簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題(共19頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.2.了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)一線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件關(guān)于變量x，y的一次不等式(組)線性約束條件關(guān)于x，y的一次不等式(組)目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的關(guān)于變量x，y的函數(shù)解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于變量x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域由所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題知識(shí)點(diǎn)二線性規(guī)劃問題1目標(biāo)函數(shù)

2、的最值線性目標(biāo)函數(shù)zaxby (b0)對(duì)應(yīng)的斜截式直線方程是yx，在y軸上的截距是，當(dāng)z變化時(shí)，方程表示一組互相平行的直線當(dāng)b0，截距最大時(shí)，z取得最大值，截距最小時(shí)，z取得最小值；當(dāng)b0時(shí)，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a2；當(dāng)a0時(shí)，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a1.(2)由題意，作出約束條件組成的可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z3xy，即y3xz過點(diǎn)(0,1)時(shí)z取最小值1.題型二非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題例2設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件求(1)x2y2的最小值；(2)的最大值解如圖，畫出不等式組表示的平面區(qū)域ABC，(1)令ux2y2，其幾何意義是可行域ABC內(nèi)任一點(diǎn)(x，

3、y)與原點(diǎn)的距離的平方過原點(diǎn)向直線x2y40作垂線y2x，則垂足為的解，即，又由得C，所以垂足在線段AC的延長(zhǎng)線上，故可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為|OC| ，所以，x2y2的最小值為.(2)令v，其幾何意義是可行域ABC內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)相連的直線l的斜率為v，即v.由圖形可知，當(dāng)直線l經(jīng)過可行域內(nèi)點(diǎn)C時(shí)，v最大，由(1)知C，所以vmax，所以的最大值為.跟蹤訓(xùn)練2已知x，y滿足約束條件則(x3)2y2的最小值為_答案10解析畫出可行域(如圖所示)(x3)2y2即點(diǎn)A(3,0)與可行域內(nèi)點(diǎn)(x，y)之間距離的平方顯然AC長(zhǎng)度最小，AC2(03)2(10)210，即(x3)2y2的

4、最小值為10.題型三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用例3某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是多少？解設(shè)每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，相應(yīng)的利潤(rùn)為z元，于是有z300x400y，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線300x400y0，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(4,4)時(shí)，相應(yīng)直線在y軸上的截距達(dá)到最

5、大，此時(shí)z300x400y取得最大值，最大值是z300440042 800，即該公司可獲得的最大利潤(rùn)是2 800元反思與感悟線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的步驟：分析并根據(jù)已知數(shù)據(jù)列出表格；確定線性約束條件；確定線性目標(biāo)函數(shù)；畫出可行域；利用線性目標(biāo)函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；實(shí)際問題需要整數(shù)解時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整，以確定最優(yōu)解跟蹤訓(xùn)練3預(yù)算用2 000元購(gòu)買單價(jià)為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的總數(shù)盡可能的多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌子、椅子各買多少才行？解設(shè)桌子、椅子分別買x張、y把，目標(biāo)函數(shù)zxy，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件為由解得所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為.由解

6、得所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以滿足條件的可行域是以A，B，O(0,0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(如圖)由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)zxy在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為B，但注意到xN*，yN*，故取故買桌子25張，椅子37把是最好的選擇1若直線y2x上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為()A1 B1 C. D22某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件則z10x10y的最大值是()A80 B85C90 D953已知實(shí)數(shù)x，y滿足則zx2y2的最小值為_一、選擇題1若點(diǎn)(x, y)位于曲線y|x|與y2所圍成的封閉區(qū)域， 則2xy的最小值為()A6 B2 C0 D22設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函

7、數(shù)z3xy的最大值為()A4 B0 C. D43實(shí)數(shù)x，y滿足則z的取值范圍是()A1,0 B(，0C1，) D1,1)4若滿足條件的整點(diǎn)(x，y)(整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))恰有9個(gè)，則整數(shù)a的值為()A3 B2 C1 D05已知x，y滿足目標(biāo)函數(shù)z2xy的最大值為7，最小值為1，則b，c的值分別為()A1,4 B1，3C2，1 D1，26已知x，y滿足約束條件使zxay(a0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a的值為()A3 B3 C1 D1二、填空題7若x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是_8已知1xy4且2xy3，則z2x3y的取值范圍是_(答案用區(qū)間表示)9已知平面直角坐標(biāo)系

8、xOy上的區(qū)域D由不等式組給定若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，則z的最大值為_10滿足|x|y|2的點(diǎn)(x，y)中整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)都是整數(shù))有_個(gè)11設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則z|x2y4|的最大值為_三、解答題12已知x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z2xy，求z的最大值和最小值13設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若指數(shù)函數(shù)yax的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，求a的取值范圍14某家具廠有方木料90 m3，五合板600 m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一張方桌可獲利潤(rùn)80元，出售一

