衍射線方向的確定

1、 3. X射線衍射的幾何原理射線衍射的幾何原理 1912年，勞厄(Max von Laue)，弗里德里希(Fdededch w)與克尼平（Knipping）所做的實(shí)驗(yàn)演示了X射線通過(guò)晶體所產(chǎn)生的衍射花樣，可以說(shuō)是一箭雙雕，既證實(shí)了X射線具有波動(dòng)性，又驗(yàn)證了晶體具有周期性。對(duì)科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了不可估量的影響。 勞厄等的重大發(fā)現(xiàn)傳到英國(guó)后，引起了布拉格父子（Bragg W.H.與Bragg W.L.）的關(guān)注，重點(diǎn)放在利用x射線衍射來(lái)研究晶體中的原子排列，從而開辟了晶體結(jié)構(gòu)分析這一重要領(lǐng)域。 與此同時(shí)，埃瓦爾德(Ewald P P)正在索末菲(Sommerfeld A)指導(dǎo)下進(jìn)行一項(xiàng)理論工作，即“各向

2、同性的諧振子作各相異性排列時(shí)對(duì)光學(xué)性質(zhì)的影響”，這就奠定了光的雙折射現(xiàn)象微觀理論的基礎(chǔ)，隨后也對(duì)X射線衍射理論產(chǎn)生了重要影響。晶體衍射的幾何理論晶體衍射的幾何理論 在實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到晶體的衍射花樣之后，勞厄就面臨著理論解釋的問(wèn)題。實(shí)際所要求的就是將物理光學(xué)中的一維光柵理論公式推廣到三維。在這方面勞厄可算是駕輕就熟。他的博士論文是普朗克指導(dǎo)的，題目就是“平行平板干涉現(xiàn)象的理論”，前兩年又應(yīng)索末非之邀，為數(shù)理百科全書第五卷撰寫了一篇“波動(dòng)力學(xué)”的專論，其中包括將一維光柵的理論推廣到二維光柵，而現(xiàn)在面臨的問(wèn)題就是將二維光柵的衍射推廣到三維。這樣，就得到描述晶體X射線衍射的勞厄方程。 晶體對(duì)X射線衍射的本

3、質(zhì)： 當(dāng)一束X射線照射到晶體上時(shí)，被組成晶體的原子的電子所散射，電子的散射波可近似地看作由原子中心發(fā)出。在入射X射線的照射下，可以把晶體中的每個(gè)原子看成是一個(gè)新的散射源，它們都向空間輻射出與入射波同頻率的電磁波。由于這些散射波的相干作用，使得空間某些方向上的波始終保持互相疊加，在這些方向上可以觀察到強(qiáng)的衍射線條；而在另一些方向上由于始終保持相互抵消，在這些方向不能觀察到衍射線。 因此，X射線在晶體中的衍射現(xiàn)象的實(shí)質(zhì)是大量原子散射波相互干涉的結(jié)果。 如圖表示當(dāng)X射線束與一列等距離排列的質(zhì)點(diǎn)相遇時(shí)，其相互平行的波前將在每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)處產(chǎn)生一系列球面散射波，它們都和原X射線具有同樣的波長(zhǎng)和頻率。如果沿著

4、這些球面波前作公切線，則這些公切線的法線方向即為散射波相互加強(qiáng)的方向，這樣就產(chǎn)生了衍射。 平行于原射線波前的公切線稱為0極衍射線束的波前，順次相差一個(gè)波長(zhǎng)的球面波前的公切線形成1極級(jí)衍射束波前.以此類推，可以得到2級(jí)、3級(jí)、4級(jí)以及-1、-2、-3、-4、等級(jí)衍射線束的波前及其他傳播方向。X射線受一維點(diǎn)陣（原子列）衍射的條件射線受一維點(diǎn)陣（原子列）衍射的條件 一列等距離排列的原子可以構(gòu)成一個(gè)一維點(diǎn)陣，如圖。如果這個(gè)一維點(diǎn)陣的點(diǎn)陣常數(shù)（即相鄰兩個(gè)原子中心間的距離，如AB）為a，束波長(zhǎng)為的平行X射線束（原射線束）與這個(gè)原子列相遇，其所成的夾角為0，則此一維點(diǎn)陣上的每個(gè)原子都將成為入射X射線的散射中

