第八章假設(shè)檢驗(3學(xué)分)

1、第八章第八章 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗8.18.1假設(shè)檢驗的基本概念和思想假設(shè)檢驗的基本概念和思想 8.2 8.2 單正態(tài)總體的假設(shè)檢驗單正態(tài)總體的假設(shè)檢驗8.3 8.3 雙正態(tài)總體均值差與方差雙正態(tài)總體均值差與方差比的比的 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗i i d1 XnXX ， ，8.1假設(shè)檢驗的基本概念和思想假設(shè)檢驗的基本概念和思想一、基本概念一、基本概念(一一) 兩類問題兩類問題1、參數(shù)假設(shè)檢驗、參數(shù)假設(shè)檢驗 總體分布已知總體分布已知, 參參數(shù)未知數(shù)未知, 由樣本觀察值由樣本觀察值x1, , xn檢驗假設(shè)檢驗假設(shè) H0： = 0；H1： 0 （雙邊假設(shè)檢驗）（雙邊假設(shè)檢驗）2、非參數(shù)假設(shè)檢驗、非參數(shù)假設(shè)檢驗

2、 總體分布未知總體分布未知, 由觀察值由觀察值x1, , xn檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0：F(x)=F0(x; ); H1： F(x)F0(x; ) i i d1 X;nXf x ， ， 以樣本以樣本(X1, , Xn)出發(fā)制定一個法則出發(fā)制定一個法則, 一旦觀測一旦觀測值值(x1, , xn)確定后確定后, 我們由這個法則就可作出判斷我們由這個法則就可作出判斷是拒絕是拒絕H0還是接受還是接受H0, 這種法則稱為這種法則稱為H0對對H1的一個的一個檢驗法則檢驗法則, 簡稱檢驗法。簡稱檢驗法。 樣本觀察值的全體組成樣本空間樣本觀察值的全體組成樣本空間S, 把把S分成兩分成兩個互不相交的子集個互不相交的

3、子集W和和W*, 即即S=WW*, WW*= 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)(x1, , xn) W時時, 我們就拒絕我們就拒絕H0；當(dāng)當(dāng)(x1, , xn) W*時時, 我們就接受我們就接受H0。子集。子集W S就稱就稱為檢驗的拒絕域為檢驗的拒絕域(或臨界域或臨界域 ) 。(二二) 檢驗法則與拒絕域檢驗法則與拒絕域 稱稱 H0真而被拒絕的錯誤為第一類錯誤或棄真錯誤；真而被拒絕的錯誤為第一類錯誤或棄真錯誤；稱稱 H0假而被接受的錯誤為第二類錯誤或取偽錯誤。假而被接受的錯誤為第二類錯誤或取偽錯誤。記記 p(I) =P拒絕拒絕H0| H0真真; P(II) =P 接受接受H0| H0假假對于給定的一對對于給定的一對

4、H0和和H1, 總可找出許多拒絕域總可找出許多拒絕域, 人們自然希望找到這種拒絕域人們自然希望找到這種拒絕域W, 使得犯兩類錯誤的概使得犯兩類錯誤的概率都很小。但在樣本容量一定時，不能同時保證犯兩類率都很小。但在樣本容量一定時，不能同時保證犯兩類錯誤的概率都最小。于是奈曼錯誤的概率都最小。于是奈曼皮爾遜提出了這樣的一皮爾遜提出了這樣的一個個 原則：原則：“在控制犯第一類錯誤的概率不超過指定值在控制犯第一類錯誤的概率不超過指定值 的條件下，使的條件下，使犯第二類錯誤的概率犯第二類錯誤的概率 盡量小盡量小”按這種法按這種法則做出的檢驗稱為則做出的檢驗稱為“顯著性檢驗顯著性檢驗”, 稱為顯著性水平或

