1奧數(shù)等差數(shù)列講義

1、等差數(shù)列等差數(shù)列15、課前熱身找出規(guī)律后填出下面數(shù)列中括號里的數(shù):),1, 3, 5, 7, (), 11, 13,( 1, 4, 7, 10, (), 16, 19, 1, 3, 6, 10, 15,(),28, 1, 2, 4, 5, 7, 8,(),(),(5) 5, 7, 11, 19, 35,(),131; 259,、準備知識：1、數(shù)列定義:(1) 1,2,3,4, 5, 6, 7, 8,(等差)(2) 2,4,6,8, 10, 12, 14, 16,(等差)(3) 1,4,9,16, 25, 36, 49,(非等差)1 .數(shù)列的定義：若干個數(shù)按一定次序進行排列的一列數(shù)，叫做 數(shù)列.

2、數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一個數(shù)稱為 首項，第二個數(shù)叫做第二項 以此類 推，最后一個數(shù)叫做這個數(shù)列的 末項，數(shù)列中數(shù)的個數(shù)稱為 項數(shù)，如：2, 4, 6, 8,100。注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不 同，那么它們就是不同的數(shù)列;2、等差數(shù)列:從第二項開始，后項與其相鄰的前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列。我們將后項與前 項的差稱為公差.an an=d , (n>2, nCN +),后一項減前一項為一定值，我們把這個定值叫公差，用 d表示。例如：等差數(shù)列：3、6、996,這是一個首項為3,末項為96,項數(shù)為32,公差為3 的數(shù)列。練習(xí)：1、

3、 3、6、9、1275,這是一個首項為()，末項為()，項數(shù)為()，公差為()的數(shù)列。2、 下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請指明公差，若不是，則說明理由.6, 10, 14, 18, 22,，98;() 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6;() 1 , 2, 4, 8, 16, 32, 64;() 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2;()3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3;() 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0;()3、計算等差數(shù)列的相關(guān)公式:等差數(shù)列的通項公式(每一項都可用通項公式來表示)：烝 =4 +(n 1)d(1)末項公式：第幾項(末項)

4、=首項+ (項數(shù)1) x公差(2)項數(shù)公式：項數(shù)=(末項首項)+公差+ 1(3)求和公式：總和=(首項+末項)X項數(shù)+ 2在等差數(shù)列中，如果已知首項、末項、公差。求總和時，應(yīng)先求出項數(shù)，然后再利 用等差數(shù)列求和公式求和。數(shù)列的前n項和：數(shù)列&中，a1+a2+a3+an稱為數(shù)列QJ的前n項和,記為Sn.求和公式：總和=(首項+末項)x項數(shù)+ 2=等差中項x項數(shù)等差數(shù)列的前n項和公式1： Sn =n(ian)2等差數(shù)列的前n項和公式2: Sn=naJ血二1d2二.例題精講例1、認識數(shù)列：等差數(shù)列：3、6、9、96,這是一個首項為3,末項為96,項數(shù)為32,公差為3的數(shù)列 例2、有一個數(shù)列：

5、4、7、10、13、25,這個數(shù)列共有多少項提示仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，后項與其相鄰的前項之差都是3,所以這是一個以4為首項, 以公差為3的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的項數(shù)公式即可解答。解：由等差數(shù)列的項數(shù)公式：項數(shù)二(末項-首項)+公差+1,可得，項數(shù)=(25-4) +3+1=8,所以這個數(shù)列共有8項。練習(xí)：1、有一個數(shù)列：2,6,10,14, ,106,這個數(shù)列共有多少項？。2、有一個數(shù)列：5,8,11, ,92,95,98,這個數(shù)列共有多少項？3、在等差數(shù)列中，首項=1,末項=57，公差=2,這個等差數(shù)列共有多少項？例3、有一等差數(shù)列：2, 7,12,17 ,，這個等差數(shù)列的第100項是多少？提示