5、心，并在一定的方向形成衍射線束。此時(shí)由相鄰兩個(gè)原子所產(chǎn)生的散射線必須同相，即其程差應(yīng)為原X射線波長(zhǎng)的整數(shù)倍。勞厄方程的推導(dǎo)勞厄方程的推導(dǎo)如圖AS、BT為A、B兩個(gè)原子為中心所產(chǎn)生的衍射方向，在S、T處為同相，AS、BT與點(diǎn)陣軸呈角，這時(shí)它們的程差應(yīng)滿足：=AD-BC=H式中H為整數(shù)（0，1，2），即衍射級(jí)數(shù) AD=acos，BC=acos0 =acos-acos0=a(cos-cos0)=H0(coscos)aH因此當(dāng)掠射角0一定時(shí)，在適合于下列條件的方向，都可以找到衍射線束：0coscosHa 衍射線的軌跡系在一個(gè)以點(diǎn)陣軸為軸，以角為半圓錐角的圓錐面上。同樣，滿足此式的入射X射線可以由任何方

6、向與點(diǎn)陣相遇，只要其夾角等于0可，這時(shí)入射線的軌跡是在以點(diǎn)陣軸為軸，取0為半圓錐角的圓錐面上，而0級(jí)衍射線系在一個(gè)共頂相對(duì)的同樣圓錐面上。適合上式條件的其他衍射線軌跡圓錐面都和入射線軌跡圓錐共軸線及頂點(diǎn)，但以符合上式要求的一系列不同作為其半圓錐角。 當(dāng)單色的X射線由與點(diǎn)陣軸(即衍射圓錐的軸)垂直的方向射入，照相底片放在原子列的后面和點(diǎn)陣軸平行時(shí)，由圖可取看出，其衍射花樣為一系列雙曲線(包括若干對(duì)雙曲線)，即一系列衍射線圓錐和底片所成的交線；如果照相底片和點(diǎn)陣軸垂直，則衍射花樣為一系列的同心圓。 式中的H必須為整數(shù)，否則將不會(huì)得到衍射線條(衍射線強(qiáng)度為0)，可以證明如下： 如果由相鄰兩個(gè)原子1、

7、2為中心所產(chǎn)生散射線的程差1-2，不是的整數(shù)倍，而是： a(cos-cos0)(H+)其中的值為10，那么由這些散射波所引的相差為： 1-22(H+）2H+2=2對(duì)于由1原子和3原子為中心所產(chǎn)生散射線的程差1-3為1-2的兩倍，其相應(yīng)的相差也是兩倍，即： 1-3=4依同理推衍， 1-n=2(n-1) 一般點(diǎn)陣中原子數(shù)目極多，團(tuán)此，縱然極小，但只要它不等于零，出圖可見(jiàn)看出，共振幅的合成矢量R的長(zhǎng)度與每一個(gè)單獨(dú)振幅矢量r的長(zhǎng)度仍在同一數(shù)量級(jí)，如果這個(gè)原子列上有一萬(wàn)個(gè)原子，而為零時(shí)，則R的長(zhǎng)度將為r長(zhǎng)度的一萬(wàn)倍，因此可以認(rèn)為只有當(dāng)H為整數(shù)時(shí)方能發(fā)生衍射。R=0r1r2r30 當(dāng)及0一定時(shí)，衍射線級(jí)數(shù)

8、有一定限制。因?yàn)閏os的絕對(duì)值不能大于1。H/a為最大的條件是cosa0-1（a0180）及cosa1（a0），這時(shí)H/a=2。如果/a2，則不可能有衍射線產(chǎn)生（除去H為0，aa0的情況，這時(shí)衍射線實(shí)際上是入射線的繼續(xù)）。倘使希望能發(fā)生衍射現(xiàn)象，則/a必須小于或等2 。下面舉一個(gè)例子看看，當(dāng)、a0及a為已知值時(shí)，究竟有多少級(jí)的衍射線條能夠發(fā)生。 如果入射的X射是單色的，其波長(zhǎng)為1.54（Cu-K輻射），原子列的點(diǎn)陣常數(shù)a=5，入射X射線與原子列的夾角為=90，則衍射線與原子列的夾角為：01.54coscos0.3085HHHa因?yàn)閨cos| 1，所以H可以等于0，1，2及3 當(dāng)H=1時(shí)，cos

9、=0.308，=72.06 當(dāng)H=-1時(shí)，cos= -0.308，=107.94 當(dāng)H=2時(shí)，cos=0.616，=51.98 當(dāng)H=-2時(shí)，cos= -0.616，=128.02當(dāng)H=3時(shí)，cos=0.921，=22.5 當(dāng)H=-3時(shí)，cos= -0.921，=157.07X射線受二維點(diǎn)陣（原子平面，原子網(wǎng)）衍射的條件射線受二維點(diǎn)陣（原子平面，原子網(wǎng)）衍射的條件 如圖所示，X及Y為二維點(diǎn)陣的兩個(gè)晶軸，兩者之間的夾角為，點(diǎn)陣常數(shù)為a及b。入射的X射線自任何方向射入，與此二維點(diǎn)陣相遇，與X軸成a0角，與Y軸成0角。依上節(jié)所述加以推衍，由于X及Y兩個(gè)原于列所發(fā)生的H級(jí)及K級(jí)衍射線的軌跡分別是兩個(gè)圓

