六年級(jí)奧數(shù),牛吃草問(wèn)題,教師講義

1、牛吃草問(wèn)題講義牛吃草問(wèn)題常用到四個(gè)基本公式，分別是：(1) 草的生長(zhǎng)速度=(對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較少天數(shù))+ (吃的較多天數(shù) 吃的較少天數(shù))；(2) 原有草量=牛頭數(shù)X吃的天數(shù)-草的生長(zhǎng)速度X吃的天數(shù)；(3) 吃的天數(shù)=原有草量+(牛頭數(shù)草的生長(zhǎng)速度)；(4) 牛頭數(shù)=原有草量十吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度。這四個(gè)公式是解決牛吃草問(wèn)題的基礎(chǔ)。一般設(shè)每頭牛每天吃草量不變，設(shè)為"1"，解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問(wèn)題。牛吃草問(wèn)題是經(jīng)典的奧數(shù)題型之一，這里我只介紹一些比較淺顯的牛

2、吃草問(wèn)題，給大家開(kāi)拓一下思維，首先,先介紹一下這類問(wèn)題的背景，大家看知識(shí)要點(diǎn)特點(diǎn)：在“牛吃草”問(wèn)題中，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化，也就是說(shuō)這類問(wèn)題的工作總量是不固 定的，一直在均勻變化。典例評(píng)析例1、有一塊勻速生長(zhǎng)的草場(chǎng)，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天，那么它可供幾頭牛吃 20天？例2、由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少，如果某塊草地上的草可供25頭年吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供10頭牛吃多少天？小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第-1 -頁(yè)共6頁(yè)例3、一片勻速生長(zhǎng)的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12頭牛與36只羊吃25天，如果1頭牛每天的吃

3、草兩相當(dāng)于3只羊每天的吃草量。請(qǐng)問(wèn)：這片草地讓17頭牛與多少只羊一起吃，剛好16天吃完？牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天都勻速生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供27頭牛吃6天或23頭牛吃9天。問(wèn)可供21頭牛吃幾天？【分析】這片牧場(chǎng)上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量一一即原來(lái)的牧草數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長(zhǎng)出的草。新長(zhǎng)出的草雖然在變，但應(yīng)注意到它是勻速生長(zhǎng)的，因而這片牧場(chǎng)每天 新長(zhǎng)出飛草的數(shù)量也是不變的。從這道題我們看到，草每天在長(zhǎng)，牛每天在吃，都是在變化的，但是也有不變的，都是什么不變?。坎菔且詣蛩?生長(zhǎng)的，也就是說(shuō)每天長(zhǎng)的草是不變的；，同樣，每天牛吃草的量也是不變的，對(duì)吧？這就是我們解

4、題的關(guān)鍵。這里因?yàn)槲粗獢?shù)很多，我教大家一種巧妙的設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)“1”法。我們?cè)O(shè)牛每天吃草的數(shù)量為1份，具體1份是多少我們不知道，也不用管它，【思考1】一片草地，每天都勻速長(zhǎng)出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，那么可供18頭牛吃幾天？設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是(20 X 10-24 X 6)- (10-6)=14份，原來(lái)的草量是(24-14 )X 6=60份?？晒?8頭牛吃60+( 18-14 ) =15天例2因天氣寒冷，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場(chǎng)上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計(jì)算，這個(gè)牧場(chǎng)可供多少頭牛

5、吃10天？【分析】與例1不同的是，不但沒(méi)有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類似的方 法求出每天減少的草量和原來(lái)的草的總量【思考2】由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以固定的速度在減少，經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？8天，設(shè)一頭牛一天吃的草量為一份。牧場(chǎng)每天減少的草量：(20X 5-16 X 6) + ( 6-5 ) =4份，原來(lái)的草量：(20+4)X 5=120 份，可供 11 頭牛吃 120 + (11+4)=8 天?？偨Y(jié)：想辦法從變化中找到不變的量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化， 但是因?yàn)槭莿蛩?/p>

