函數(shù)值域的求法大全

1、題型一求函數(shù)值：特別是分段函數(shù)求值例1已知f(X)=T1-(xR,且xw1),g(x)=x2+2(xeR).Ix(1)求f(2),g(2)的值；(2)求fg(3)的值.111解f(x)=小，(2)=3.又g(x)=x2+2,.g(2)=22+2=6.(2)g(3)=32+2=11,11fg(3)=f(11)=1711-反思與感悟求函數(shù)值時(shí)，首先要確定出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系f的具體含義，然后將變量代入解析式計(jì)算，對(duì)于fg(x)型的求值，按“由內(nèi)到外”的順序進(jìn)行，要注意fg(x)與gf(x)的區(qū)別.x+1跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=.xi2(1)求f(2);(2)求ff(1).解(1)x+1f (x)=

2、-' x x + 22+ 1 3f (2) = =:.')2+2 4258.二十1(2) f(1)2 3ff(1)=f(3)=2一3 23+25.已知函數(shù)f(x)=x2+x1.(1)求f(2),f(J);x(2)若f(x)=5,求x的值.21 f(x)解(1)f(2)=2+2-1=5,21+xx2x(2)f(x)=x2+x1=5,.x2+x6=0,.x=2,或x=3.4.函數(shù)f(x)對(duì)任意自然數(shù)x滿足f(x+1)=f(x)+1,f(0)=1,則f(5)=答案6解析f(1)=f(0)+1=1+1=2,f(2)=f(1)+1=3,f(3)=f(2)+1=4,f(4)=f(3)+1=

3、5,f(5)=f(4)+1=6.二、值域是函數(shù)y=f（x）中y的取值范圍。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）圖象法（數(shù)形結(jié)合）（3）函數(shù)單調(diào)性法（4）配方法（5）換元法（包括三角換元）（6）反函數(shù)法（逆求法）（7）分離常數(shù)法（8）判別式法（9）復(fù)合函數(shù)法（10）不等式法（11）平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終。求值域問題利用常見函數(shù)的值域來求（直接法）一次函數(shù)y=ax+b（a0）的定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽ky(k0)反比例函數(shù)x的定義域?yàn)閤|x0，值域?yàn)閥|y0;2二次函數(shù)f(x)axbxc(a°)的定義域?yàn)镽,y| y當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)?4ac b2)4a ；

4、當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閥 |y (4ac b2) 4a .例1求下列函數(shù)的值域 y=3x+2(-1 x 1)不2 f(x)二(1x3) 3x小1y x (記住圖像)xB：.一-13x 3, -13x+25,即-15,，值域是-1,5略D 當(dāng) x>0 y(Vxx2 2,當(dāng)x<0時(shí),)=-Gx值域是(22+ ).(此法也稱為配方法)函數(shù)y x1 ，一的圖像為:x二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最彳1)：例2求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：yx24x1;；yx24x1,x3,4yx24x1,x0,1;yx24x1,x0,5;解：:yx24x1(x2)23,頂點(diǎn)為(2,-3),頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.

5、拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R,，x=2時(shí)，ymin=-3,無最大值；函數(shù)的值域是y|y-3.頂點(diǎn)橫坐標(biāo)23,4,當(dāng)x=3時(shí)，y=-2;x=4時(shí)，y=1;.在3,4上，ymin=-2,ymax=1；值域?yàn)?2,1.,頂點(diǎn)橫坐標(biāo)20,1,當(dāng)x=0時(shí)，y=1;x=1時(shí)，y=-2,.在0,1上，Ymin=-2,ymax=1；值域?yàn)?2,1.,頂點(diǎn)橫坐標(biāo)20,5,當(dāng)x=0時(shí)，y=1;x=2時(shí)，y=-3,x=5時(shí)，y=6,在0,1上，Ymin=-3，Ymax=6;值域?yàn)?3,6.注：對(duì)于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0),若定義域?yàn)镽時(shí)，當(dāng)a>0時(shí)，則當(dāng)x旦時(shí)，其最小值v(4ac昌；2aYmi