10、錐面，它們和X及Y軸分別成a及角，當(dāng)a+Y時(shí)，這兩個(gè)圓錐面相交于兩個(gè)直線方向（衍射方向）。此時(shí)可以用下式表示二維點(diǎn)陣的衍射條件：00(coscos)(coscos)aHbK00coscoscoscosHaKb 上述兩個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，整個(gè)二維點(diǎn)陣的散射是同相的，衍射線沿兩個(gè)圓錐的公交線方向進(jìn)行。H、K稱為衍射線束的指數(shù)。 如果二維點(diǎn)陣的X、Y兩個(gè)軸相互垂直，單色的X射線沿垂直于此點(diǎn)陣平面的方向射入，照像底片放在點(diǎn)陣后方與點(diǎn)陣平面平行，則所得的衍射花樣是一組有規(guī)律排列的斑點(diǎn)，它們位于兩組雙曲線的交點(diǎn)位置上。X射線受三維點(diǎn)陣（晶體點(diǎn)陣）衍射的條件射線受三維點(diǎn)陣（晶體點(diǎn)陣）衍射的條件勞厄方程式勞厄方

11、程式 X、Y、Z分別為三維晶體點(diǎn)陣的三個(gè)晶軸，a、b、c為其點(diǎn)陣常數(shù)，應(yīng)用上兩節(jié)所述方法可以推導(dǎo)出X射線受到這種三維點(diǎn)陣衍射的條件是：000(coscos)(coscos)(coscos)aHbKcL 上式的三個(gè)方程式統(tǒng)稱為X射線衍射的勞厄方程式，在實(shí)際的晶體點(diǎn)陣中如果有衍射現(xiàn)象發(fā)生，則上列三個(gè)方程式必須同時(shí)得到滿足，即三個(gè)衍射線圓錐面須同時(shí)交于一條直線，這個(gè)直線的方向即為衍射線束方向。000c o sc o sc o sc o sc o sc o sHaKbLc 這三個(gè)方程統(tǒng)稱為勞厄方程。在實(shí)際的晶體點(diǎn)陣中如果有衍射現(xiàn)象發(fā)生，則上述三個(gè)方程式必須同時(shí)得到滿足。即三個(gè)衍射線束圓錐面須相交于同一

12、條直線，這個(gè)直線的方向就是衍射線束的方向。 值得注意的差異是：在一維和二維點(diǎn)陣的衍射，用單色光照射，衍射花樣就全部呈現(xiàn)出來(lái)但三維點(diǎn)陣（即晶體）的情況就有所不同。 在一般的情況下，如果一定(單色X射線)和三個(gè)0、0、0角固定（晶體位置固定），上列三個(gè)方程式不能同時(shí)滿足，因此不會(huì)發(fā)生衍射現(xiàn)象(除去H、K、L都等于0的特殊情況）；但是假如改變?nèi)肷渚€和晶軸間的角度，或者改變波長(zhǎng)，則有可能使勞厄方程的三個(gè)方程式同時(shí)得到滿足，三個(gè)圓錐面交于同一條直線，即如上圖中第三組軌跡（相當(dāng)于L0，1，2，3，的同心園)和另外兩組圓錐軌跡（兩組雙曲線）的交點(diǎn)相交，衍射線即依這些交點(diǎn)方向進(jìn)行，在照像底片上得到一系列的衍射

13、斑點(diǎn)（三維衍射花樣）。上圖的實(shí)驗(yàn)條件是三個(gè)晶軸相互正交，X射線入射方向和其中一個(gè)晶軸方向一致，底片與入射線方向垂直。 如果三個(gè)晶軸相互正交，則勞厄方程中cos0、cos0、cos0為入射線束的方向余弦，而cos、cos、cos為衍射線束的方向余弦，用2代表入射X射線延長(zhǎng)方向和衍射長(zhǎng)線方向間的夾角（衍射角，這個(gè)角度在實(shí)驗(yàn)中很容易測(cè)出），則 cos2cos0cos+cos0cos+cos0cos如果這個(gè)點(diǎn)陣是一個(gè)簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣，其點(diǎn)陣常數(shù)a=b=c，將勞厄方程式的三個(gè)方程平方后相加，得到 a2(cos2-2cos0cos+cos02+cos2-2cos0cos+cos02+cos2-2cos0cos