6、：仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，后項與其相鄰的前項之差等于5,所以這是一個以2為首項，以公差為5的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可解答解：由等差數(shù)列的通項公式：第幾項=首項+(項數(shù)-1) X公差，可得，第100項=2+(100-1)X 5=497,所以這個等差數(shù)列的第100項是497。練習(xí)：1、求1,5,9,13,，這個等差數(shù)列的第30®。2 、求等差數(shù)列2,5,8,11,的第100項3,一等差數(shù)列，首項=7,公差=3,項數(shù)=15，它的末項是多少？例4、計算 2+4+6+8+ T1990的和。提示：仔細觀察數(shù)列中的特點，相鄰兩個數(shù)都相差2,所以可以用等差數(shù)列的求和公式來求。解：因為首項是2,

7、末項是1990,公差是2,昕以，項數(shù)=(1990-2) +2+1=995,再根據(jù)等差數(shù) 列的求和公式：總和=(首項+末項)X項數(shù)+ 2,解出2+4+6+8+ +1990=(2+1990) X 995-2=o練習(xí)：1.計算 1+2+3+4+ +53+54+55勺和。2、計算 5+10+15+20+190+195+200的和。3、計算 100+99+98+ +61+60勺和例 5、計算(1+3+5+ +I99I)-(2+4+6+- +1990)提示：仔細觀察算式中的被減數(shù)與減數(shù)， 可以發(fā)現(xiàn)它們都是等差數(shù)列相加，根據(jù)題 意可以知道首項、末項和公差，但并沒有給出項數(shù)，這需要我們求項數(shù)， 按照這樣的思

8、路求得項數(shù)后，再運用求和公式即可解答。解：被減數(shù)的項數(shù)=(1991-1) +2+1=996,所以被減數(shù)的總和=(1+1991) X 996+2=;減數(shù) 的項數(shù)=(1990-2) +2+1=995,所以減數(shù)的總和=(2+1990)X995+ 2=.所以原式=-=996。練習(xí)：1、計算(1+3+5+7+2003)-(2+4+6+8+ +2002)2、計算(2+4+6+100)-(1+3+5+99)3、計算(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994)例6、已知一列數(shù)：2,5,8,11,14 ,，80,，求80是這列數(shù)中第幾個數(shù)。提示：仔細觀察這列數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，

9、后項與其相鄰的前項之差等于 3,所以這是一個 以2為首項，以公差為3的等差數(shù)列，求80是這列數(shù)中第幾個數(shù)，實際上是求該數(shù)列的項 數(shù)。解：這列數(shù)的首項是2,末項是80,公差是3,運用公式：項數(shù)二(末項-首項)+公差+1,即 (80-2) +3+1=27，所以80是該數(shù)列的第27項。練習(xí)：1.有一列數(shù)是這樣排列的:3,11,19,27,35,43,51,，求第12個數(shù)是多少。2 、有一列數(shù)是這樣排列的:2,11,20,29,38,47,56,，求78呢第幾個數(shù)3 、在等差數(shù)列6,13,20,27,中，從左到右數(shù)第幾個數(shù)是1994?例7、全部三位數(shù)的和是多少？分析：所有的三位數(shù)就是從100999共9

10、00個數(shù)，觀察100、101、102、998、999這一數(shù)列，發(fā)現(xiàn)這是一個公差為 1的等差數(shù)列。要求和可以利用等差數(shù)列求和公式 來解答。練習(xí)：求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差例8、求自然數(shù)中被10除余1的所有兩位數(shù)的和。分析一：在兩位數(shù)中，被10除余1最小的是11,最大的是91。從題意可知，本題是求等 差數(shù)列11、21、31、91的和。它的項數(shù)是9,我們可以根據(jù)求和公式來計算。解一：11+21+31 +91=(11+91)父9 + 2二459分析二：根據(jù)求和公式得出等差數(shù)列11、21、31、91的和是459,我們可以求得這 9個數(shù)的平均數(shù)是459 + 9=51,而51

