微積分總復(fù)習(xí)

1、微積分總復(fù)習(xí)微積分總復(fù)習(xí)一、函數(shù)一、函數(shù)1、基本理論、基本理論函數(shù)的概念函數(shù)的概念（定義、求定義域、函數(shù)的相等、函數(shù)值）；（定義、求定義域、函數(shù)的相等、函數(shù)值）；函數(shù)的初等性質(zhì)函數(shù)的初等性質(zhì)（有界性、奇偶性、單調(diào)性、周期性）；（有界性、奇偶性、單調(diào)性、周期性）；函數(shù)的初等運(yùn)算函數(shù)的初等運(yùn)算（四則運(yùn)算、反函數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算（四則運(yùn)算、反函數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算)；基本初等函數(shù)類基本初等函數(shù)類（表達(dá)式、圖形）；（表達(dá)式、圖形）；初等函數(shù)的概念初等函數(shù)的概念（定義、性質(zhì)）。（定義、性質(zhì)）。2、典型例題、典型例題的的定定義義域域；）求求函函數(shù)數(shù)（11,11112222 xeyxxyx);1(),1(sin)

2、,0(),2(, 0, 10, 1sin)() 2(22 xfxfffxxxxxf求求設(shè)設(shè));(sin),(, 52)1()3(2xfxfxxxf求求設(shè)設(shè) xxxfdxxxfcxxxxfbxxxfa 1)()(sin)()(cos1)()(sin)()()4(2420022是是下下列列函函數(shù)數(shù)中中是是奇奇函函數(shù)數(shù)的的;1)(,1)(;lg2)(,lg)(;cottan)(,)(;)()(,)()5(222222xxxgxxxfdxxgxxfcxxxxgxxfbxxgxxfa ）（）（）（）（）函函數(shù)數(shù)的的是是（下下列列函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)中中是是同同一一個(gè)個(gè).)(, )1()(,)(,)21()6(2

3、1sincosxydxycebyaxx ）（）數(shù)數(shù)的的是是（下下列列函函數(shù)數(shù)中中不不是是復(fù)復(fù)合合函函二、極限與連續(xù)二、極限與連續(xù)1、基本理論、基本理論數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念（數(shù)列、數(shù)列極限的（數(shù)列、數(shù)列極限的 定義、定義、性質(zhì)）與計(jì)算，性質(zhì)）與計(jì)算，函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念（函數(shù)極限（函數(shù)極限（雙側(cè)雙側(cè)極限、左右極限極限、左右極限）的）的 ）與計(jì)算；）與計(jì)算；極限的運(yùn)算性質(zhì)極限的運(yùn)算性質(zhì)（四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求極限）；（四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求極限）；無(wú)窮小和無(wú)窮大量的概念與性質(zhì)無(wú)窮小和無(wú)窮大量的概念與性質(zhì)（定義、性質(zhì)、比（定義、性質(zhì)、比較、等價(jià)無(wú)窮小代換求極限）；較、等價(jià)無(wú)窮小代換求極限

4、）；極限存在的兩個(gè)判別準(zhǔn)則極限存在的兩個(gè)判別準(zhǔn)則（單調(diào)有界準(zhǔn)則、夾逼準(zhǔn)（單調(diào)有界準(zhǔn)則、夾逼準(zhǔn)則）和兩個(gè)重要極限；則）和兩個(gè)重要極限；函數(shù)的連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)與間斷（定義、性質(zhì)、應(yīng)用、求間斷點(diǎn)）（定義、性質(zhì)、應(yīng)用、求間斷點(diǎn)）N 定定義義 ,X2、典型例題、典型例題;1212lim)4(;)21(lim)3();34(lim)2(;1212lim1122122 xxxxxnnnnnnnxxxnn）（計(jì)計(jì)算算下下列列極極限限例例;2sinlim)6(;123122lim)5(0323xxxxxxxx ;11lim)9(;sinsinlim)8(;1)1sin(lim)7(2121 xxxxxxxx