14、+cos02)=2（H2+K2+L2)由于 cos2+cos2cos2=1 cos02+cos02+cos02=1 a2(2-2cos2）=2（H2+K2+L2)以因?yàn)?1-cos2= sin2所以 4a2sin22=2（H2+K2+L2)2222s inanhkl 如果H、K、L中有公約數(shù)n（n為整數(shù)），則H=nh、K=nk、L=nl 此式給出了X射線波長(zhǎng)與晶體點(diǎn)陣常數(shù)a、半衍射角及整數(shù)h、k、l、n間的關(guān)系2222s inaHKL 工科普通物理教材只討論平面透射光柵的衍射，不涉及三維光柵的問(wèn)題，隨后便討論晶體的X射線衍射，因而有些學(xué)生容易把晶體的原子點(diǎn)陣與平面透射光柵作機(jī)城的類比，錯(cuò)誤地認(rèn)

15、為晶體的原子點(diǎn)陣相當(dāng)于透射光柵的不透光部份，而原子點(diǎn)陣間的空間部份相當(dāng)于透射光柵的透光部份；加之學(xué)生未能掌握散射、于涉、衍射、反射這幾個(gè)概念的物理實(shí)質(zhì)，對(duì)晶體的X射線衍射便覺(jué)得模糊不清、似橫非懂。為此，我們采用一種從平面透射光柵過(guò)渡到晶體的X射線衍射的教學(xué)方法 衍射光柵的含義比較廣，任何具有空間周期性的衍射物都可以視為衍射光柵。在一塊透明的屏板上刻上大量平行、等寬、等間距的刻痕，就得到通常所討論的平面透射光柵（a）。按照惠更斯原理，每條狹縫上的每一點(diǎn)部是一個(gè)子波源，它們以不同的衍射角發(fā)出子波，產(chǎn)生衍射。如果我們把每一條狹縫變成一組等距離分布的極小的圓孔（圖b），這些小圓孔當(dāng)然也是子波源，發(fā)射子

16、波，產(chǎn)生衍射。如果我們?cè)儆靡唤M等距分布的小球代替小孔圓（c），而且這些小球能以不同的角度散射入射波，則這些小球也就是子波源，其散射波就是子波，結(jié)果也產(chǎn)生衍射。當(dāng)X射線通過(guò)晶體時(shí)，將使晶體原子內(nèi)的電子產(chǎn)生受迫振動(dòng)，向各方向發(fā)射與入射X射線同頻率的相干散射波（不際考慮康普頓效應(yīng)），可見(jiàn)圖c中的小圓球組成的平面，與晶體中的一個(gè)原子平面（圖d）在衍射方面，產(chǎn)生相同的效果。此外，晶體是由許多原子在三維空間作有規(guī)則排列而構(gòu)成的，晶體也可視為由許多圖d所示的原子面有規(guī)則排列而成；而且當(dāng)X射線照射在晶體面上時(shí)，與可見(jiàn)光有所不同，可見(jiàn)光只在物體表面上散射，而X射線除了表面散射外，還可以深入到物體內(nèi)部，在三維的晶

17、體點(diǎn)陣上散射，因此晶體點(diǎn)陣構(gòu)成了一個(gè)三維光柵 從上述討論可知，X射線在晶體中產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象，實(shí)際上是由于X射線被晶體中各原子散射，產(chǎn)生與原X射線同頻率的相干散射波干涉加強(qiáng)而得到的結(jié)果。散射波源（原子）相當(dāng)于子波源，散射波相當(dāng)于子波由于晶體中有極大數(shù)目的原子，因此勞厄?qū)嶒?yàn)中的斑點(diǎn)可視為無(wú)窮多個(gè)子波相干疊加的結(jié)果。這種由無(wú)窮多子波參與的疊加，就是衍射。討論晶體X射線衍射時(shí)，有時(shí)又應(yīng)用干涉這個(gè)概念，其道理就在于此。另外，在用布喇格方法研究散射波疊加時(shí)，可以證明，只有在按照通常的反射定律的方向上散射波疊加后的強(qiáng)度最大，而在其它方向上疊加的結(jié)果，強(qiáng)度很弱。也就是說(shuō)，對(duì)一個(gè)原子平面來(lái)說(shuō)，好象一個(gè)平面鏡。本

