卡爾曼濾波的MATLAB實(shí)現(xiàn)

1、卡爾曼濾波的MATLAB實(shí)現(xiàn)一、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 一個(gè)系統(tǒng)模型為同時(shí)有下列條件：（1） 初始條件已知且有。（2） 是一個(gè)標(biāo)量零均值白高斯序列，且自相關(guān)函數(shù)已知為。另外，我們有下列觀測(cè)模型，即且有下列條件：（3） 和是獨(dú)立的零均值白高斯序列，且有（4） 對(duì)于所有的j和k，與觀測(cè)噪聲過程和是不相關(guān)的，即我們希望得到由觀測(cè)矢量，即估計(jì)狀態(tài)矢量的卡爾曼濾波器的公式表示形式，并求解以下問題：（a） 求出卡爾曼增益矩陣，并得出最優(yōu)估計(jì)和觀測(cè)矢量之間的遞歸關(guān)系。（b） 通過一個(gè)標(biāo)量框圖（不是矢量框圖）表示出狀態(tài)矢量中元素和估計(jì)值的計(jì)算過程。（c） 用模擬數(shù)據(jù)確定狀態(tài)矢量的估計(jì)值并畫出當(dāng)k0，1，10時(shí)和的圖。（d）

2、 通常，狀態(tài)矢量的真實(shí)值是得不到得。但為了用作圖來說明問題，表P8.1和P8.2給出來狀態(tài)矢量元素得值。對(duì)于k0，1，10，在同一幅圖中畫出真實(shí)值和在（c）中確定的的估計(jì)值。對(duì)重復(fù)這樣過程。當(dāng)k從1變到10時(shí)，對(duì)每一個(gè)元素i1，2，計(jì)算并畫出各自的誤差圖，即。（e） 當(dāng)k從1變到10時(shí)，通過用卡爾曼濾波器的狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣畫出和，而，。（f） 討論一下（d）中你計(jì)算的誤差與（e）中方差之間的關(guān)系。二、實(shí)驗(yàn)原理1、卡爾曼濾波簡(jiǎn)介卡爾曼濾波是解決以均方誤差最小為準(zhǔn)則的最佳線性濾波問題，它根據(jù)前一個(gè)估計(jì)值和最近一個(gè)觀察數(shù)據(jù)來估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值。它是用狀態(tài)方程和遞推方法進(jìn)行估計(jì)的，而它的解是以估計(jì)值（

3、常常是狀態(tài)變量的估計(jì)值）的形式給出其信號(hào)模型是從狀態(tài)方程和量測(cè)方程得到的。卡爾曼過濾中信號(hào)和噪聲是用狀態(tài)方程和測(cè)量方程來表示的。因此設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器要求已知狀態(tài)方程和測(cè)量方程。它不需要知道全部過去的數(shù)據(jù)，采用遞推的方法計(jì)算，它既可以用于平穩(wěn)和不平穩(wěn)的隨機(jī)過程，同時(shí)也可以應(yīng)用解決非時(shí)變和時(shí)變系統(tǒng)，因而它比維納過濾有更廣泛的應(yīng)用。2、卡爾曼濾波的遞推公式(1) (2)(3)(4)3、遞推過程的實(shí)現(xiàn)如果初始狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)特性及已知，并令 又 將代入式（3）可求得，將代入式（2）可求得，將此代入式（1）可求得在最小均方誤差條件下的，同時(shí)將代入式（4）又可求得；由又可求，由又可求得，由又可求得，同時(shí)由與又可

4、求得；以此類推，這種遞推計(jì)算方法用計(jì)算機(jī)計(jì)算十分方便。三、MATLAB程序%卡爾曼濾波實(shí)驗(yàn)程序clc;y1=3.29691969,3.38736515,7.02830641,9.71212521,11.42018315,15.97870583,22.06934285,28.30212781,30.44683831,38.75875595; %觀測(cè)值y1(k)y2=2.10134294,0.47540797,3.17688898,2.49811140,2.91992424,6.17307616,5.42519274,3.05365741,5.98051141,4.51016361; %觀測(cè)值y2

5、(k)p0=1,0;0,1;p=p0; %均方誤差陣賦初值A(chǔ)k=1,1;0,1; %轉(zhuǎn)移矩陣Qk=1,0;0,1; %系統(tǒng)噪聲矩陣Ck=1,0;0,1; %量測(cè)矩陣Rk=1,0;0,2; %測(cè)量噪聲矩陣x0=0,0'xk=x0; %狀態(tài)矩陣賦初值for k=1:10 Pk=Ak*p*Ak'+Qk; %濾波方程3 Hk=Pk*Ck'*inv(Ck*Pk*Ck'+Rk); %濾波方程2 yk=y1(k);y2(k); %觀測(cè)值 xk=Ak*xk+Hk*(yk-Ck*Ak*xk); %濾波方程1 x1(k)=xk(1); x2(k)=xk(2); %記錄估計(jì)值 p=(

6、eye(2)-Hk*Ck)*Pk; %濾波方程4 pk(:,k)=p(1,1),p(2,2)' %記錄狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣endfigure %畫圖表示狀態(tài)矢量的估計(jì)值subplot(2,1,1)i=1:10;plot(i,x1(i),'k')h=legend('x1(k)的估計(jì)值')set(h,'interpreter','none')subplot(2,1,2)i=1:10;plot(i,x2(i),'k')h=legend('x2(k)的估計(jì)值')set(h,'interpret

7、er','none')X1=0,1.65428714,3.50300702,5.997852924,9.15040740,12.50873910,16.92192594,21.34483352,25.89335144,31.54135330,36.93605670; %由模擬得到的實(shí)際狀態(tài)值X1(k)X2=0,1.65428714,1.84871988,2.47552222,3.17187816,3.35833170,4.41318684,4.42290758,4.54851792,5.64800186,5.394470340; %由模擬得到的實(shí)際狀態(tài)值X2(k)fig

8、ure %在同一幅圖中畫出狀態(tài)矢量的估計(jì)值與真實(shí)值subplot(2,1,1)i=1:10;plot(i,x1(i),'k',i,X1(i+1),'b')h=legend('x1(k)的估計(jì)值','x1(k)的真實(shí)值')set(h,'interpreter','none')subplot(2,1,2)i=1:10;plot(i,x2(i),'k',i,X2(i+1),'b')h=legend('x2(k)的估計(jì)值','x2(k)的真實(shí)值'

9、;)set(h,'interpreter','none')for i=1:10 %計(jì)算x(k)的誤差 e1(i)=X1(i+1)-x1(i); e2(i)=X2(i+1)-x2(i);endfigure %畫出誤差圖subplot(2,1,1)i=1:10;plot(i,e1(i),'r')h=legend('x1(k)的誤差')set(h,'interpreter','none')subplot(2,1,2)i=1:10;plot(i,e2(i),'r')h=legend('

10、;x2(k)的誤差')set(h,'interpreter','none')figure %通過用卡爾曼濾波器的狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣畫出E1(k/k)2和E2(k/k)2i=1:10;subplot(2,1,1)plot(i,pk(1,i),'r') h= legend('由狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣得到的E1(k/k)2')set(h,'Interpreter','none')subplot(2,1,2)plot(i,pk(2,i),'r')h= legend('由狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣得到的E2(k/k)2')set(h,'Interpreter','none')四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析（a）卡爾曼增益矩陣：估計(jì)值與觀