5、xxx1 )(0)(2)(4111132)()10(2dcbakxxkxxxxxf ）（）處處連連續(xù)續(xù)，則則在在?)(lim,1111)()11(12 kxfxkxxxxfx存存在在，則則的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)與與連連續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)間間。指指出出函函數(shù)數(shù)例例21,sin,sin22 xxxyxxyxxy根根。）內(nèi)內(nèi)各各有有且且只只有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)，在在區(qū)區(qū)間間（與與方方程程證證明明方方程程例例101323511 xxxex三、導(dǎo)數(shù)與微分三、導(dǎo)數(shù)與微分1、基本理論、基本理論導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念（物理背景、幾何背景、定義公式、記（物理背景、幾何背景、定義公式、記號(hào)、性質(zhì)、高階導(dǎo)數(shù)）；號(hào)、性質(zhì)、高階導(dǎo)數(shù)）；微分

6、概念微分概念（背景、定義）；（背景、定義）；導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算（基本求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則（四（基本求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則（四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、對(duì)則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法）數(shù)求導(dǎo)法）xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),

7、(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為的的則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決決.dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxd

8、dxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(,

9、 （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 2、典型例題、典型例題.,11)1cos()4(;lnln4tanlnsin)3(;ln15)2(;4cossin1211222dydxdyxxxxyxxxyxxxxyxxxyn求求）（分分求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)與與微微例例 dyxxxy求求, 3ln)21sin()2ln()5(22 dxdyyxyxxxyy求求確確定定，由由方方程程設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)42)()6( dxxxd)(3)cos6()7(3 本本，最最大大利利潤(rùn)潤(rùn)。求求其其邊邊際際收收益益，邊邊際際成成成成本本函函數(shù)數(shù)為為、某某商商品品的的需需求求函函數(shù)數(shù)

10、為為例例,210)(,5102QQCQP 需需求求關(guān)關(guān)于于價(jià)價(jià)格格的的彈彈性性。求求其其為為、設(shè)設(shè)某某商商品品的的需需求求函函數(shù)數(shù)例例,3,435kPPQeQ 法法線線方方程程。處處的的切切線線方方程程，在在、求求曲曲線線例例)1, 0(12423 xxy四、微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四、微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、基本理論、基本理論微分中值定理微分中值定理（羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西（羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用）；中值定理，定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用）；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：（1）未定式定值法的羅比達(dá)法則；）未定式定值法的羅比達(dá)法則；（2）函數(shù)單調(diào)區(qū)間和

11、極值及最值的求法；）函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值及最值的求法；（3）曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的求法；）曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的求法；（4）曲線的漸近線（鉛直、水平、斜）的求法和函）曲線的漸近線（鉛直、水平、斜）的求法和函數(shù)作圖；數(shù)作圖；（5）導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用（邊際、彈性、最大）導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用（邊際、彈性、最大收益、最大利潤(rùn)、最小成本等）收益、最大利潤(rùn)、最小成本等）2、典型例題、典型例題;2 , 2 ,11)(112（羅爾定理）（：的中值定理?xiàng)l件并求出驗(yàn)證下列函數(shù)滿足相應(yīng)例 xxf ；拉格朗日）)(0 , 1 ,1)(2(2 xxf40200250sinlim)4();111(lim)3(;lim)2

12、(;lim12xtdttexexxeexxxxxxxxx ）（計(jì)計(jì)算算極極限限例例凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間和和拐拐點(diǎn)點(diǎn)；的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間和和極極值值點(diǎn)點(diǎn)、求求函函數(shù)數(shù)例例xxeyxxy )2(73)1(323成立；成立；）不等式）不等式（、證明：、證明：例例Ryxyxyx ,sinsin14根根。）內(nèi)內(nèi)各各有有且且只只有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)，在在區(qū)區(qū)間間（與與方方程程證證明明方方程程10132)2(511 xxxex大大？個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)才才能能使使利利潤(rùn)潤(rùn)在在，問問每每批批生生產(chǎn)產(chǎn)多多少少元元得得到到的的收收益益為為，元元個(gè)個(gè)單單位位的的費(fèi)費(fèi)用用為為生生產(chǎn)產(chǎn)某某種種商商品品例例)(01. 010)()