18、來(lái)反射和衍射是兩個(gè)不同的物理概念，鑒于此，一個(gè)原子平面的衍射條件可形象地表述為晶面的反射條件。這就是討論晶體的X射線衍射時(shí)有時(shí)又應(yīng)用反射這個(gè)概念的道理。 勞厄等的重大發(fā)現(xiàn)傳到英國(guó)后，引起了布拉格父子（Bragg W.H.與Bragg W.L.）的關(guān)注，重點(diǎn)放在利用X射線衍射來(lái)研究晶體中的原子排列，從而開辟了晶體結(jié)構(gòu)分析這一重要領(lǐng)域。當(dāng)時(shí)小布拉格還在劍橋大學(xué)就讀，他將X射線通過(guò)晶體的衍射視為原子格面的選擇反射，若原子格面的面間距離為d，則可以根據(jù)相位關(guān)系推導(dǎo)出布拉格方程： 這是勞厄方程組的另一種直觀物理解釋，將衍射斑點(diǎn)和晶體中間距為d的格面族聯(lián)系在一起n1，2，分別對(duì)應(yīng)不同級(jí)的衍射如果引入虛擬間

19、距dhkldn的格面族，就可以將n級(jí)(h, k,l)衍射為(nh, nk, nl)格面族的衍射這樣就引入波矢空間的倒晶格的概念2 sindn布拉格方程的推導(dǎo)（布拉格方程的推導(dǎo)（Braggs law） 如圖，畫出了垂直于紙面的一列晶面，其指數(shù)為（h, k, l），相鄰兩個(gè)晶面的間距為dhkl（簡(jiǎn)寫為d）。 當(dāng)波長(zhǎng)為的入射X射線與這些晶面相遇時(shí)，入射X射線束的波前在P、Q、R時(shí)位相相同，它們分別被晶面1上的A、B、C（原子）所散射。可以證明，當(dāng)反射線方向滿足“光學(xué)鏡面反射條件”時(shí)，各原子的散射線位相同，因?yàn)榇藭r(shí)任意兩個(gè)相鄰原子（如A和B）的光程差為零（=0）=PAP-QBQ=ABcos-ABcos

20、=0 所以，當(dāng)入射線束受到單層原子平面“反射”時(shí)，可以認(rèn)為在任何投射角的情況下都可以得到這種“反射”。但在包含無(wú)限多晶面的晶體中就不能這樣認(rèn)為，如圖所示入射的X射線PA受到晶面l的原于A散射，另一條平行的入射線QA受到晶面2的原子A散射，如果散射線AP、AQ在P、Q處為同位相，則PAP和QAQ間的光程差應(yīng)為X射線波長(zhǎng)的整數(shù)倍，否則它們將互相干涉抵消而不發(fā)生衍射，即QAQ-PAP=SA-AT=n其中， n為干涉級(jí)數(shù)，必為整數(shù)，即n=0、1、2。因SA=AT=dsin，故有：2dsin=n 入射面入射面相長(zhǎng)干涉相長(zhǎng)干涉2dsin=n 即為布拉格方程，或稱布拉格定律。其中，稱為布拉格角，或掠射角或半

21、衍射角。由于這個(gè)方程是十分形象地按照“鏡面反射”的方式導(dǎo)出的，它表明了x射線在晶體中產(chǎn)生衍射的必要條件，所得的結(jié)果又十分簡(jiǎn)潔地表明了晶面間距（d）、波長(zhǎng)（）和半衍射角（）之間的關(guān)系，所以易為大家接受而被廣泛地應(yīng)用在X射線衍射分析中。應(yīng)當(dāng)指出，布拉格定律必須滿足下列前提才成立： （1）入射線、反射線和反射晶面的法線須在同一平面上。 （2）由于sin1，所以n/2d1。當(dāng)n=1時(shí)，波長(zhǎng)與晶面間距d必須滿足關(guān)系式2d，同時(shí)也表明波長(zhǎng)與晶面間距須具有同一數(shù)量級(jí)。布拉格方程的討論選擇反射 X射線在晶體中的衍射實(shí)質(zhì)上是晶體中各原子散射波之間的干涉結(jié)果。只是由于衍射 線的方間恰好相當(dāng)于原子面對(duì)入射線的反射，

22、所以才借用鏡面反射規(guī)律來(lái)描述X射線的衍 射幾何。這樣從形式上的理解并不歪曲衍射方間的確定，同時(shí)卻給應(yīng)用上帶來(lái)很大的方 便。但是X射線的原子面反射和可見(jiàn)光的鏡面反射不同。一束可見(jiàn)光以任意角度投射到鏡 面上都可以產(chǎn)生反射，而原子面對(duì)X射線的反射并不是任意的，只有當(dāng)、和d三者之間滿足布拉格方程時(shí)才能發(fā)生反射。所以把X射線的這種反射稱為選擇反射。在以后的學(xué) 習(xí)中，我們經(jīng)常要用“反射”這個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)描述一些衍射問(wèn)題。有時(shí)也把“衍射”和“反射” 作為同義語(yǔ)混合使用。但其實(shí)質(zhì)都是說(shuō)明衍射問(wèn)題。布拉格方程的討論產(chǎn)生衍射的極限條件 晶體中產(chǎn)生衍射的波長(zhǎng)是有限度的。在電磁波的寬闊波長(zhǎng)范圍里，只有在X射線波 長(zhǎng)范圍內(nèi)的