9、個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元(1)如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤(rùn)多少？(2)如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤(rùn)多少？(3)怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大？當(dāng)堂檢測(cè)答案1答案B解析如圖，當(dāng)y2x經(jīng)過且只經(jīng)過xy30和xm的交點(diǎn)時(shí)，m取到最大值，此時(shí)，即(m,2m)在直線xy30上，則m1.2答案C解析該不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分由于x，yN*，計(jì)算區(qū)域內(nèi)與最近的點(diǎn)為(5,4)，故當(dāng)x5，y4時(shí)，z取得最大值為90.3答案解析實(shí)數(shù)x，y滿足的可行域如圖中陰影部分所示，則z的最小值為原點(diǎn)到直線AB的距離的平方，故zmin2.課時(shí)精練答案一、選擇題1答案A解析畫出可行域，如圖所示，解得A(2,2)，設(shè)

10、z2xy，把z2xy變形為y2xz，則直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)z取得最小值；所以zmin2(2)26，故選A.2答案D解析作出可行域，如圖所示聯(lián)立解得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z3xy移到(2,2)時(shí)，z3xy有最大值4.3答案D解析作出可行域，如圖所示，的幾何意義是點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(0,1)連線l的斜率，當(dāng)直線l過B(1,0)時(shí)kl最小，最小為1.又直線l不能與直線xy0平行，kl1.綜上，k1,1)4答案C解析不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，當(dāng)a0時(shí)，只有4個(gè)整點(diǎn)(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)當(dāng)a1時(shí)，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)5個(gè)整點(diǎn)故選C.5答案

11、D解析由題意知，直線xbyc0經(jīng)過直線2xy7與直線xy4的交點(diǎn)，且經(jīng)過直線2xy1和直線x1的交點(diǎn)，即經(jīng)過點(diǎn)(3,1)和點(diǎn)(1，1)，解得6答案D解析如圖，作出可行域，作直線l：xay0，要使目標(biāo)函數(shù)zxay(a0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則將l向右上方平移后與直線xy5重合，故a1，選D.二、填空題7答案2,6解析如圖，作出可行域，作直線l：x2y0，將l向右上方平移，過點(diǎn)A(2,0)時(shí)，有最小值2，過點(diǎn)B(2,2)時(shí)，有最大值6，故z的取值范圍為2,68答案3,8解析作出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示在可行域內(nèi)平移直線2x3y0，當(dāng)直線經(jīng)過xy2與xy4的交點(diǎn)A(3,1)時(shí)

12、，目標(biāo)函數(shù)有最小值z(mì)min23313；當(dāng)直線經(jīng)過xy1與xy3的交點(diǎn)B(1，2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值z(mì)max21328.所以z3,89答案4解析由線性約束條件畫出可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)zxy，將其化為yxz，結(jié)合圖形可知，目標(biāo)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(，2)時(shí)，z最大，將點(diǎn)(，2)代入zxy，得z的最大值為4.10答案13解析|x|y|2可化為作出可行域?yàn)槿鐖D正方形內(nèi)部(包括邊界)，容易得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)為13個(gè)11答案21解析作出可行域(如圖)，即ABC所圍區(qū)域(包括邊界)，其頂點(diǎn)為A(1,3)，B(7,9)，C(3,1)方法一可行域內(nèi)的點(diǎn)都在直線x2y40上方，x2y40，則目標(biāo)函數(shù)等價(jià)于zx

13、2y4，易得當(dāng)直線zx2y4在點(diǎn)B(7,9)處，目標(biāo)函數(shù)取得最大值z(mì)max21.方法二z|x2y4|，令P(x，y)為可行域內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，定直線x2y40，則zd，其中d為P(x，y)到直線x2y40的距離由圖可知，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)B與直線的距離最大，故d的最大值為.故目標(biāo)函數(shù)zmax21.三、解答題12解z2xy可化為y2xz，z的幾何意義是直線在y軸上的截距的相反數(shù)，故當(dāng)z取得最大值和最小值時(shí)，應(yīng)是直線在y軸上分別取得最小和最大截距的時(shí)候作一組與l0：2xy0平行的直線系l，經(jīng)上下平移，可得：當(dāng)l移動(dòng)到l1，即經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)時(shí)，zmax2528.當(dāng)l移動(dòng)到l2，即過點(diǎn)C(1,4.4)時(shí)，zmin

14、214.42.4.13解先畫出可行域，如圖所示，yax必須過圖中陰影部分或其邊界A(2,9)，9a2，a3.a1，1a3.14解由題意可畫表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利潤(rùn)(元)書桌(張)0.1280書櫥(個(gè))0.21120(1)設(shè)只生產(chǎn)書桌x張，可獲得利潤(rùn)z元，則0x300.所以當(dāng)x300時(shí)，zmax8030024 000(元)，即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤(rùn)24 000元(2)設(shè)只生產(chǎn)書櫥y個(gè)，可獲得利潤(rùn)z元，則0y450.所以當(dāng)y450時(shí)，zmax12045054 000(元)，即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個(gè)書櫥，獲得利潤(rùn)54 000元(3)設(shè)生產(chǎn)書桌x