13、(2005)(52xxxRxxCx ？為為多多少少時(shí)時(shí)，總總收收益益最最大大求求收收益益將將變變化化時(shí)時(shí)，若若價(jià)價(jià)格格上上漲漲）當(dāng)當(dāng)（其其經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義；時(shí)時(shí)的的需需求求彈彈性性，并并說(shuō)說(shuō)明明）求求（其其經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義；時(shí)時(shí)的的邊邊際際需需求求，并并說(shuō)說(shuō)明明）求求（某某商商品品的的需需求求函函數(shù)數(shù)為為例例PPPPPQ)4(%;?%五、不定積分五、不定積分1、基本理論、基本理論原函數(shù)與不定積分的概念；原函數(shù)與不定積分的概念；不定積分與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的互逆性；不定積分與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的互逆性；不定積分的線性性質(zhì)；不定積分的線性性質(zhì)；基本積分公式；基本積分公式；基本積分法（換元積分

14、法、分部積分法）基本積分法（換元積分法、分部積分法）2、典型例題、典型例題，求求這這條條曲曲線線的的方方程程；且且曲曲線線過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)為為上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)法法線線的的斜斜率率）已已知知曲曲線線（，求求這這條條曲曲線線的的方方程程；且且曲曲線線過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)為為上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)切切線線的的斜斜率率）已已知知曲曲線線（解解下下列列各各題題例例)1 , 0(,11)(2)1 , 0(, 1sin)(112xxfyxxxfy _)2(,23)()5(_2)(,)()4(_)(,sin)()3(322224 dxxfxCuduufdxxxxfCexdxxfxfCxxdxxfx則則）（若若則則則則;)32(

15、)3(;)1()1(2203dxxdxxx 計(jì)計(jì)算算下下列列不不定定積積分分例例.;)32(sin)2(;ln)3(;)2(;ln1)1(3dxxdxdxexdxxxx 計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分例例六、定積分及其應(yīng)用六、定積分及其應(yīng)用1、基本理論、基本理論定積分的概念定積分的概念（幾何背景和物理背景、定義（四個(gè)步（幾何背景和物理背景、定義（四個(gè)步驟）和驟）和性質(zhì)性質(zhì)（7個(gè)性質(zhì)）；個(gè)性質(zhì)）；變動(dòng)上限的定積分定義的函數(shù)及其性質(zhì)；變動(dòng)上限的定積分定義的函數(shù)及其性質(zhì)；牛頓牛頓-萊布尼茨公式；萊布尼茨公式；積分方法積分方法（換元積分法、分部積分法）；（換元積分法、分部積分法）；廣義積分廣義積分（無(wú)窮限、

16、無(wú)界函數(shù)）及其性質(zhì)；（無(wú)窮限、無(wú)界函數(shù)）及其性質(zhì)；定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用（面積、體積、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用）。（面積、體積、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用）。2、典型例題、典型例題計(jì)計(jì)算算下下列列定定積積分分、例例1;)3(;)2(?;,61)cos()1(21213021123dxxedxekdxkxxxxx dxexdxxxdxxx 10220102cos4)1(2、計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分例例.1)3(;11)2(;)1(311210204dxxdxxdxex 計(jì)計(jì)算算廣廣義義積積分分例例21)(1)(1)(0)()(, 2)2()2(23)(1)(1)(0)()(, 0)32(141002dcbakdxkxdcbak

17、dxxxk 則則若若則則）若若（例例所所圍圍圖圖形形的的面面積積；與與直直線線上上由由曲曲線線）求求區(qū)區(qū)間間（計(jì)計(jì)算算下下列列各各題題例例1, 0,sin2, 015 yxxy 的的體體積積；軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體該該圖圖形形繞繞軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積及及與與）求求由由曲曲線線（xxxy222 ).(20),/(4)()2().(),/(50200)()1(63QCQQCxRxxxRx試試求求總總成成本本函函數(shù)數(shù)，固固定定成成本本為為單單位位元元邊邊際際成成本本個(gè)個(gè)單單位位時(shí)時(shí)的的總總收收益益試試求求生生產(chǎn)產(chǎn)單單位位元元邊邊際際收收益益單單位位時(shí)時(shí)，設(shè)設(shè)生生產(chǎn)產(chǎn)某某

