1,函數(shù)的概念與性質(zhì)

1、函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)考綱專題解讀考點(diǎn)分布11考點(diǎn).分領(lǐng)1書二=*若不.: >1.函數(shù)及其表不* *1 .了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單 函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概 念.2 .在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)/、同的需要選 擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、 解析法）表示函數(shù).3 .了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.4 .理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值 及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解 函數(shù)奇偶性的含義.5 .會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的 性質(zhì).選擇題：2015課標(biāo)n, 5填空題：2017課標(biāo)田，152.函數(shù)的單調(diào)性與最值選擇題：2017天津，6填空題：2014課標(biāo)n, 153.函數(shù)的奇

2、偶性與周期性選擇題：2017課標(biāo)I , 5填空題：2015課標(biāo)I , 13函數(shù)及其性質(zhì)第一步試真題1. (2017山東，1)設(shè)函數(shù)y=4 x2的定義域?yàn)锳,函數(shù)y= ln(1 x)的定義域?yàn)锽,則 AAB=( D )A. (1, 2)B. (1, 2 C. (2, 1)D. 2, 1)【解析】由 4-x2>0 得一2&x&2,由 1x>0 得 x<1,故 AAB=x| 2<x<2 nxk<1=x| 2&x<1,故選 D.2. (2014 江西，3)已知函數(shù) f(x)=5|x|, g(x)=ax2 x(aC R).若 f(g(1)

3、 = 1,則 a二(A )1 . 1B, 2C, 3D. 1【解析】由已知條件可知f(g(1) = f(a1) = 5歸一1|=1,，|a 1|= 0,得a=1.故選A.13. (2014山東，3)f(x)= 下 2 "的定義域?yàn)?V (log2x) -11A. (0,-)B.(2, i)11_C. (0/ U (2,哂 D.(0，W U2, +oo)【解析】要使函數(shù)有意義，必須2(lOg2X) - 1>0, <,x>0.(*由(*)得(log2x)2>1 ,即 log2X>1 或 log2X< 1,解得 x>2 或 0<x<2.

4、4. (2014 浙江，6)已知函數(shù) f(x) = x3+ax2+bx+ c,且 0vf(1) = f(2) = f( 3)03,則(C )A. c<3B. 3<c<6 C. 6<c<9 D. c>9【解析】由f(1) = f( 2) = f(3),得1 + ab+c= -8 + 4a- 2b+c,1 + ab+c= -27+9a-3b+c,解得a = 6,Lb=11, . f(x) = x3 + 6。+ 11x+ c.由 0vf(1)&3,彳# 0<-1 + 6- 11 + c<3,即 6<c09,故選 C.第2步抓重點(diǎn)2 .函數(shù)

5、的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.3 .函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法.4 .對函數(shù)定義域的基本要求(1)開偶次方時(shí)要求被開方數(shù)非負(fù)；(2)分式分母不為零；(3)零次幕的底數(shù)不為零；(4)對數(shù)的真數(shù)大于零；(5)指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于 1;(6)實(shí)際問題需考慮使題目自身有意義.5 .求函數(shù)解析式的四種常用方法(1)配湊法；(2)待定系數(shù)法；(3)換元法；(4)解方程組法.6 .分段函數(shù)(1)分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域 的并集.第3步提能力考向1 求函數(shù)的定義域求函數(shù)定

6、義域是高考的一個(gè)高頻考向，主要有兩種類型，一種是具體函數(shù)求定義 域，即結(jié)合分式、根式及對數(shù)式等考查自變量的取值； 另一種是抽象函數(shù)定義域 的求解，高考中常以選擇題形式出現(xiàn)，難度較低，分值 5分.例i(i)(20i8吉林長春質(zhì)檢，3)函數(shù)y=，Jq+：的定義域是()A. -1, 0)U(0, 1)B. -1, 0)U(0, 1C. (1, 0)U(0, 1D. ( 1, 0)U(0, 1)(2013大綱全國，4)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?一1, 0),則函數(shù)f(2x+ 1)的定義 域?yàn)?)1 -1A. (1,1)B.(-1-1) C. (1, 0) D.%，1)r x>0,【解析】(1)

7、由題意得<x+ 1>0,解得1<x<0或0<x<1.、xw 0,所以原函數(shù)白定義域?yàn)?1, 0)U(0, 1).1 1(2)由已知得1<2x+1<0,解得1<x<彳,所以函數(shù)f(2x+1)的止義域?yàn)?-1,-)2 2【答案】(1)D (2)B考法提煉函數(shù)y=f(x)的定義域由實(shí)際問題給出由實(shí)際問題的意義確定變式訓(xùn)練一. 、 一一11. (2014山東交，3)函數(shù)f(x)=1=的定義域?yàn)?C )qiOg2X 1A. (0, 2)B. (0, 2C. (2, +oo)D. 2, +oo)【解析】1og2X 1>0,、X>0,x