5、稱為顯著性水平或檢驗水平。檢驗水平。(三三) 檢驗的兩類錯誤檢驗的兩類錯誤怎樣構(gòu)造的拒絕域方可滿足怎樣構(gòu)造的拒絕域方可滿足上述法則？上述法則？如如:對總體對總體XN( , 1), 要檢驗要檢驗H0： =0；H1： =1拒絕域可取拒絕域可取kX ? k根據(jù)奈曼根據(jù)奈曼皮爾遜皮爾遜 原則：應(yīng)選取原則：應(yīng)選取k使使“犯第一犯第一類錯誤的概率不超過指定值類錯誤的概率不超過指定值 的條件下的條件下, 使犯第使犯第二類錯誤二類錯誤概率概率盡量小盡量小”這里這里0|)( kXPIP)1, 0(0nNX時時 )(1kn 1kZn而而1|)( kXPIIP)1( kn)1, 1(1nNX時時 P(II)P(II

6、)關(guān)于關(guān)于k k單增單增. .所以為使所以為使P(II)P(II)小小,k ,k要盡可能小要盡可能小. .對比對比1kZn )(1)(knIP說明說明k k最小只能取到最小只能取到 , ,得水平為得水平為 的拒絕域為的拒絕域為1Zn1XZn可見可見,使使P(I) 又使又使P(II)盡可能小的盡可能小的k值恰好值恰好P(I) = .一般地一般地, ,符合符合奈曼奈曼皮爾遜皮爾遜 原則的拒絕域滿足原則的拒絕域滿足P(I)= P(I)= . .二、顯著性檢驗的思想和步驟二、顯著性檢驗的思想和步驟(1)根據(jù)實際問題作出假設(shè)根據(jù)實際問題作出假設(shè)H0與與H1；(2)構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量, 在在H0

7、真時其分布已知；真時其分布已知；(3)給定顯著性水平給定顯著性水平 的值的值, 參考參考H1, 令令 P拒絕拒絕H0| H0真真= , 求出拒絕域求出拒絕域W；(4) 計算檢驗統(tǒng)計值計算檢驗統(tǒng)計值, 若檢驗統(tǒng)計值若檢驗統(tǒng)計值 W, 則拒絕則拒絕H0, 否則接受否則接受H08.2 單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗一、單個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗一、單個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗2110010 (), iidnnXXNxxHH設(shè)， ，給定檢驗水平 ，由觀察值， ，檢驗假設(shè)：；：。1、 2已知的情形-Z檢驗00 Z0 1HXX N( , )nn構(gòu)造構(gòu)造查表查表, 計算計算, 比較大小比較大小,

8、 得出結(jié)論得出結(jié)論22 PZZ)WZZ由可得拒域： 例例1 1：設(shè)某廠生產(chǎn)一種燈管：設(shè)某廠生產(chǎn)一種燈管, , 其壽命其壽命X XN(N( , 200, 2002 2), ), 由以由以往經(jīng)驗知平均壽命往經(jīng)驗知平均壽命 =1500=1500小時小時, , 現(xiàn)采用新工藝后現(xiàn)采用新工藝后, , 在所生在所生產(chǎn)的燈管中抽取產(chǎn)的燈管中抽取2525只只, , 測得平均壽命測得平均壽命16751675小時小時, , 問采用新問采用新工藝后工藝后, , 燈管壽命是否有顯著改變。燈管壽命是否有顯著改變。( ( =0.05)=0.05)解解:0100:1500:HH檢驗統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量為0XZn拒絕域為拒絕域為

9、 2WZZ01675 15004 37520025xz.n0.0251.96.z因為因為z4 3751 96.拒絕拒絕H0，即燈管壽命有顯著改變即燈管壽命有顯著改變這是單個正態(tài)總體在方差已知的情況下檢驗均值這是單個正態(tài)總體在方差已知的情況下檢驗均值例例2 2 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布態(tài)分布N(4.55,0.11N(4.55,0.112 2). ).某日測得某日測得5 5爐鐵水含碳量如下爐鐵水含碳量如下: 4.28, : 4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. 如