6、生長(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量也是不變的。正確計(jì)算草地上原有的草及每天新長(zhǎng)出的草，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。知識(shí)衍變小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第-3 -頁(yè)共6頁(yè)牛吃草基本問(wèn)題就先介紹到這，希望大家掌握這種方法，以后出現(xiàn)樣吃草問(wèn)題，驢吃草問(wèn)題也知道怎么做，甚至， 以下這些問(wèn)題都可以應(yīng)用牛吃草問(wèn)題解決方法例3自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走25級(jí)臺(tái)階，小麗每分鐘走 20級(jí)臺(tái)階，結(jié)果小明用了 5分鐘，小麗用了 6分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階？【分析】在這道題中，“總的草量”變成了“扶梯的臺(tái)階總級(jí)數(shù)”，“草”變成了“臺(tái)階”，“牛”變成了“速度”，所以也可以看成是“牛吃草”問(wèn)題

7、來(lái)解答?！舅伎?】?jī)芍晃伵Ｍ瑫r(shí)從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，兩只蝸牛滑行的速度卻是相同的，結(jié)果一只蝸牛恰好用了5個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只恰好用了 6個(gè)晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？大家說(shuō)這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？15米。蝸牛每夜下降：(20X 5-15 X 6)-( 6-5 ) =10分米所以井深：(20+10)X 5=150分米=15米例4 一條船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度漏進(jìn)船內(nèi)，待發(fā)現(xiàn)時(shí)船艙內(nèi)已進(jìn)了一些水。如果用12人舀水，3小時(shí)舀完。如果只有5個(gè)人舀水，要10小時(shí)才能舀完?，F(xiàn)在要想

8、在 2小時(shí)舀完，需要多少人？【分析】典型的“牛吃草”問(wèn)題，找出“?！焙汀安荨笔墙忸}的關(guān)鍵【思考4】一個(gè)水池，池底有泉水不斷涌出，用10部抽水機(jī)20小時(shí)可以把水抽干，用15部相同的抽水機(jī)10小時(shí)可把水抽干。那么用25部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？5小時(shí)。設(shè)一臺(tái)抽水機(jī)一小時(shí)抽水一份。則每小時(shí)涌出的水量是：(20X 10-15 X 10)- (20-10)=5份，池內(nèi)原有的水是：(10-5 )X 20=100份.所以，用25部抽水機(jī)需要:100十(25-5)=5小時(shí)思維拓展例5有一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿牧草，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這個(gè)牧場(chǎng)可供17頭牛吃30天，可供19頭牛吃24天，現(xiàn)在有若干頭牛在吃草，6天后，

9、4頭牛死亡，余下的牛吃了 2天將草吃完，問(wèn)原來(lái)有牛多少頭？【分析】“牛吃草”問(wèn)題的特點(diǎn)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)，所研究的量也等量地增加。解答時(shí)，要抓住這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，也 就是要求出原來(lái)的量和每天增加的量各是多少?！舅伎?】一個(gè)牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天，現(xiàn)有一群牛吃了 4天后賣(mài)掉2頭，余下的牛又吃了 4天將草吃完。這群牛原來(lái)有多少頭？25頭。設(shè)每頭牛每天的吃草量為 1份。每天新生的草量為：(23X 9-27 X 6) + ( 20-10 ) =15份，原有的草量為(2 7-15 )X 6=72份。如兩頭牛不賣(mài)掉，這群牛在 4+4=8天內(nèi)吃草量72+15X 8

10、+2 X 4=200份。所以這群牛原來(lái)有 200十8 =25頭例6有三塊草地，面積分別為 5公頃，6公頃和8公頃。每塊地每公頃的草量相同而且長(zhǎng)的一樣快，第一塊草地可 供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。第三塊草地可供19頭牛吃多少天？【分析】由題目可知，這是三塊面積不同的草地，為了解決這個(gè)問(wèn)題，首先要將這三塊草地的面積統(tǒng)一起來(lái)。例1 一個(gè)牧場(chǎng)長(zhǎng)滿青草，牛在吃草而草又在不斷生長(zhǎng)，已知牛27頭，6天把草吃盡，同樣一片牧場(chǎng)，牛23頭，9天小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第-3 -頁(yè)共6頁(yè)把草吃盡。如果有牛21頭，幾天能把草吃盡?摘錄條件:27頭原有草+6天生長(zhǎng)草23頭原有草+9天生長(zhǎng)草21頭?天原有

