材料力學(xué)（路橋）第5章截面圖形的幾何性質(zhì)

1、整理課件51 靜矩和形心靜矩和形心52 慣性矩、極慣性矩、慣性積慣性矩、極慣性矩、慣性積53 慣性矩和慣性積的平行移軸定理慣性矩和慣性積的平行移軸定理54 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理* 截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩截面圖形截面圖形的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì)5-1 靜矩和形心靜矩和形心一、靜矩：一、靜矩：(與力矩類似)是面積與它到軸的距離之積。ddzAyASy ASz AdAyzzy二、形心：二、形心：(): iiiiy AyAz AzA正負(fù)面積法公式累加式ziiyiiSAyA ySAzAzdAyzzy等厚均質(zhì)ddmmy mymz mzm質(zhì)心：ddddAAzy

2、AAytAy ASt AAAztAz ASt AAA等于形心坐標(biāo)yz(等厚均質(zhì)板的質(zhì)心與形心重合。)12121235 10 110 20.310 11080 10iiy Ay Ay AyAAA 60 10 11034.710 11080 10z例例1 試確定下圖的形心。解：組合圖形，用正負(fù)面積法解之。1. 用正面積法求解，圖形分割及坐標(biāo)如圖(a)：801201010801201010yzC2圖(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2. 用負(fù)面積法求解，圖形分割及坐標(biāo)如圖(b)1212125 ( 70 110) 20.3120 8070 110iiy Ay Ay AyAAA 圖(b)C1（

3、0,0）C2（5,5）C2負(fù)面積C1yz1212125 ( 70 110) 20.3120 8070 110iiz Az Az AzAAA 5-2 慣性矩、慣性積、極慣性矩慣性矩、慣性積、極慣性矩一、慣性矩：一、慣性矩：（與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量類似）與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量類似） 是面積與它到是面積與它到軸軸的距離的平方之積。的距離的平方之積。 22ddyAzAIzAIyAdAyzzy二、極慣性矩：二、極慣性矩： 是面積對(duì)是面積對(duì)極點(diǎn)極點(diǎn)的二次矩。的二次矩。2dpyzAIAIIdAyzzy三、慣性積：三、慣性積：面積與其到兩軸距離之積。dyzAIyz A如果如果 y 或或 z 是對(duì)稱軸，則是對(duì)稱軸，則Iyz =0整理課

4、件464zDI常見截面的慣性矩：（矩形，圓形，回形框，圓環(huán)形）zDzhbbBhHz312zbhI331212zBHbhIzDd446464zDdI5-3 慣性矩和慣性積的平行移軸定理慣性矩和慣性積的平行移軸定理一、平行移軸定理一、平行移軸定理：（與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理類似）CCybyzaz以形心為原點(diǎn)，建立與原坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)軸如圖。0yCCSAy22222d () d (2)d 2CCyACACCAyyIzAzaAzazaAIaSa A2yyCIIa AdAyzzybaCyCzC注意注意: C點(diǎn)必須為形心點(diǎn)必須為形心2CyyIIa A2CzzIIb AC Cyzy zIIabA2()Cpp

5、IIabA平行移軸公式：平行移軸公式：例例2 求圖示圓對(duì)其切線AB的慣性矩。解：求解此題有兩種方法： 一是按定義直接積分； 二是用平行移軸定理等知識(shí)求。B 建立形心坐標(biāo)如圖，求圖形對(duì)形心軸的慣性矩。4264ccpyzIdII244452641664cAByddddIIAAdyczcO4232cccpyzydIIII圓5-4 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理* 截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩11c o ssin-sinc o syyzzyz一、一、 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理dAyzzyy1z1y1z12112222222d (sincos

6、) d (sinsin2cos)d sinsin2cosyAAAzyzyIzAyzAyyzzAIII1cos2sin222yzyzzyzIIIIII1 1sin2cos22yzy zyzIIII11yzyzIIII1cos2sin222yzyzyyzIIIIII二、截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩二、截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩1. 主慣性軸和主慣性矩：坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)到 = 0 時(shí)；恰好有0 000(sin 2cos2)02yzy zyzIIII 與 0 對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸y0、z0 稱為主慣性軸；平面圖形對(duì)主軸之慣性矩稱為主慣性矩。02tg2yzyzIII 0022 ()22yyzyzyzzIIII

7、III主慣性矩：2. 形心主軸和形心主慣性矩： 主軸過(guò)形心時(shí)，稱其為形心主軸。平面圖形對(duì)形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩。02tg2CCCCy zyzIII 0022()22CCCCCC CCyyzyzy zzIIIIIII形心主慣性矩：3.求截面形心主慣性矩的方法建立坐標(biāo)系計(jì)算面積和靜矩求形心位置建立形心坐標(biāo)系；求：IyC ， IzC ， IyCyC求形心主軸方向 0 求形心主慣性矩iizyiiz ASyAASy AzAA0022 ()22CCCCCC CCyyzyzy zzIIIIIII02tg2CCCCy zyzIII 例例3 在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸。(bd)解： 建立坐標(biāo)系yoz如圖。求形心位置（負(fù)面積法）。建立形心坐標(biāo)系yCCzC；求：IyC ， IzC ， I yCzC 22200240.17734iiCiiCy AyAAddz AzddAd db2dyzOyCzCCCCCyyyIII圓矩34224221.5(2 )3( 0.177 )(0.50.177 ) 1260.68544ddddddddd344(1.5 )20.5131264CCCzzzdddIIId圓矩C 0 , CCCC