10、果標(biāo)準(zhǔn)差不變?nèi)绻麡?biāo)準(zhǔn)差不變, ,該日鐵水的平均該日鐵水的平均含碳量是否顯著變化含碳量是否顯著變化? (? (取取 =0.05) )解解:0100:55.4:HH檢驗統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量為0XZn拒絕域為拒絕域為 2W|Z| z計算得計算得364. 4x04 3644 553 780 115x.z.n. 0.0251.96.z因為因為3 781 96z.拒絕拒絕H H0 0，即該日鐵水的平均含碳量顯著變化即該日鐵水的平均含碳量顯著變化這是單個正態(tài)總體在方差已知的情況下檢驗均值這是單個正態(tài)總體在方差已知的情況下檢驗均值2、 2未知的情形雙邊檢驗雙邊檢驗:對于假設(shè)對于假設(shè)H0： = 0；H1：000:

11、t (1)XHt nSn為真時由P|t| t /2(n 1) = , 22得水平為得水平為 的拒絕域為的拒絕域為|t| t /2(n 1)解解:0100:6.112:HH檢驗統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量為0XtSn拒絕域拒絕域 21W|t | tn計算得計算得135. 18 .112sx466. 07135. 16 .1128 .1120nsxt 0.02562.4469t因為因為4469. 2466. 0t接受接受H0，熱敏電阻測溫儀間接測溫?zé)o系統(tǒng)偏差熱敏電阻測溫儀間接測溫?zé)o系統(tǒng)偏差例例3 3 用熱敏電阻測溫儀間接溫量地?zé)峥碧骄诇囟扔脽崦綦娮铚y溫儀間接溫量地?zé)峥碧骄诇囟萖, ,重復(fù)測量重復(fù)測量7

12、7次，測得溫度次，測得溫度(): 112.0 113.4 111.2 (): 112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6 112.0 114.5 112.9 113.6 而用某種精確辦法測而用某種精確辦法測得溫度為得溫度為112.6(112.6(可看作真值可看作真值),),試問用熱敏電阻測溫儀試問用熱敏電阻測溫儀間接測溫有無系統(tǒng)偏差間接測溫有無系統(tǒng)偏差(設(shè)設(shè)X X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布,取取=0.05 )?這是單個正態(tài)總體在方差未知的情況下檢驗均值這是單個正態(tài)總體在方差未知的情況下檢驗均值解解:0100:10620:HH檢驗統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量為nSXT

13、0拒絕域拒絕域1|2nTtW計算得計算得814 .10631sx45. 01081106204 .106310nsxt 0.02592.2622t因為因為2622. 245. 0t接受接受H0，新生產(chǎn)與過去生產(chǎn)的抗拉強度無明顯不同新生產(chǎn)與過去生產(chǎn)的抗拉強度無明顯不同例例4 4 某廠生產(chǎn)鎳合金線，其抗拉強度的均值為某廠生產(chǎn)鎳合金線，其抗拉強度的均值為10620 (kg/mm10620 (kg/mm2 2) )今改進工藝后生產(chǎn)一批鎳合金線，抽取今改進工藝后生產(chǎn)一批鎳合金線，抽取1010根根, ,測得抗拉強度測得抗拉強度(kg/mm2)(kg/mm2)為為: 10512, 10623, 10668,

14、 10554, 10776, : 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 認為抗拉強度認為抗拉強度服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布, ,取取 =0.05=0.05 , ,問新生產(chǎn)的鎳合金線的抗拉強度是問新生產(chǎn)的鎳合金線的抗拉強度是否與過去生產(chǎn)的否與過去生產(chǎn)的鎳鎳合金線抗拉強度有明顯不同合金線抗拉強度有明顯不同? ?這是單個正態(tài)總體在方差未知的情況下檢驗均值這是單個正態(tài)總體在方差未知的情況下檢驗均值二、單個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗二、單個

15、正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗20212020 ：；：HH21222210010() iidnnXXNxxHH設(shè)， ，給定檢驗水平 ，由觀察值， ， 檢驗假設(shè)：；：。雙邊檢驗雙邊檢驗: 對于假設(shè)對于假設(shè)02222011Hn-S n-為真時22 221 222212211Pn -n -由或) 1() 1(22/222/12nn或得水平為得水平為 的拒絕域為的拒絕域為解解:20212020:80:HH檢驗統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量為20221Sn拒絕域拒絕域112222212nnW或計算得計算得8 .1212s7 .13808 .12192 7 . 29023.1992975. 02025. 0因為因為023.1

