高等數(shù)學(xué)復(fù)習題習題答案

1、第三部分、計算題（60分）要求：先練習后講解。一、求極限1.(2012.10)已知極限,則b=A.1B.2C.3D.42.(2012.10)3.(2012.10)極限=_.4.(2012.10)求極限.5.(2012.4)求極限.6.(2012.1)求數(shù)列極限7. (2011.7)數(shù)列極限=_8. (2011.7)求極限9. (2011.7)求極限.10（2011.1）極限=_0_.二、求導(dǎo)數(shù)和微分（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)）1（2013.1）設(shè)函數(shù)，則高階導(dǎo)數(shù)=A12!B11!C10!D02（2013.1）設(shè)函數(shù)，求d y3（2013.1）設(shè)函數(shù).4.（2012.1）設(shè)函數(shù)f (x)=a

2、rctan x -ln(x+)，求導(dǎo)數(shù)f(1).1. （2011.7）求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). ln 1=0 sin0=0 cos0=16（2011.1）設(shè)函數(shù)y=sin(2x+2x)，則dy=_.7（2011.1）設(shè)二元函數(shù)z=cos(2y-x),則=_.8 （2011.1）設(shè)函數(shù)y=,求導(dǎo)數(shù)y.9 （2011.1）設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x2)arctan x,求f(x)的三階導(dǎo)數(shù).10.（2010.7）設(shè)y =y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)所確定的隱函數(shù),求微分dy.11.（2010.7）設(shè)函數(shù)z=,則偏導(dǎo)數(shù)_.12.（2010.7）設(shè)函數(shù)z=,求二階偏導(dǎo)數(shù),.13.（2010.1）

3、設(shè)函數(shù)y=ln sin x,則y=_.14.（2010.1）設(shè)z=,則=_.15.（2010.1）方程xyz-ln(xyz)=1確定了隱函數(shù)z=z(x,y),求.16.（2010.1）設(shè)y=xsinx+x arctan ex，求y.注意：（利用對數(shù)求導(dǎo)數(shù)）可設(shè)，則。兩邊同時對求導(dǎo)，得三、求單調(diào)區(qū)間和極值（利用一階導(dǎo)數(shù)）1.(2012.4)求函數(shù)的極值.（極值的二階判斷）2. (2011.7)函數(shù)f(x)= 的極小值點為（ ） Ax=-1 B. x=0 C. D. 不存在-不存在+極小值所以，極小值點是3(2011.1)函數(shù)f(x)=的單調(diào)減少區(qū)間是_.4(2011.1)求函數(shù)f(x)=的極值.

4、5.(2010.7)函數(shù)f(x)=的單調(diào)減少區(qū)間為_.4、 求最大值和最小值（利用一階導(dǎo)數(shù)）1. (2012.4)函數(shù)在閉區(qū)間-1,1上的最大值是_.2. (2012.1)函數(shù)f (x)=x-2cos x在區(qū)間0,上的最小值是_-2_.3.(2010.7)函數(shù)f(x)=x4-4x+3在區(qū)間0,2上的最小值為_.5、 求凹凸區(qū)間和拐點（利用二階導(dǎo)數(shù)）1. (2013.1)求曲線的凹凸區(qū)間及拐點2.(2011.7)求曲線在區(qū)間（0，+）內(nèi)的拐點.3.(2010.7)求曲線y=x2ln x的凹凸區(qū)間及拐點.4.(2012.1)確定常數(shù)a,b的值，使得點(1,)為曲線y=的拐點.5.(2011.1)試

5、確定常數(shù)a,b的值,使得(1,3)是曲線y=ax3+3x2+b的拐點.六、求漸近線（水平漸近線和鉛直漸近線）1(2013.1)曲線A僅有鉛直漸近線B僅有水平漸近線C既有水平漸近線又有鉛直漸近線D無漸近線2(2011.1)曲線y=2ln的水平漸近線為( )Ay=-3By=-1Cy=0Dy=23.(2012.1)曲線y=的鉛直漸近線為_.4.(2011.7)曲線的鉛直漸近線為_x=1_七、求積分（湊微分法、設(shè)元法、分部積分法）1.（2013.1）求不定積分2（2013.1）設(shè)函數(shù)，計算定積分.3（2013.1）計算定積分.4.（2012.1）無窮限反常積分=_.5.（2012.1）求不定積分.6.