23、電磁波才適合探測(cè)晶體結(jié)構(gòu).這個(gè)結(jié)論可以從布拉格方程中得出。 由于sin不能大于1，因此，n/2dsin1，即n/2d，對(duì)衍射而言，n的最小值為1 (n0相當(dāng)于透射方向上的衍射線束，無(wú)法觀測(cè))，所以在任何可觀測(cè)的衍射角下，產(chǎn)生衍射的條件為：2d。這也就是說(shuō)，能夠被晶體衍射的電磁波的波長(zhǎng)必須小于參加反射的晶面中最大面間距的二倍，否則不會(huì)產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。但是波長(zhǎng)過(guò)短導(dǎo)致衍射角過(guò)小，使衍射現(xiàn)象難以觀測(cè)，也不宜使用。因此，常用于X射線衍射的波長(zhǎng)范圍為：2.5-0.5。當(dāng)X射線波長(zhǎng)一定時(shí)，晶體中有可能參加反射的晶面族也是有限的，它們必須滿足d/2，即只有那些晶面間距大于入射X射線波長(zhǎng)一半的晶面才能發(fā)生衍射。

24、我們可以利用這個(gè)關(guān)系來(lái) 判斷定條件下所能出現(xiàn)的衍射數(shù)目的多少。 布拉格方程的討論-干涉面和干涉指數(shù) n為衍射級(jí)數(shù)。對(duì)于任一組晶面（hkl），可能有的半衍射角的數(shù)目等于衍射級(jí)數(shù)n。為了應(yīng)用上的方便，經(jīng)常把布拉格方程中的n隱函在d中得到簡(jiǎn)化的布拉格方程。為此，需要引入干涉面和干涉指數(shù)的概念。布拉格方程可以改寫為（2dhklsin）/n，令dHKL=dhkl/n則 2dHKLsin 這樣，就把n隱函在dHKL之中，布拉格方程變成為永遠(yuǎn)是一級(jí)反射的形式。這也就是說(shuō)，我們把(hkl)晶面的n級(jí)反射看成為與(hkl)晶面平行、面間距為dHKLdhkl/n的晶面的一級(jí)反射。例如，（100）晶面的2級(jí)反射可以

25、看作（200）晶面的1級(jí)反射。面間距為dHKL的晶面并不一定是晶體中的原子面，而是為了簡(jiǎn)化布拉格方程而引入的反射面，我們把這樣的反射面稱為干涉面干涉面。把干涉面的面指數(shù)稱為干涉指數(shù)干涉指數(shù)，通常用HKL來(lái)表示。根據(jù)晶面指數(shù)的定義可以得出干涉指數(shù)與晶面指數(shù)之間的關(guān)系為：Hnh，Knk，L=nl。干涉指數(shù)與晶面指數(shù)之間的明顯差別干涉指數(shù)與晶面指數(shù)之間的明顯差別是干涉指數(shù)中有公約數(shù)，而晶面指數(shù)只能是互質(zhì)的整數(shù)。當(dāng)干涉指數(shù)也互為質(zhì)數(shù)是干涉指數(shù)中有公約數(shù)，而晶面指數(shù)只能是互質(zhì)的整數(shù)。當(dāng)干涉指數(shù)也互為質(zhì)數(shù)時(shí)，它就代表一族真實(shí)的晶面。時(shí)，它就代表一族真實(shí)的晶面。所以說(shuō)，干涉指數(shù)是晶面指數(shù)的推廣，是廣義的晶面

26、指數(shù)。 布拉格方程的討論-衍射花樣和晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系 從布拉格方程可以看比，在波長(zhǎng)定的情況下，衍射線的方向是晶體面間距d的函數(shù)。如果將各晶系的d值代入布拉格方程，則得：222222222222222222222222()4()4()44()43HKLaHKLacHKLabcHHKKLac2222立方晶系: sin正方晶系: sin斜方晶系: sin六方晶系: sin其余晶系從略。 從這些關(guān)系式可明顯地看出，不同晶系的晶體，或者同一晶系而晶胞大小不同的晶體，其衍射花樣是不相同的。由此可見(jiàn)，布拉格方程可以反映出晶體結(jié)構(gòu)中晶胞大小及形狀的變化。 但是，布拉格方程并未反映出晶胞中原子的品種和位置。譬如，