16、97 . 22接受接受H0，認為整批保險絲的熔化時間的方差等于認為整批保險絲的熔化時間的方差等于8080例例5 電工器材廠生產(chǎn)一批保險絲，取電工器材廠生產(chǎn)一批保險絲，取1010根測得其熔根測得其熔化時間（化時間（minmin）為）為42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.54, 55, 71.問是否可以認為整批保險絲的熔化時問是否可以認為整批保險絲的熔化時間的方差等于間的方差等于80?(80?( =0.05=0.05 , , 熔化時間為正態(tài)變量熔化時間為正態(tài)變量.).)這是單個正態(tài)總體檢驗方差這是單個

17、正態(tài)總體檢驗方差8.3 雙正態(tài)總體均值差與方差比的假設(shè)檢驗雙正態(tài)總體均值差與方差比的假設(shè)檢驗一、均值差的假設(shè)檢驗一、均值差的假設(shè)檢驗，設(shè))u(NYY);u(NXX222iidn1211iidn121 1211012112, HHnnxxyy兩樣本獨立，給定檢驗水平 ，由觀察值 ， ，；，檢驗假設(shè)：；：22221 假定假定)2(11,21210 nntnnSYXTHw下下)2( )2(212/212/nntTnntTP，即得拒絕域由例例6 6. 比較甲比較甲, ,乙兩種安眠藥的療效。將乙兩種安眠藥的療效。將2020名患者分成名患者分成兩組兩組, ,每組每組1010人人. .其中其中1010人服用

18、甲藥后延長睡眠的時數(shù)人服用甲藥后延長睡眠的時數(shù)分別為分別為1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4;4.6, 3.4;另另1010人服用乙藥后延長睡眠的時數(shù)分別為人服用乙藥后延長睡眠的時數(shù)分別為0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0.2.0.若服用兩種安眠藥后增加的睡眠時數(shù)服從方差相若服用兩種安

19、眠藥后增加的睡眠時數(shù)服從方差相同的正態(tài)分布同的正態(tài)分布. .試問兩種安眠藥的療效有無顯著性差試問兩種安眠藥的療效有無顯著性差異異?(?( =0.10)=0.10)解：解：211210:;:HH檢驗統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量為12T11wXYSnn拒絕域為拒絕域為212T2Wt(nn)這是兩個正態(tài)總體檢驗均值差這是兩個正態(tài)總體檢驗均值差這里這里:002. 2,33. 21 sx789. 1,75. 02 sy898. 118992221sssw86. 1101101wsyxt0.05181.7341t因為因為7341. 186. 1t拒絕拒絕H0，認為兩種安眠藥的療效有顯著性差異認為兩種安眠藥的療效有顯

20、著性差異二、方差比的假設(shè)檢驗二、方差比的假設(shè)檢驗1222111122(,); (,)iidiidnnXXNYYN 設(shè)， ， ，222112221011H H 21 ：；：檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)，；，nnyyxx兩樣本獨立兩樣本獨立, 給定檢驗水平給定檢驗水平 , 由觀察值由觀察值)11(,2122210 nnFSSFH，真真時時由由 pF F1/2(n1 1, n2 1) 或或 F F /2(n1 1, n2 1) = F1/2F /2得拒絕域得拒絕域F F1/2(n1 1, n2 1) 或或 F F /2(n1 1, n2 1)例例7 7. .有甲乙兩種機床有甲乙兩種機床, ,加工同樣產(chǎn)品加工同樣產(chǎn)品, ,從這兩臺機床加工的產(chǎn)品中從這兩臺機床加工的產(chǎn)品中 隨隨 機機 地地 抽抽 取取 若若 干干 產(chǎn)品產(chǎn)品, ,測得產(chǎn)