11、恰好是這個等差數(shù)列的第五項，即中間的一項 （稱作 中項），由此我們又可得到 S小項xn,但只能是項數(shù)是奇數(shù)時，等差數(shù)列有中項，才能 用中項公式計算。解二：11+21+31 + +91=519=459求不超過500的所有被11整除的自然數(shù)的和例9、求下列方陣中所有各數(shù)的和：1、2、3、4、49、50;2、3、4、5、50、51;3、4、5、6、51、52;49、50、51、52、97、98;50、51、52、53、98、99。分析一：這個方陣的每一橫行（或豎行）都各是一個等差數(shù)列，可先分別求出每一 橫行（或豎行）數(shù)列之和，再求出這個方陣的和。解一：每一橫行數(shù)列之和：第一行：（1+50） x 50

12、+2=1275第二行：（2+51）父 50+2=1325第三行：（3+51） m 50-2=1375第四十九行：（49+98）黑50+2=3675第五十行：（50+99）父50子2=3725方陣所有數(shù)之和：1275+1325+1375+3675+3725=（1275+3725）父 502分析二：觀察每一橫行可以看出，從第二行起，每一行和都比前一行多50,所以可以先 將第一行的和乘以50,再加上各行比第一行多出的數(shù)，這樣也能求得這個方陣所有數(shù)的 和。解二：（1+50） x 50 + 2 父 50=6375050 父（1+2+3+ +49）=50 x【（1+49） x 49 + 2】=612506

13、3750+61250= 答：這個方陣的和是例10、若干人圍成16圈，一圈套一圈，從外向內(nèi)圈人數(shù)依次少 6人，如果共有912人, 問最外圈有多少人？最內(nèi)圈有多少人？分析：從已知條件912人圍成16圈，一圈套一圈，從外到內(nèi)各圈依次減少 6人，也就是 告訴我們這個等差數(shù)列的和是912,項數(shù)是16,公差是6。題目要求的是等差數(shù)列末項an- a 尸dM （n-1）=6 父（16-1）=90（人）解：an +a1 =S 2' n= ->=114（人）外圈人數(shù)=（90+114）2=102 （人）內(nèi)圈人數(shù)=（114-90） +2=12 （人）答：最外圈有102人，最內(nèi)圈有12人。、填空題（每小題

14、5分）1、有一串數(shù)，已知第一個數(shù)是 6,而后面的每一個數(shù)都比它前面的數(shù)大4,這申數(shù)中第2003個數(shù)是。2、等差數(shù)列0、3、6、9、12、45是這個數(shù)列的第 項從2開始的連續(xù)100個偶數(shù)的和是 。3、一個劇院共有25排座位，從第一排起，以后每排都比前一排多 2個座位，第25排有70個座位，這個劇院共有 個座位。4、所有除以4余1的三位數(shù)的和是6、時鐘在每個整點敲該鐘點數(shù)，每半點鐘敲一下，一晝夜這個時鐘一共敲 下。7、一個五層書架共放了 600本書，已知下面一層都比上面一層多10本書。最上面一層放 本書，最下面一層放 本書。8、從200到500之間能被7整除的各數(shù)之和是 。9、在 1949、195

15、0、1951、1987、1988、這40個自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和比所有奇數(shù)之和多10、有一列數(shù)：1、2002、2001、1、2000、1999、1、從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減去小數(shù)的差，從第一個數(shù)開始到第2002個數(shù)為止這2002個數(shù)的和是 0二、簡答題（每小題10分）1、有10只金子，54個乒乓球，能不能把54個乒乓球放進盒子中去，使各盒子的乒乓球 數(shù)不相等？2、小明家住在一條胡同里，胡同里的門牌號從 1號開始摸著排下去。小明將全胡同的門 牌號數(shù)進行口算求和，結(jié)果誤把 1看成10,得到錯誤的結(jié)果為114,那么實際上全胡同 有多少家？3、有一堆粗細均勻的圓木，堆成如下圖的形

