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1、微分的證明題(附極限題)1 設(shè)在上游二階導(dǎo)數(shù)，其中是非負(fù)數(shù)，求證：證明：函數(shù)在點的二階Taylor展開為： 故 2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，且，證明在內(nèi)至少存在一點，使 證明： 兩式相減，得 所以在內(nèi)至少存在一點，使.3 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：在開區(qū)間內(nèi)存在一點，使。證明：分別令， 相減，。由三階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，在開區(qū)間內(nèi)存在一點，使。（其實本題的三階導(dǎo)數(shù)存在即可以證明，三階導(dǎo)數(shù)即使不連續(xù)，介值性質(zhì)依然成立）。4 設(shè)在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，試證：（1） 對于內(nèi)的任一，存在唯一的使得成立；（2） 。證明：（1）Lagrange中值定理，對于內(nèi)的任一，存在使得成立。因為，

2、在內(nèi)不變號，單調(diào)，故事唯一的。（2） ， ，。5 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，如果，求證。證明： 6 設(shè)在二階可導(dǎo)，求證存在，使得證明： 相加，。由導(dǎo)函數(shù)的介值定理，存在，使得。7 設(shè)在一階可導(dǎo)，在二階可導(dǎo)，且滿足，求證存在，使得證明： 相減，令，上式為 若，則，矛盾。故存在，使得8 設(shè)，且，試證（1）；（2）。證明：（1）不妨設(shè)不恒為零，并設(shè)，則， （1） （2）如果，由（1）式可得；如果，由（2）式可得。（3） 設(shè)，相減，。故。9 設(shè)在可導(dǎo)，證明，使證明：記，Cauchy中值定理得，代入即可。10 設(shè)在二階可導(dǎo)，證明在內(nèi)至少存在一點，使得， 其中證明：記，可以證明在可導(dǎo)，中值定理，左而，代入即可。11 設(shè)二階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，證明在內(nèi)至少存在一點，使得證明： 代入， 左。如果，則已證畢；如果，不妨假設(shè)，則由導(dǎo)函數(shù)的介值定理，存在使得，證畢。12 設(shè)三階可導(dǎo)，且，其中，且，求證。證明： 令，。13 已知在的鄰域內(nèi)四階可導(dǎo)，且，設(shè)，證明證明： 代入左式， 左14 設(shè)，證明證明：當(dāng)時，所以有正最小值，顯然也是極小值。顯然，故有正最小值。15 設(shè)在有定義，存在，且滿足若，是的兩個相鄰的零點，證明在上，。證明：如果不恒為0，至少存在一點使得。

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