。頻率特性是系統(tǒng)或元件對(duì)不同頻率正弦輸入信

2、號(hào)的響應(yīng)特性。頻域特性簡(jiǎn)明地表示出了系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響以及系統(tǒng)對(duì)噪聲和參數(shù)變化的敏感程度。因此，頻率特性校正方法是根據(jù)系統(tǒng)性能要求，通過適當(dāng)增加校正環(huán)節(jié)改變頻率特性形狀，使其具有合適的高頻、中頻、低頻特性和穩(wěn)定裕量，以得到滿意的閉環(huán)品質(zhì)。由于波德圖能比較直觀的表示改變放大系數(shù)和其他參數(shù)對(duì)頻率特性的影響，所以，在用頻率法進(jìn)行校正時(shí)，常常采用波德圖方法。系統(tǒng)校正要求通常是由使用單位和被控對(duì)象的設(shè)計(jì)單位以性能指標(biāo)的形式提出。性能指標(biāo)主要有時(shí)域和頻域兩種提法。針對(duì)時(shí)域性能指標(biāo)，通常用根軌跡法比較方便；針對(duì)頻域性能指標(biāo)，用頻率法更為直接。根軌跡法是一種直接的方法，常以超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間作為指標(biāo)來校

3、正系統(tǒng)。頻域法是一種間接的方法，常以相位裕量和速度誤差系數(shù)作為指標(biāo)來校正系統(tǒng)。題6.2 校正有哪些方式？各有何特點(diǎn)？答：校正有串聯(lián)校正方式和反饋校正方式。校正裝置串聯(lián)在系統(tǒng)前向通道中的連接方式稱為串聯(lián)校正。校正裝置接在系統(tǒng)的局部反饋通道中的連接方式稱為反饋校正。如圖6.1所示。圖6.1 串聯(lián)校正和反饋校正串聯(lián)校正方式因其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單而最為常見。反饋校正除能獲得串聯(lián)校正類似的校正效果外，還具有串聯(lián)校正所不具備的特點(diǎn)：（1）在局部反饋校正中，信號(hào)從高能級(jí)被引向低能級(jí)，因此不需要經(jīng)過放大；（2）能消除外界擾動(dòng)或反饋環(huán)內(nèi)部系統(tǒng)參數(shù)波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響，提供系統(tǒng)更好的抗干擾能力。題6.3 串聯(lián)超前、串聯(lián)

4、滯后與串聯(lián)滯后超前校正各有何適應(yīng)條件？答：（1）串聯(lián)超前校正通常是在滿足穩(wěn)態(tài)精度的條件下，用來提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的一種校正方法。從波德圖來看，為滿足控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度要求，往往需要增加系統(tǒng)的開環(huán)增益，這樣就增大了幅值穿越頻率，相應(yīng)地減小了相位裕量，易導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因而在系統(tǒng)中加入一個(gè)相位超前的校正裝置，使之在穿越頻率處相位超前，以增加相位裕量。這樣既能使開環(huán)增益足夠大，滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求，又能提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。串聯(lián)超前校正適合需要附加相角位移在065°范圍的系統(tǒng)。超前校正的結(jié)果可以使系統(tǒng)的閉環(huán)頻帶寬度增加，從而使動(dòng)態(tài)響應(yīng)加快；不改變低頻段對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)誤差性能；超前校正裝置所要求的

5、時(shí)間常數(shù)是容易滿足的。但可能帶來因閉環(huán)頻帶寬度加寬引入高頻噪聲，需要增加增益等問題。（2）滯后校正有兩種作用。一般地，如果穩(wěn)態(tài)性能滿足要求，而其動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，并希望降低頻帶寬時(shí)，可用滯后校正來降低其穿越頻率，以滿足其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。這種滯后校正的結(jié)果可以增加系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，有利于提高系統(tǒng)放大系數(shù)以滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求。由于高頻段的衰減，系統(tǒng)的抗高頻擾動(dòng)能力也增強(qiáng)了。但同時(shí)由于頻帶寬度變窄，瞬態(tài)響應(yīng)將變慢。如果一個(gè)反饋控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能是滿意的，為了改善其穩(wěn)態(tài)性能，而又不致影響其動(dòng)態(tài)性能，可以采用滯后較正。此時(shí)就要求在頻率特性低頻段提高其增益，而在幅值穿越頻率附近仍保持其相位移大小幾乎不變。