11、草+?天生長(zhǎng)草小學(xué)解答：解答這類問(wèn)題關(guān)鍵是要抓住牧場(chǎng)青草總量的變化。設(shè)1頭牛1天吃的草為"1"，由條件可知，前后 兩次青草的問(wèn)題相差為23X9 -27X 6=45。為什么會(huì)多出這45呢？這是第二次比第一次多的那(9-6 ) = 3天生長(zhǎng)出來(lái)的，所以每天生長(zhǎng)的青草為45十3=15現(xiàn)從另一個(gè)角度去理解，這個(gè)牧場(chǎng)每天生長(zhǎng)的青草正好可以滿足 15頭牛吃。由此，我們可以把每次來(lái)吃草的 牛分為兩組，一組是抽出的15頭牛來(lái)吃當(dāng)天長(zhǎng)出的青草，另一組來(lái)吃是原來(lái)牧場(chǎng)上的青草， 那么在這批牛開(kāi)始吃 草之前，牧場(chǎng)上有多少青草呢？(27-15) X 6=72那么：第一次吃草量27X 6=162第二次

12、吃草量23X 9=207每天生長(zhǎng)草量45 3=15原有草量(27-15 )X 6=72或 162-15X 6=7221頭牛分兩組，15頭去吃生長(zhǎng)的草，其余6頭去吃原有的草那么72十6=12 (天)初中解答：假設(shè)原來(lái)有的草為 x份，每天長(zhǎng)出來(lái)的草為 y份，每頭牛每天吃草1份。那么可以列方程:x+6y=27X6x+9y=23X9解得 x=72,y=15若放21頭牛，設(shè)n天可以吃完，則:72+15n=21nn=12例2水庫(kù)原有存水量一定，河水每天入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天抽干，6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干,若要6天抽干，要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？摘錄條件：5臺(tái)20天原有水+20天入庫(kù)量6臺(tái)15天原有

13、水+15天入庫(kù)量?臺(tái)6天原有水+6天入庫(kù)量小學(xué)解答：設(shè)1臺(tái)1天抽水量為"1"，第一次總量為5X20=100,第二次總量為6X 15=90每天入庫(kù)量(100- 90) - (20 -15)=220天入庫(kù) 2X 20=40,原有水 100-40=6060+2X 6=7272-6=12 （臺(tái)）初中解答：假設(shè)原來(lái)有的水為x份，每天流進(jìn)來(lái)的水為y份，每臺(tái)機(jī)器抽出的水是 1個(gè)單位。那么可以列方程：x+20y=20X5x+15y=6X15解得 x=60,y=2若要6天抽完，設(shè)n臺(tái)機(jī)器可以抽完，則：60+6X 2=6 nn=12鞏固練習(xí)1. 一塊牧場(chǎng)長(zhǎng)滿了草，每天均勻生長(zhǎng)。這塊牧場(chǎng)的草可供

14、10頭牛吃40天，供15頭牛吃20天?？晒?5頭牛吃天。（）A. 10 B.5 C. 20A假設(shè)1頭牛1天吃草的量為1份。每天新生的草量為：（10 X 40-15 X 20） -（ 40-20 ） =5 （份）。那么 愿草量為：10X 40-40 X 5=200 （份），安排5頭牛專門(mén)吃每天新長(zhǎng)出來(lái)的草，這塊牧場(chǎng)可供25頭牛吃：200+ （ 25-5 ） =10 （天）。2. 一塊草地上的草以均勻的速度生長(zhǎng)，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長(zhǎng)出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光。那么想用4天的時(shí)間，把這塊草地的草吃光，需要只羊。（ ）A. 22 B. 23 C. 24B假設(shè)1只羊1天吃

15、草的量為1份。每天新生草量是：（14 X 10-20 X 5）-（ 10-5 ） =8 （份）原草量是：20 X 5-8 X 5= 60 （份）安排8只羊?qū)ｉT(mén)吃每天新長(zhǎng)出來(lái)的草，4天時(shí)間吃光這塊草地共需羊：60- 4+8= 23（只）3畫(huà)展9時(shí)開(kāi)門(mén)，但早有人來(lái)排隊(duì)等候入場(chǎng)。從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)一樣多。如果開(kāi) 3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)了，那么第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是8點(diǎn)分。（ ）A. 10 B. 12 C. 15C假設(shè)每個(gè)人口每分鐘進(jìn)入的觀眾量是1份。每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)為（3X 9-5 X 5）-（ 9-5 ） =0.5 （份）到9時(shí)止，已來(lái)的觀眾人數(shù)為： 3X 9-