16、狀，最上面一層有 7根園木，每面下層增加1根，最下面一層有95根，問：這堆圓木一共有多少根？4、有一個六邊形點陣，如下圖，它的中心是一個點，算做第一層，第二層每邊有兩個點, 第三層每邊有三個點這個六邊形點陣共 100層，問，這個點陣共有多少個點？5、X+Y+Z=1993t多少組正整數(shù)解?模擬測試解答一、填空題1、 80146+4 M (2003-1 ) =6+4x2002=80142、16 (45-0) -3+1=45-3+1=163、 10100末項=2+ (100+1) x 2=200和=(2+200) x100-2=101004、 1150a1=70-(25-1)父2=22(個)總座位數(shù)

17、：(22+70) x25-2=1150 (個)5、所有除以4余1的三位數(shù)為：101、105、109、997。項數(shù)：(997-101 ) +4+1=225 和：(101+997)黑 225 + 2=6、180(1 + 12) M 12+1 M24=13x 12+24=180 (下)7、 100、 140中間一層本數(shù)：600 + 5=120 (本)最上面一層：12-10父2=100 (本)最下面一層：120+1父2=140 (本)8、 15050構(gòu)成等差數(shù)列為：203、210、497。項數(shù)=(497-203 ) -7+1=43 數(shù)列和=(203+497)黑 432=150509、20(1950+1

18、988)父20小2- (1949+1987)父20 + 2 =父+-父小=39380-39360 =2010、在原數(shù)列中，以數(shù) 1為標志，把三個數(shù)看成一組，2002 -3=6671,其中2001個數(shù)分為667組，有667個1 ,因為余下的一個數(shù)恰為 1,則2002個數(shù)中有668個1,其余的數(shù)是 2002則669有1334個數(shù)。 668 父1+ (2002+669)父 1334。2=668+=、簡答題1、解：答：題中要求辦不到。2、解：誤把1看成10,錯誤結(jié)果比正確結(jié)果多10-1=9,那么正確結(jié)果為 114-9=105,即全胡同門牌號組成的數(shù)列求和為 105設(shè)全胡同有n家，此數(shù)列為1、2、3、n

19、。數(shù)列求和：（1+n） xn+2=105將 210 分解：210=2x3x5黑 7=14x15（1+n）n=210則n為14 答：全胡同實際有 14家。3、解：7+95=102 （根）95-7+1=89（層）、x = =4539 （根）答：這堆圓木一共有 4539根。4、解：第 100 層有點：6+ （99-1 ） M6=6+98M6=M （個）點陣只有點：1 +（6+594） x 99 + 2=1 + 黑+ =29701答：這個點B共有自29701個。5、解：當 X=1991 時，則 Y+Z=2,當 X=1990 時,則 Y+Z=3,當 X=1989 時,則 Y+Z=4.當 X=2 時，貝U

20、 Y+Z=1991當 X=1 時，貝U Y+Z=1992Y=Z=1'y = 2z =1J=1或，y=2或y=3有3組Z=3 z=2 z = 1有1990組有1991組丫 X不能等于1992或1993二原方程中不同的整數(shù)解，組數(shù)為：1+2+3+4+1991=父子= 答：共有組正整數(shù)解。例題 1、 （求和公式： 總和 =（首項十末項）x 項數(shù)+ 2 = 中項X 項數(shù)）(1) 1+2+3+4+5=(2) 1+2+3+9+10=(3) 1+2+3+99+100=練習(xí)：1+2+801+3+5+99例題 2: 項數(shù)公式： 項數(shù) =（末項一首項）+公差 + l（1） 2+4+6+200 =（2）已知等差數(shù)列2、7、12