8、>2,. x> 2./>0,.f(x)的定義域?yàn)?2, +8).2,若例1(2)改為函數(shù)f(x21)的定義域?yàn)?, 2,則函數(shù)g(x) = f(2x)的定義域?yàn)椤窘馕觥?0<x<2,1<x2-1<3,從而函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?, 3.由一102x&3,得一1&x&3,.函數(shù) f(2x)的定義域?yàn)?,-222 2考向2卜函數(shù)解析式的求解及其應(yīng)用函數(shù)的解析式是函數(shù)的基礎(chǔ)知識，高考中重視對待定系數(shù)法、換元法、利用函數(shù) 性質(zhì)求解析式的考查.題目難度不大，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，分值約為 5分.例2 (1)(2014陜西文，10)如

9、圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直 道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的 解析式為()M千米.131213.12 八A . y=2x 那一x B. y= 2x +2x 3xC. y=4x xD . y= 4x +2x 2x2(2018山東臨沂一中月考)已知f(2+1) =lg x,則f(x)的解析式為. x【解析】(1)(待定系數(shù)法)設(shè)該函數(shù)解析式為f(x) = ax3+bx2 + cx+ d,則f'x)=一 23ax +2bx+ c,f (0)=f (2)由題息知、f(0)f' (2)d=0,8a+4b + 2c+ d=0,=c=

10、 - 1,=12a + 4b+c=3,1a 一 2，I 1,11。1 c解得b= 2，所以 f(x)=x3了2x.c二 - 1,工 d = 0,. 2(2)令-+1=t,由于x>0,所以t>1且x x22_2=LP 所以 f(t)Tgp 即 f(x) = lg( t 1t 1x 1(x>1).【答案】(1)A (2)f(x) = 1g -(x>1) x 1求函數(shù)解析式的常見方法 (1)代入法:將g(x)代入f(x)中的x,即彳*到f(g(x)的解析式.(2)構(gòu)造法：已知f(h(x) = g(x),求f(x)的問題，往往把右邊的g(x)整理構(gòu)造成只含 h(x)的式子，用x

11、將h(x)替換.(3)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，根據(jù)函數(shù)類型設(shè)出 函數(shù)解析式，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出待定系數(shù)即可.(4)換元法：已知f(h(x)=g(x),求f(x)時(shí)，往往可設(shè)h(x) = t,從中解出x,代入 g(x)進(jìn)行換元，求出f的解析式，再將t替換為x即可.(5)函數(shù)方程法：已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如f(-x), f(-),則可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過 x解方程組求出f(x).變式訓(xùn)練1. (2018山東濱州月考，14)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0, +8),且 f(x)=2f(-

12、) xx 1,則 f(x)= x【解析】在f(x) = 2fp)以一1中，用-代替x,得01)：xxx2f(x) jx 1 代入 f(x)=2f(-hjx 1 中，求得 f(x) = 3Vx+1(x>0).2. (2016 浙江文，12)設(shè)函數(shù) f(x) = x3+3x2+1.已知 aw0,且 f(x) f(a) = (x b)(x -a)2, xCR,則實(shí)數(shù) a = _ 2_, b=_1 解析】: f(x) = x3+ 3x2+ 1,. f(x) f(a) = x3 + 3x2 a3 3a2= (x3- a3) + 3(x2- a2)=(x a)(x2+ ax+ a2) + 3(x a

13、)(x+ a) = (x-a)x2+(a+ 3)x+ a2 + 3a. 又 f(x) f(a) = (x b)(x a)2= (x a)x2 (a+ b)x+ ab.222x +(a+3)x+a +3a=x (a+b)x+ab,a b=a+3, 2 一 .a +3a=ab,a= - 2,b= 1.考向3卜分段函數(shù)及其應(yīng)用 分段函數(shù)作為考查函數(shù)知識的最佳載體， 一直是高考命題的熱點(diǎn)，考查求值、解 方程(零點(diǎn))、解不等式、函數(shù)圖象及函數(shù)性質(zhì)等問題.解題過程中常滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想.主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，題目一般不難，若直接求解 較困難，可考慮數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.例3 (1)(2015課

14、標(biāo)II , 5)設(shè)函數(shù)f(x)=1 + log2 (2x) 2x 1, x>1,x< 1,則 f(-2) +f(log212) = ()A. 3B. 6C. 9D. 12'x+ 1, x< 0,1(2017課標(biāo)出，15)設(shè)函數(shù)f(x)= j x則滿足f(x) + f(x) >1的x的2 , x>0,2取值范圍是.【解析】(1): 10g212>1, f(log212) = 2log212 1 = 21 + log23=2X3 = 6.原式=1+log24+ 6= 9.111(2)當(dāng) x0 0 時(shí)，f(x)+f(x1) =x+1+x 2+1>1,得 x> 4； 11V 1當(dāng) 0<x0 2時(shí)，f(x) + f(x-) =2 +x2+1>1 恒成立；當(dāng) x>1 時(shí),f(x) + f(xJ) =2x+2x 2>1 包成立.1 _ . . _1綜上所述，x> 4.【答案】(1)C (2)(- +)點(diǎn)撥：當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類討論.方法提煉：分段函數(shù)兩種題型的求解策略(1)根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.已知函數(shù)值(或函數(shù)值的范圍)求自變量的值(或范圍)應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值（或范圍）是否符合