16、0.5 X 9= 22.5 （份）第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)比 9時(shí)提前了： 22.5 - 0.5 = 45 （分）所以第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是9時(shí)-45分=8時(shí)15分。4.經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100億人生活100年，或 可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一樣的。那么，為了滿足人類不斷發(fā)展的要求，地球最多只能養(yǎng)活（）億人。70設(shè)1億人1年所消耗的資源為1份那么地球上每年新生成的資源量為：（80 X 300-100 X 100）-（ 300-100 ） =70 （份）只有當(dāng)?shù)厍蛎磕晷律Y源不少于消耗點(diǎn)的資源時(shí)，地球上的資源才不至于逐漸減少，才能滿足人類不斷發(fā)展的需要。所以地球最多只

17、能養(yǎng)活：70-仁70 （億人）5快、中、慢三車(chē)同時(shí)從 A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車(chē)。三車(chē)的速度分別是每小時(shí)24千米、 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第-9 -頁(yè)共6頁(yè)20 千米、19千米?？燔?chē)追上自行車(chē)用了 6小時(shí)，中車(chē)追上自行車(chē)用了 10 小時(shí)，慢車(chē)追上自行車(chē)用 ( ) 小時(shí)。12自行車(chē)的速度是：(20X 10-24 X 6) + ( 10-6 ) =14 (千米/小時(shí))三車(chē)出發(fā)時(shí)自行車(chē)距 A地：(24-14 )X 6=60 (千米)慢車(chē)追上自行車(chē)所用的時(shí)間為： 60+(19-14) =12(小時(shí))6. 一水池中原有一些水，裝有一根進(jìn)水管，若干根抽水管。進(jìn)水管不斷進(jìn)水，若用24 根抽水管抽水，6小時(shí)

18、可以把池中的水抽干，那么用 16根抽水管， ()小時(shí)可將可將水池中的水抽干。18 設(shè) 1 根抽水管每小時(shí)抽水量為 1 份。(1) 進(jìn)水管每小時(shí)卸貨量是：(21X 8-24 X 6)+( 8-6) =12(份)(2) 水池中原有的水量為：21 X 8-12 X 8= 72 (份)(3) 16根抽水管，要將水池中的水全部抽干需： 72+(16-12) =18(小時(shí))7. 某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物， 又不斷用汽車(chē)把貨物運(yùn)走， 如用 9 輛汽車(chē)， 12 小時(shí)可以把它們運(yùn)完，如果用 8輛汽車(chē)， 1 6小時(shí)可以把它們運(yùn)完。如果開(kāi)始只用 3輛汽車(chē)， 1 0小時(shí)后增加若干輛，再過(guò) 4小時(shí)也 能運(yùn)完，那么后來(lái)

19、增加的汽車(chē)是()輛。19 設(shè)每?jī)善?chē)每小時(shí)運(yùn)的貨物為 1 份。(1) 進(jìn)水管每小時(shí)的進(jìn)水量為：(8X16-9X 12)+( 16-12) =5(份)( 2)碼頭原有貨物量是：9X 12-12 X 5= 48(份)(3) 3輛汽車(chē)運(yùn) 10 小時(shí)后還有貨物量是： 48+(5-3 )X 10=68 (份)(4) 后來(lái)增加的汽車(chē)輛數(shù)是：( 68+4X 5)+ 4-3=19 (輛)8有一片草地，每天都在勻速生長(zhǎng)，這片草可供16 頭牛吃 20 天，可供 80 只羊吃 12 天。如果一頭牛的吃草量等于 4只羊的吃草量，那么 10頭牛與 60只羊一起吃可以吃多少天？8天( 1 )按牛的吃草量來(lái)計(jì)算， 80 只羊相當(dāng)于 80+ 4=20(頭)牛。( 2)設(shè) 1 頭牛 1 天的吃草量為 1 份。(3) 先求出這片草地每天新生長(zhǎng)的草量：(16X20-20X12)+( 20-12) =10(份)(4) 再求出草地上原有的草量： 16 X 20-10 X 20= 120 (份)(5) 最后求出 10頭牛與 60只羊一