向量的內積長度和正交性

1、第五章第五章 相似矩陣相似矩陣第一節(jié)第一節(jié) 向量的內積、長度和正交性向量的內積、長度和正交性1、向量的內積和長度、向量的內積和長度2、正交向量組、正交向量組3、施密特正交化過程、施密特正交化過程4、正交矩陣、正交矩陣定義定義1 1維向量維向量設有設有n,2121 nnyyyyxxxx nnyxyxyxyx 2211,令令 . ,的的與與為為向向量量稱稱yxyx內積內積內積的運算性質內積的運算性質 :,為實數(shù)為實數(shù)維向量維向量為為其中其中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx時有時有且當且當 線性性線性性正定性正定性定義

2、定義2 2 非負性非負性. 1齊次性齊次性. 2三角不等式三角不等式. 3 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的維維向向量量為為稱稱xnx長度長度范數(shù)范數(shù)向量的長度具有下述性質：向量的長度具有下述性質：; 0,0; 0,0 xxxx時時當當時時當當;xx .yxyx 維向量間的夾角維向量間的夾角單位向量及單位向量及n .,11 為為稱稱時時當當xx 單位向量單位向量 yxyxyx,arccos,0, 02 時時當當. 的的與與維向量維向量稱為稱為yxn夾角夾角 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念. ,0,yxyx與與稱向量稱向量時時當當 正交正交., 0,與任何向

3、量都正交與任何向量都正交則則若若由定義知由定義知 xx 若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組量組為正交向量組, 0021111 T由由.01 從而有從而有. 02 r 同理可得同理可得.,21線性無關線性無關故故r 使使設有設有r ,21證明證明02211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1aT0111 T 正交向量組的性質正交向量組的性質線線性性無無關關. ., , , ,則則非非零零向向量量, ,是是一一組組兩兩兩兩正正交交的的, , , ,維維向向量量若若定定理理rrn 2121 1例例1 1 已知三維向量空間中兩個向量已

4、知三維向量空間中兩個向量 121,11121 正交，試求正交，試求 使使 構成三維空間的一個正交構成三維空間的一個正交基基.3 321 , 向量空間的正交基向量空間的正交基., 212121的正交基的正交基向量空間向量空間是是則稱則稱組組是兩兩正交的非零向量是兩兩正交的非零向量且且的一個基的一個基是向量空間是向量空間若若VVrrr 即即 02,0,3213232131xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx則則有有若若令令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 構成三維空間的一個正交基構成三維空間的一個正交基.321 ,則有則有0,3231 解解 ., 0, 213213

5、正正交交且且分分別別與與設設 Txxx 規(guī)范正交基規(guī)范正交基. ,)( , 3212121 的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基是是則則稱稱向向量量兩兩兩兩正正交交且且都都是是單單位位如如果果的的一一個個基基是是向向量量空空間間維維向向量量設設定定義義VeeeeeeRVVeeenrrnr .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1, 0,jijieejijieejiji且且且且由于由于.,44321的的一一個個規(guī)規(guī)范

6、范正正交交基基為為所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基也為也為R（1）正交化正交化，取，取 ，11ab ,1112122bbbabab ,21的一個基的一個基為向量空間為向量空間若若Vaaar 求規(guī)范正交基的方法求規(guī)范正交基的方法稱稱為為這這樣樣一一個個問問題題價價等等與與使使位位向向量量的的單單就就是是要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基要要求求的的一一個個基基是是向向量量空空間間設設,21212121rrrreeeeeeVV ., 21范范正正交交化化這這個個基基規(guī)規(guī)把把r 11

7、1122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等價等價與與且且兩兩正交兩兩正交那么那么rrraabbbb（2）單位化單位化，取，取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為那那么么Veeer222321113133,bbbabbbbabab 例例 用施密特正交化方法，將向量組用施密特正交化方法，將向量組)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交規(guī)范化正交規(guī)范化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbba

8、bab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 稱稱為為的的過過程程向向量量組組構構造造出出正正交交上上述述由由線線性性無無關關向向量量組組rrbbaa施密特正交化過程施密特正交化過程222321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再單位化單位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得規(guī)范正交向量組如下得規(guī)范正交向量組

9、如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe將線性無關向量組化為正交單位向量組，可將線性無關向量組化為正交單位向量組，可以先正交化，再單位化；也可同時進行正交化與以先正交化，再單位化；也可同時進行正交化與單位化單位化.,1001,0101,0011321向量組向量組求與之等價的正交單位求與之等價的正交單位無關向量組無關向量組是線性是線性已知向量已知向量 例2例2解一解一先正交化，再單位化先正交化，再單位化;)1(11 取取,)2(12212正交正交與與使得使得令令 k, 0,211121 k,21,1121 k;0121212 故故得得交交正正與與且且令令, , )3

10、(123322113 kk,21,11311 k,31,22222 k.13131313 故故得得單位化單位化將將,)4(321 333 111 222 ;002121 ;0626161 .23)32(1)32(1)32(1 解二解二同時進行正交化與單位化同時進行正交化與單位化并單位化得并單位化得取取,)1(11 111 ;002121 得得正交正交與與使得使得令令,)2(12212 k,21 k,21 .06261612 ,0121212 得得正交正交與與且且令令,)3(123322113 kk,311 k,322 k,21 ,61 .23)32(1)32(1)32(13 ,13131313

11、 .,321為所求之向量組為所求之向量組則則 例例.,111 321321兩兩正交兩兩正交使使求一組非零向量求一組非零向量已知已知aaaaaa 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即應滿足方程應滿足方程.110,10121 它的基礎解系為它的基礎解系為把基礎解系正交化，即合所求亦即取把基礎解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于是得于是得其中其中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a證明證明EAAT E 定義定義4 4 . , 1正交矩陣正交矩陣為為稱稱則則即即滿足滿足階方陣階方陣若若AAAEAAAnTT 定理定理 nn

12、nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的列向量都的列向量都是單位向量且兩兩正交是單位向量且兩兩正交AA ETnTTn ,2121ETnnTnTnTnTTTnTT 212221212111 njijijiijTji, 2 , 1, 0;, 1 當當當當 性質性質 正交變換保持向量的長度不變正交變換保持向量的長度不變證明證明,為為正正交交變變換換設設Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 則有則有例例 判別下列矩陣是否為正交陣判別下列矩陣是否為正交陣 ,1213121121312111

13、 .9794949491989498912 定義定義5 5 若若 為正交陣，則線性變換為正交陣，則線性變換 稱為正稱為正交變換交變換Pxy P解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩陣所以它不是正交矩陣考察矩陣的第一列和第二列，考察矩陣的第一列和第二列，由于由于 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩陣所以它是正交矩陣 100010001由于由于 9794949491989498912.)/(2,為正交矩陣為正交矩陣證明證明階單位矩陣階單位矩陣為為維列向量維列向量是是設設aaaaEAnEnaTT 例1

14、例1證明證明.,EAAAATT 證證義義驗驗然然后后根根據(jù)據(jù)正正交交矩矩陣陣的的定定先先驗驗證證)/2(aaaaEATTTT aaaaETT)/2( ,A AAT)/2()/2(aaaaEaaaaETTTT AA .)()( /4)( /2)( /22aaaaaaaaaaaaaaETTTTTTT .2,1是正交矩陣是正交矩陣時時特別當特別當aaEAaaTT , 0為一非零數(shù)為一非零數(shù)aaaT ),)()(aaaaaaaaTTTT 故故,)/(4)/(4EaaaaaaaaEAATTTTT .是正交矩陣是正交矩陣故故A1 1將一組基規(guī)范正交化的方法：將一組基規(guī)范正交化的方法： 先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將其單位化其單位化 ;11TAA ;2EAAT ;3單位向量單位向量的列向量是兩兩正交的的列向量是兩兩正交的A .4單位向量單位向量的行向量是兩兩正交的的行向量是兩兩正交的A2 2 為正交矩陣的充要