6、n4a當(dāng)a<0時(shí)，則當(dāng)x上時(shí)，其最大值y(4ac川;2a4a若定義域?yàn)閤a,b,則應(yīng)首先判定其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x0是否屬于區(qū)間a,b.若Xoa,b,則f(x0)是函數(shù)的最小值(a>0)時(shí)或最大值(a<0)時(shí)，再比較f(a),f(b)的大小決定函數(shù)的最大(小)值.若Xoa,b,則a,b是在f(x)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較f(a),f(b)的大小即可決定函數(shù)的最大(小)值.注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大(小)值；當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時(shí)，則應(yīng)根據(jù)其對(duì)應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論.練習(xí)：1、求函數(shù)y=3+J23X的值域解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知J23x>0,故3+

7、，23x>3。.,函數(shù)的值域?yàn)?,.22、求函數(shù)yX2x5,x0,5的值域x1時(shí)，ymin4解：對(duì)稱軸x10,5x5時(shí)，ymax20值域?yàn)?,201單調(diào)性法例3求函數(shù)y=4x<13x(x&1/3)的值域。設(shè)f(x)=4x,g(x)=#3x,(x<1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x-,13x在定義域?yàn)閤<1/3上也為增函數(shù)，而且yWf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)閥|yW4/3。小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而

8、可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)丫=3+"的值域。(答案：y|y>3)2換元法例4求函數(shù)yx2V1x的值域解：設(shè)JT_Xt,則yt22t1(t0)對(duì)稱軸t10,，且開口向下當(dāng)t1時(shí)，ymax2值域?yàn)?2點(diǎn)評(píng)：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=VX1x的值域。(答案：y|yw3/4求1Wx的值域;sinxcosx例5(三角換元法)求函數(shù)yx,1x2的值域解：1x1設(shè) x cos0,ycossincossin2sin()1,2原函數(shù)的值域?yàn)?,.2小結(jié)：(1

9、)若題目中含有a1,則可設(shè)asin,(或設(shè)acos,0)22(2)若題目中含有a2b21則可設(shè)acos,bsin,其中02(3)若題目中含有jx2,則可設(shè)xcos,其中0(4)若題目中含有V1x2,則可設(shè)xtan,其中一一220，2（5）若題目中含有xyr（x0y0rQ,則可設(shè)x、；rcoS,y<rsir2其中3平方法例5(選)求函數(shù)yJx355x的值域解：函數(shù)定義域?yàn)椋簒3,5y2(x3)(5x)2Vx28x15由x3,5,得x28x150,1y22,4原函數(shù)值域?yàn)镴2,24分離常數(shù)法例6 求函數(shù)y的值域小結(jié)：已知分式函數(shù)ya-b（c0）,如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對(duì)變量cxd的要

10、求）內(nèi)，值域?yàn)閥ya；如果是條件定義域（對(duì)自變量有附加條件）cadb采用部分分式法將原函數(shù)化為y亙陞（adbc）,用復(fù)合函數(shù)法來ccxd求值域。練習(xí)求函數(shù)y空的值域4x63x求函數(shù)y的值域3x1求函數(shù)y=21的值域；（yC（-1,1）2x1例7求yx3x1的值域解法一：（圖象法）可化為 y4,x122x,1x3如圖,4,x3-1觀察得彳1域y4y4-4解法二：（不等式法）x3x1|(x3)(x1)4x3|x1(x1)4x1|x14|x同樣可得值域4練習(xí)：yxx1的值域1,例8求函數(shù)y9x3x2(x0,1)的值域解：（換元法）設(shè)3xt,則1t3原函數(shù)可化為1yt2t2,對(duì)稱軸t-1,3t1時(shí)，y