27、用一定波長(zhǎng)的X射線照射圖如所示的具有相同點(diǎn)陣常數(shù)的三種晶胞，簡(jiǎn)單晶胞(a)和體心晶胞(b)衍射花樣的區(qū)別，從布拉格方程中得不到反映；由單一種類原子構(gòu)成的體心晶胞(b)和由A、B兩種原子構(gòu)成的體心晶胞(c)衍射花樣的區(qū)別，從布拉格方徑中也得不到反映，因?yàn)樵诓祭穹匠讨胁话臃N類和坐標(biāo)的參量。由此看來(lái)，在研究晶胞中原子的位置和種類的變化時(shí)，除布拉格方程外，還需要有其它的判斷依據(jù)。這種判據(jù)就是下一章要講的結(jié)構(gòu)因子和衍射線強(qiáng)度理論。 晶體對(duì)X射線的衍射與可見(jiàn)光的“鏡面反射”至少存在如下三個(gè)根本曲差別： （1）在X射線衍射現(xiàn)象中，僅在一定數(shù)目的投射角上產(chǎn)生衍射，而當(dāng)可見(jiàn)光反射時(shí)可以選擇任何投射角。

28、（2）當(dāng)X射線被晶體的原子平面“反射”時(shí)，不僅是晶體表面，而且晶體內(nèi)層原子平面也同時(shí)參與“反射作用?？梢?jiàn)光反射僅發(fā)生在表面。 （3）良好的平面鏡對(duì)于可見(jiàn)光的反射效率幾乎可這100%，而X射線衍射束的強(qiáng)度則遠(yuǎn)較入射光束微弱。 總之，衍射的本質(zhì)，是晶體中主大量原子的散射線之間的干涉現(xiàn)象。由于總之，衍射的本質(zhì)，是晶體中主大量原子的散射線之間的干涉現(xiàn)象。由于原子在三維置體空間中呈周期性分布，由它們輻射的相干散射必定相互干涉而原子在三維置體空間中呈周期性分布，由它們輻射的相干散射必定相互干涉而形成衍射光束?？梢?jiàn)，產(chǎn)生衍射的兩個(gè)基本條件是：一種能產(chǎn)生干涉的波動(dòng)形成衍射光束。可見(jiàn)，產(chǎn)生衍射的兩個(gè)基本條件是：

29、一種能產(chǎn)生干涉的波動(dòng)（相干射波）和一群周期性排列的散射中心（晶體中的原子）。（相干射波）和一群周期性排列的散射中心（晶體中的原子）。用倒易點(diǎn)陣方法推導(dǎo)衍射方程式用倒易點(diǎn)陣方法推導(dǎo)衍射方程式 勞厄方程和布拉格方程也可以用倒易點(diǎn)陣方法推出。 若一束波長(zhǎng)為A的單色X射線和一個(gè)簡(jiǎn)單晶胞相遇，a，b，c為此晶體沿三個(gè)晶軸方向上的單位矢量，也就是晶胞三個(gè)棱的矢量。在圖中： s0為平行于入射X射線束的單位矢量； s為平行于衍射X射線束的單位矢量； O為晶體點(diǎn)陣的原點(diǎn)； A為位于晶胞角頂上任意一個(gè)其它原子 。OApaqbrc 式中：p、q、r均為整數(shù)，經(jīng)O及A兩個(gè)原子散射的X射線的程差為， 00()OmAnO

30、A sOA sOAss 022()ssOA 相應(yīng)的相位差為：00():()*, ,*sssshakblch k lpaqbrchakblcpkqlr 設(shè)為此晶體倒易點(diǎn)陣中的任意矢量, 并令這里可以是任何數(shù)值 沒(méi)有特殊的物理意義 代入上式得到:=2 () () =2 (h)00,2,()., ,., ,*(),()(*nnh k lh k lhakblcsssshakblc 只有當(dāng)散射線互相加強(qiáng)時(shí)才有衍射發(fā)生 此時(shí)的整數(shù)倍或?yàn)檎麛?shù) 而這一條件以只有當(dāng)上式中均為整數(shù)才能滿足而當(dāng)均為整數(shù)時(shí),從倒易點(diǎn)陣原點(diǎn)引出的倒易矢量的端點(diǎn)正是此倒易點(diǎn)陣的一個(gè)結(jié)點(diǎn),也就是說(shuō)矢量的頭部必在倒易點(diǎn)陣的一個(gè)結(jié)點(diǎn)上因此可寫