6、 這兩種作用中，前者是降低了幅值穿越頻率并衰減了高頻段，后者是提高低頻段增益。但就滯后校正本身而言，其主要作用是在高頻段造成衰減，以使系統(tǒng)獲得充分的相位裕量。（3）滯后-超前校正幅頻特性的前段是相位滯后部分，具有使高頻段增益衰減的作用，所以容許在低頻段提高增益，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。幅頻特性的后段是相位超前部分，因增加了相位超前角度，從而使相位裕量增大，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。因此，滯后-超前校正常適用于系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)態(tài)精度和動(dòng)態(tài)性能都有進(jìn)一步改善的情況。題6.4 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的對(duì)象傳遞函數(shù)為，設(shè)計(jì)相位滯后校正使阻尼比為0.7,穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為30。解：采用根軌跡校正方法。(1) 作系統(tǒng)根軌跡如圖

7、6.2(a)所示，并在圖中作的兩條射線和，分別與根軌跡交于和點(diǎn)。測(cè)得和的實(shí)部為1.2，因此和的參數(shù)為，即和滿足期望主導(dǎo)極點(diǎn)的要求。用幅值條件可算出點(diǎn)的根軌跡增益為，因此系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)不符合要求。圖6.2 題6.4用圖(2) 引入串聯(lián)滯后校正環(huán)節(jié)根據(jù)第一步的計(jì)算，應(yīng)將系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)提高30倍。所引入的校正環(huán)節(jié)應(yīng)滿足，為確保校正環(huán)節(jié)對(duì)根軌跡不產(chǎn)生顯著影響，選擇，即滯后校正環(huán)節(jié)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的根軌跡如下：分離點(diǎn)由用試探法解得：。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)漸近線與實(shí)軸的夾角 系統(tǒng)的根軌跡如圖6.2(b)所示。圖6.2 題6.4用圖引入開環(huán)偶極子的滯后校正對(duì)根軌跡不產(chǎn)生顯

8、著影響，既能保證系統(tǒng)瞬態(tài)特性又滿足了穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。 題6.5 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的對(duì)象傳遞函數(shù)為，設(shè)計(jì)相位超前校正，使校正后系統(tǒng)的超調(diào)量不大于，上升時(shí)間不大于秒，單位斜坡函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差不大于。解：采用根軌跡校正方法。(1) 根據(jù)期望動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置。為使并留有余地(以確保在其他極點(diǎn)的作用下性能指標(biāo)仍能得到滿足) ，選阻尼比。由于，主導(dǎo)極點(diǎn)應(yīng)位于如圖6.3所示的的射線上。再運(yùn)用二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間的近似公式，可選擇，以保證并留有余地。因此主導(dǎo)極點(diǎn)為。(2) 畫出未校正系統(tǒng)的根軌跡圖，如圖6.3中的實(shí)線所示。由圖可見，根軌跡不通過期望主導(dǎo)極點(diǎn)，因此不能通過調(diào)節(jié)開環(huán)放大系數(shù)來滿足動(dòng)態(tài)性能指

9、標(biāo)。圖6.3 題6.5用圖(3) 為了使系統(tǒng)根軌跡向左偏移，進(jìn)行相位超前校正。校正裝置環(huán)節(jié)為校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為為了使期望主導(dǎo)極點(diǎn)位于根軌跡上，根據(jù)相角條件應(yīng)有由圖可知，代入上式，并取可得：由此可見，只要從圖中的點(diǎn)作夾角為的兩條射線，它們和實(shí)軸相交的兩點(diǎn)即是所求的校正環(huán)節(jié)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。這樣的作圖不是惟一的，可按如下方法作圖：從點(diǎn)作平行于實(shí)軸的射線，再作的角平分線，然后作和，它們和的夾角均為，和與實(shí)軸的交點(diǎn)即為所求的極點(diǎn)和零點(diǎn)。如圖6.3所示，校正環(huán)節(jié)為(4) 檢驗(yàn)穩(wěn)態(tài)指標(biāo)。由幅值條件可知求得，由此得開環(huán)放大系數(shù)單位斜坡函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差，因此滿足穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。校正后系統(tǒng)的根軌跡圖示于圖6.4