6、（2012.1）計算定積分I=2. 定積分=_3. 求無窮限反常積分.此處等于0，無限接近Y軸9無窮限反常積分=_.10定積分=_（用定積分的幾何意義求解）_.八、二重積分（5分）1（）計算二重積分，其中區(qū)域D由曲線及直線x=2圍成2.（）計算二重積分I=dxdy，其中D是由曲線y=x3，x=l及x軸所圍成的區(qū)域，如圖所示.3.（2011.7.23） 計算二重積分，其中D是由直線，與x軸所圍成的區(qū)域，如圖所示.2（3,0）（1,2）4.（）計算二重積分,其中D是由直線y=2-x與拋物線y=x2所圍成的平面區(qū)域.5.（）計算二重積分,其中D是由曲線y=x2-1及直線y=0,x=2所圍成的區(qū)域.(

7、后x先y積分) 九、應(yīng)用題（9分）（一）導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題1.（）設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)一定量的某產(chǎn)品時可用兩種原料，第一種為x（千噸），第二種為y（千噸），其電能消耗量N（萬度）與兩種原料使用量的關(guān)系為問如何使用兩種原料方可使電能消耗達到最低，并求此時的最低能耗2.（）某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品I和II,銷售單價分別為10元與9元,生產(chǎn)x件產(chǎn)品I與生產(chǎn)y件產(chǎn)品II的總費用為C=400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)(元).問兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時，才能使總利潤最大？(x>0,y>0)解之得，x=120,y=80所以x=120,y=80是唯一的極小值點，于是，當產(chǎn)品I和產(chǎn)品II的產(chǎn)量分別為x

8、=120,y=80時，利潤最大。3.（）設(shè)某廠生產(chǎn)q噸產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)=4q2-12q+100,該產(chǎn)品的需求函數(shù)為q=30-0.5p,其中p為產(chǎn)品的價格.(1)求該產(chǎn)品的收益函數(shù)R(q)；(2)求該產(chǎn)品的利潤函數(shù)L(q)；(3)問生產(chǎn)多少噸該產(chǎn)品時,可獲最大利潤?最大利潤是多少？解：（1）由需求函數(shù)q=30-0.5p得，p=60-2q,收益函數(shù);(2) 該產(chǎn)品的利潤函數(shù)；（3） 得：，所以是利潤函數(shù)的唯一極小值點，故生產(chǎn)9噸該產(chǎn)品時，可獲得最大利潤，最大利潤為L(9)=225。 （二）積分應(yīng)用題：（利用定積分求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積）1.（）設(shè)D是由曲線y=ex，y=e-x及直線

9、x=l所圍成的平面區(qū)域，如圖所示.(1)求D的面積A.(2)求D繞x軸一周的旋轉(zhuǎn)體體積Vx.解：（1）（2）由旋轉(zhuǎn)體的體積公式得：2. （）設(shè)D是又曲線，直線及軸圍成的平面區(qū)域，如圖所示。（1）求D的面積。（2）求D繞軸一周的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：（1）；（2） 由旋轉(zhuǎn)體的體積公式得：3. （）求曲線y=ln x及其在點(e,1)的切線與x軸所圍成的平面圖形的面積A.解：曲線y=ln x在點(e,1)的切線方程為，即曲線y=ln x可化為，于是十、證明題（5分）1(2013.1)證明當x>0時， 2. （2012.1）證明：當x>0時，e2x>1+2x.證：設(shè)f(x)=e2x-(1+2x),則當x>0時，>0所以，x>0時，f(x)是增函數(shù)。又因為f(0)=1-(1+0)=0所以，x>0時，f(x)>0，即e2x-(1+2x)>0所以，當x>0時，e2x>1+2x.3.（2010.7）證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個實根.證：設(shè)f(x)=x3-4x2+1,則f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)。因為f(0)=1>0,f(1)=-2<0所以