31、為:)*, *hklrrP 式中為倒易點(diǎn)陣原點(diǎn)至倒易空間中點(diǎn)(hkl結(jié)點(diǎn))間的倒易矢量.000:),2sin2sin1*:2 sinssssPQssssrdd 布拉格定律和勞厄議程都可以由衍射矢量方程導(dǎo)出在X射線受原子O及A散射的示意圖中的衍射線束可以認(rèn)為是由入射線束經(jīng)PQ平面反射而得,PQ垂直于(和與成的夾角都等于 ,這時(shí):或上式就是布拉格定律當(dāng)n=1時(shí)的形式(因?yàn)榭紤]晶面指數(shù)可以有公約數(shù)),如220,222,633等,所以2)111222布拉格定律中n可以永遠(yuǎn)為1,這樣2d sin即相當(dāng)于2dsinPQAO) ) (晶面法線晶面法線 N 入射入射X射線射線 S0衍射衍射X射線射線 S反射晶

32、面反射晶面S - S0衍射矢量圖示衍射矢量圖示0000000,(*):()()()ssa b cssaah ak bl chssksslasshbsskcss 如 果 分 別 取和的 數(shù) 量 積 則 可 得 出 勞 厄 方 程 :同 樣 : b c或 者()l勞 厄 方 程 式 的 矢 量 式*lc*kb*ha*rss: 0方方程程倒倒易易點(diǎn)點(diǎn)陣陣中中的的衍衍射射矢矢量量衍射矢量三角形衍射矢量三角形 s 0s*rss 0A衍射矢量方程和厄瓦爾德圖解衍射矢量方程和厄瓦爾德圖解 衍射衍射X射線射線衍射衍射X射線射線衍射球衍射球O*ACB衍射衍射X射線射線 S 厄爾瓦德作圖法：設(shè)入射X射線的波長(zhǎng)為

33、，它照射到一個(gè)晶體上。O在晶體上選定一個(gè)原點(diǎn)O入射X射線通過(guò)O點(diǎn)后，與所繪的衍射球相交于O*點(diǎn)以O(shè)為球心，以1/為半徑作一個(gè)球面，此球稱為衍射球以O(shè)*點(diǎn)該晶體的倒易點(diǎn)陣的原點(diǎn)，作出此晶體的倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣中某些倒易點(diǎn)與衍射球面相交時(shí)，例如圖中的A、B、C等倒易點(diǎn)聯(lián)線OA、OB、OC等線，就是晶體中與A、B、C等倒易點(diǎn)同指數(shù)的晶面的衍射線方向凡是不與衍射球面相交的那些倒易點(diǎn)是不可能產(chǎn)生衍射1/S0Ewalds Sphere Construction in 2D Ewalds Sphere Construction in 3D The Laue Method 4 of 7The Laue meth

34、od is mainly used to determine the orientation of large single crystals. White radiation is reflected from, or transmitted through, a fixed crystal.The diffracted beams form arrays of spots, that lie on curves on the film. The Bragg angle is fixed for every set of planes in the crystal. Each set of

35、planes picks out and diffracts the particular wavelength from the white radiation that satisfies the Bragg law for the values of d and q involved. Each curve therefore corresponds to a different wavelength. The spots lying on any one curve are reflections from planes belonging to one zone. Laue refl

36、ections from planes of the same zone all lie on the surface of an imaginary cone whose axis is the zone axis.ExperimentalThere are two practical variants of the Laue method, the back-reflection and the transmission Laue method. You can study these below:Back-reflection LaueIn the back-reflection met

37、hod, the film is placed between the x-ray source and the crystal. The beams which are diffracted in a backward direction are recorded. One side of the cone of Laue reflections is defined by the transmitted beam. The film intersects the cone, with the diffraction spots generally lying on an hyperbola

38、.Transmission LaueIn the transmission Laue method, the film is placed behind the crystal to record beams which are transmitted through the crystal. One side of the cone of Laue reflections is defined by the transmitted beam. The film intersects the cone, with the diffraction spots generally lying on

39、 an ellipse.Crystal orientation is determined from the position of the spots. Each spot can be indexed, i.e. attributed to a particular plane, using special charts. The Greninger chart is used for back-reflection patterns and the Leonhardt chart for transmission patterns. The Laue technique can also

40、 be used to assess crystal perfection from the size and shape of the spots. If the crystal has been bent or twisted in anyway, the spots become distorted and smeared out. The Powder Method 5 of 7If a monochromatic x-ray beam is directed at a single crystal, then only one or two diffracted beams may

41、result. If the sample consists of some tens of randomly orientated single crystals, the diffracted beams are seen to lie on the surface of several cones. The cones may emerge in all directions, forwards and backwards. A sample of some hundreds of crystals (i.e. a powdered sample) show that the diffr

42、acted beams form continuous cones. A circle of film is used to record the diffraction pattern as shown. Each cone intersects the film giving diffraction lines. The lines are seen as arcs on the film.For every set of crystal planes, by chance, one or more crystals will be in the correct orientation to give the correct Bragg angle to satisfy Braggs equation. Every crystal plane is thus capable of diffraction. Each diffraction line is made up