10、中。圖6.4 題6.5校正后系統(tǒng)的根軌跡圖 題6.6 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的對(duì)象傳遞函數(shù)為，若使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為20，相位裕量不小于，增益裕量不小于10dB，試確定系統(tǒng)的串聯(lián)校正裝置傳遞函數(shù)。解：（1）根據(jù)要求，系統(tǒng)應(yīng)設(shè)計(jì)為型系統(tǒng)。由穩(wěn)態(tài)指標(biāo)的要求，開環(huán)放大系數(shù)，取，作的波德圖如圖6.5所示。（2）計(jì)算未校正系統(tǒng)相位裕量，估計(jì)需要附加的相角位移。由計(jì)算出校正前幅值穿越頻率，校正前相位裕量相位裕量不滿足要求。為不影響低頻特性并改善動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能，可采用超前校正。（3）根據(jù)相位裕量的要求，超前校正電路最大相位移應(yīng)為考慮超前校正后，會(huì)使原系統(tǒng)相角位移更負(fù)些，故應(yīng)相應(yīng)地加大。取，根據(jù) 解得。（4）設(shè)計(jì)

11、系統(tǒng)校正后的增益穿越頻率為校正裝置（0/+1/0特性）兩交接頻率和的幾何中點(diǎn)（考慮到最大超前相位移是在兩交接頻率和的幾何中點(diǎn)），即因?yàn)樵跁r(shí)，如認(rèn)為，則得代入，解得。校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性如圖6.5所示，其傳遞函數(shù)為圖6.5 題6.6校正前后系統(tǒng)的波德圖（5）校驗(yàn)校正后相位裕量由于相位時(shí)，相位穿越頻率，故增益裕量為，所得結(jié)果滿足了系統(tǒng)的要求。（6）串聯(lián)超前校正裝置傳遞函數(shù)為可以用相位超前校正電路和放大器來實(shí)現(xiàn)。放大器的放大系數(shù)等于。題6.7設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，要求校正后系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)不小于10，相位裕量不小于，并且在頻率大于50的高頻段具有銳截止-3特性，試確定校正裝置

12、。解：（1）首先確定放大系數(shù)。根據(jù)要求，系統(tǒng)應(yīng)設(shè)計(jì)為型系統(tǒng)。由穩(wěn)態(tài)指標(biāo)的要求，開環(huán)放大系數(shù)，取，作的波德圖如圖6.6所示。校正前幅值穿越頻率根據(jù)解得。相位裕量表明系統(tǒng)不穩(wěn)定?？紤]高頻抗擾要求，采用串聯(lián)滯后校正。圖6.6 題6.7校正前后系統(tǒng)的波德圖（2）按相位裕量的要求，計(jì)算未校正系統(tǒng)在新的幅值穿越頻率處的相角為：即解得。(3) 在處未校正系統(tǒng)的幅值為：dB由，可確定。(4) 選擇，確定交接頻率，。得到校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為將校正環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性繪制在圖6.6中，并與原系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性代數(shù)相加，即得出校正后系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和相頻特性曲線。校正后開環(huán)傳遞函數(shù)(5) 校正后系統(tǒng)的相位裕

13、量 并且在頻率大于50的高頻段具有銳截止-3特性，滿足要求。題6.8單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，要求系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)不小于100，相位裕量不小于，幅值穿越頻率等于10弧度/秒的性能指標(biāo)，試確定串聯(lián)校正方法和校正裝置傳遞函數(shù)。 解：（1）根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能要求，可得，取，繪制未校正系統(tǒng)的波德圖如圖6.7所示。校正前幅值穿越頻率根據(jù)解得。相位裕量令相位兩邊取正切：有代入幅頻特性，得則增益裕量dB。不滿足要求。采用滯后超前校正如下。圖6.7 題6.8校正前后系統(tǒng)的波德圖（2）確定滯后超前校正電路相位滯后部分。按照系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性要求，設(shè)校正后的穿越頻率。校正前系統(tǒng)在穿越頻率處的相角因此校正所需的相位最大超前角約。 設(shè)交接頻率為新的穿越頻率的處，即，。考慮所需的相位最大超前角約為，選擇，則交接頻率 。滯后超前校正裝置滯后部分的傳遞函數(shù)可寫成（3）確定滯后超前校正裝置相位超前部分。在新的穿越頻率處，未校正系統(tǒng)的幅值dB，因此，滯后超前校正裝置在處應(yīng)產(chǎn)生dB增益，才能實(shí)現(xiàn)校正后系統(tǒng)的幅值截止頻