11、min2;t3時(shí)，丫(82值域?yàn)?,8例9求函數(shù)yx22x的值域解：（換元法）令tx22x(x1)2(t1)由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知,原函數(shù)的值域?yàn)槔?0求函數(shù)y2x(x0）的值域解：（圖象法）如圖,值域?yàn)?,1（換元法）設(shè)3x3x113x1原函數(shù)的值域?yàn)?,1例13函數(shù)y2x2x的值域解法一:（逆求法）原函數(shù)的值域?yàn)?,1解法二：（換元法）設(shè)x2解法三:原函數(shù)值域即得（判別式法）原函數(shù)可化為（y1）x21）y1時(shí)不成立2)y1時(shí)， 00 4(y1)(y 1)01y 1t 2(x 1)2 1 1綜合i）解法四:例14解法解法2)值域y|（三角換元法）求函數(shù)y1,2tan1tan2tancos2原函

12、數(shù)的值域?yàn)閥|15-的值域2x24x3:（判別式法）1)y0時(shí),2)y0時(shí),1化為2yx24yx(3y5)不成立(4y)8y(3y5)0綜合1）、2）（復(fù)合函數(shù)法）值域y|05令2x24x32cos21,10y5所以，值域y|0 y 51.一例15函數(shù)yx-1的值域x解法一：（判別式法）原式可化為1解法二：（不等式法）1）當(dāng)x0時(shí)，x2y3x2）x0時(shí)，綜合1）2）知，原函數(shù)彳1域?yàn)椋?3,一,，一一x22x2例16（選）求函數(shù)y（x1）的值域x1解法一：（判別式法）原式可化為x2（2y）x2y00（2y）24（2y）0y2或y2x1y2舍去原函數(shù)值域?yàn)?,（x1）211_解法二：（不等式法）

13、原函數(shù)可化為y（x口1x12（x1）x1x1當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)，故值域?yàn)?,x22x2例17 （選）求函數(shù)x一3二(2x2)的值域x1解：（換元法）令x 1t ,則原函數(shù)可化為小結(jié)：已知分式函數(shù)y判別式法求值域; 以化為ax2bxc,22c、-(ad0),如果在其自然定義域內(nèi)可采用dx2exf如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可一次式、y一、)的形式，采用部分分式法，進(jìn)而用基本不等式法求儀式出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)ayx(x0)的單調(diào)性去解。x利用判別式求值域時(shí)應(yīng)注意的問題用判別式法求值域是求函數(shù)值域的常用方法，但在教學(xué)過程中，很多

14、學(xué)生對(duì)用判別式求值域掌握不好。一是不理解為什么可以這樣做，二是學(xué)生對(duì)哪些函數(shù)求值域可以用判別式法，哪些函數(shù)不能也比較模糊。本人結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剬?duì)本內(nèi)容的一點(diǎn)體會(huì)。一、判別式法求值域的理論依據(jù)x2x.例1、求函數(shù)yT的值域x2x1象這種分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)可以考慮用判別式法求值域。2解：由y-x匚得:x2x1(y-1)x2+(1-y)x+y=0上式中顯然ywl,故式是關(guān)于x的一元二次方程(1y)24y(y1)1一令0,解得y1,又y13V2y-x匚的值域?yàn)?,1x2x13但在用判別式法求值域時(shí)經(jīng)常出用判別式法求函數(shù)的值域是求值域的一種重要的方法,錯(cuò)，因此在用判別式求值域時(shí)應(yīng)注

15、意以下幾個(gè)問題：一、要注意判別式存在的前提條件，同時(shí)對(duì)區(qū)間端點(diǎn)是否符合要求要進(jìn)行檢驗(yàn)x2x1例：求函數(shù)y2的值域。2x22x3錯(cuò)解：原式變形為(2y1)x2(2y1)x(3y1)0(*)_931xR,.(2y1)24(2y1)(3y1)0,解得喧y：31故所求函數(shù)的值域是2，11021 11錯(cuò)因：把y一代入方程(*)顯然無解，因此y不在函數(shù)的值域內(nèi)。事實(shí)上，y2 22時(shí)，方程(*)的二次項(xiàng)系數(shù)為0,顯然不能用“”來判定其根的存在情況。正解：原式變形為(2y1)x2(2y1)x(3y1)0(*)1(1)當(dāng)y一時(shí)，方程(*)無解；21-八2(2)當(dāng)y時(shí)，xR,.(2y1)24(2y1)(3y1)0