18、商商品品例例 七、無(wú)窮級(jí)數(shù)七、無(wú)窮級(jí)數(shù)1、基本理論、基本理論無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念（定義、斂散性、性質(zhì)、收斂的必要（定義、斂散性、性質(zhì)、收斂的必要條件、調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性）；條件、調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性）；正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及斂散性判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及斂散性判別法（充要條件、比較判（充要條件、比較判別法、比值判別法、別法、比值判別法、p-級(jí)數(shù)的斂散性）；級(jí)數(shù)的斂散性）；交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法（萊布尼茨判別法），級(jí)（萊布尼茨判別法），級(jí)數(shù)的條件收斂性與絕對(duì)收斂性；數(shù)的條件收斂性與絕對(duì)收斂性；冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的概念（定義、收斂半徑、收斂域、收斂域的（定義、收斂半徑、收斂域、

19、收斂域的求法、性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)、求積分）；求法、性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)、求積分）；函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)與馬克勞林級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)與馬克勞林級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的應(yīng)用。2、典型例題、典型例題;1)4(;131)3(;1312)2(;54)1(1111111 nnnnnnnnnnnn）（判判斷斷下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性例例;sin)3(;)1()2(;)1()1(212123111 nnnnnnnnn 斂斂與與條條件件收收斂斂性性判判斷斷下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的絕絕對(duì)對(duì)收收例例 12121112)1()4(12)3(12)1()2(12)1(3nnnnnnnnnnnn有

20、有（）下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中條條件件收收斂斂的的例例（絕對(duì)收斂的、發(fā)散的）（絕對(duì)收斂的、發(fā)散的）的的收收斂斂域域；）求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)（解解下下列列各各題題例例nnnxn 121)1(14。的的收收斂斂域域）求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)（;21nnxn 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)xexxxgxxfx 32,31)(,11)()3(八、多元函數(shù)微積分學(xué)八、多元函數(shù)微積分學(xué)1、基本理論、基本理論空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系（坐標(biāo)系、兩點(diǎn)間的距離公式）；（坐標(biāo)系、兩點(diǎn)間的距離公式）；常見空間曲面的方程和圖形常見空間曲面的方程和圖形（平面、球面、柱面、拋（平面、球面、柱面、拋物面、馬鞍面、錐面）；物面

21、、馬鞍面、錐面）；多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念（函數(shù)定義、圖形），極限，連續(xù)性；（函數(shù)定義、圖形），極限，連續(xù)性；多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分（偏導(dǎo)數(shù)定義、記號(hào)、全（偏導(dǎo)數(shù)定義、記號(hào)、全微分的定義、記號(hào)）微分的定義、記號(hào)）及其計(jì)算及其計(jì)算，二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件的條件，多元函數(shù)的無(wú)條件極值的必要條件、充分條多元函數(shù)的無(wú)條件極值的必要條件、充分條件，條件極值的拉格朗日乘數(shù)法；件，條件極值的拉格朗日乘數(shù)法；二重積分的概念二重積分的概念（幾何背景、定義、性質(zhì)、），（幾何背景、定義、性質(zhì)、），二重二重積分的計(jì)算積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)計(jì)算）。（直角坐標(biāo)與極坐

22、標(biāo)計(jì)算）。2、典型例題、典型例題23)2(5cossin11yxxezyxyxzxy ）（全全微微分分求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)與與例例;1lnln)(12dxdyxyxyxyy求求確確定定，由由方方程程）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)（計(jì)計(jì)算算下下列列各各題題例例 ;ln),(2xzexxyzyxzzz 確定，求確定，求由方程由方程）設(shè)函數(shù)）設(shè)函數(shù)（的的偏偏彈彈性性。和和關(guān)關(guān)于于的的變變化化率率以以及及和和勞勞動(dòng)動(dòng)力力關(guān)關(guān)于于資資金金求求產(chǎn)產(chǎn)量量計(jì)計(jì)算算道道格格拉拉斯斯函函數(shù)數(shù)）設(shè)設(shè)有有生生產(chǎn)產(chǎn)函函數(shù)數(shù)（柯柯布布例例LKQLKQLQLKQKLAKLKQQ)2(;)1(),10(),(31 的的極極值值；）求求函函數(shù)數(shù)（解解下下列列極極值值問問題題例例22)(414yxyxz 相相距距最最近近；上上的的點(diǎn)點(diǎn)，使使它它與與直直線線）求求拋拋物物線線（04422 yxxy圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域；由由）（計(jì)計(jì)算算下下列列二二重重積積分分例例1, 0,:,)6()2(;10 , 10),(,)(152 xyxyDdxdyyxyxyxDdxdyeyxDDy圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。由由）