16、,解得2110-O231、(1)、(2)知此函數(shù)的值域?yàn)閝，1)102、注意函數(shù)式變形中自變量的取值范圍的變化x24x3例2:求函數(shù)y-的值域。x2x6錯(cuò)解：將函數(shù)式化為（y1）x2（y4）x（6y3）0（1）當(dāng)y1時(shí)，代入上式得3x90,x3,故y1屬于值域；當(dāng)y1時(shí)，（5y2）20,綜合（1）、（2）可得函數(shù)的值域?yàn)閥R。錯(cuò)因：解中函數(shù)式化為方程時(shí)產(chǎn)生了增根（x3與x2雖不在定義域內(nèi)，但是方程的根），因此最后應(yīng)該去掉x3與x2時(shí)方程中相應(yīng)的y值。所以正確答案為y|y1,且y2。5三、注意變形后函數(shù)值域的變化例3:求函數(shù)yxV1x2的值域。22錯(cuò)解：由已知得yxWx2，兩邊平方得（yx）1x

17、整理得2x22yxy210,由（2y）28（y21）0,解得V2yJ2。故函數(shù)得值域?yàn)镴5,J2。錯(cuò)因：從式變形為式是不可逆的，擴(kuò)大了y的取值范圍。由函數(shù)得定義域?yàn)?,1易知yx1,因此函數(shù)得最小值不可能為J2o.x1時(shí)，y1,ymin1,故函數(shù)的值域應(yīng)為1,收。四、注意變量代換中新、舊變量取值范圍的一致性x24例4:求函數(shù)y2的值域。x5錯(cuò)解：令tVx24,則y-2-t,.yt2ty0,由14y20及y0t211得值域?yàn)閥(0。2錯(cuò)因：解法中忽視了新變元t滿足條件t2。，設(shè)f(t)yt2ty,y0,t2,),Qy0,、22f(2)0或f(2)00y。故函數(shù)得值域?yàn)?0,。5522y綜上所述，

18、在用判別式法求函數(shù)得值域時(shí)，由于變形過程中易出現(xiàn)不可逆得步驟，從而改變了函數(shù)得定義域或值域。因此，用判別式求函數(shù)值域時(shí)，變形過程必須等價(jià)，必須考慮原函數(shù)得定義域，判別式存在的前提，并注意檢驗(yàn)區(qū)間端點(diǎn)是否符合要求。練習(xí)：,211、yx9(x0);xo11o解：x0,yx9(x-)11,y11.xx1另外，此題利用基本不等式解更簡捷：yx2-2-92911(或利用對(duì)勾函數(shù)x圖像法)y-22x24x30<y5.3、求函數(shù)的值域 y x v2x ； y 2 , 4x x2解：令uJ2x0,則x2u2,原式可化為y2u2u(u1)29,24.u0,.y9,，函數(shù)的值域是(-,2.44解：令t=4x

19、x20得0x4在此區(qū)間內(nèi)(4xX2)max=4，(4xX2)min=0，函數(shù)y2V4xx2的值域是y|0y24、求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域.2x1(x1)解法1:將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：y3(1x2),畫出它的圖象(下圖)，2x1(x2)由圖象可知，函數(shù)的值域是y|y3.解法2:函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩定點(diǎn)-1,2的距離之和，易見y的最小值是3,.函數(shù)的值域是3,+.如圖5、求函數(shù)y2x44皮的值域解：設(shè)tV1x則t0x=1t2代入得 y f (t) 2 (1 t2) 4t_2_22t 4t 22(t 1)4-t0y45x66、(選)求函數(shù)y56的值域x

20、62萬法一：去分母得(y1)x+(y+5)x6y6=0當(dāng)y1時(shí).xR.=(y+5)2+4(y1)X6(y+1)0由此得（5y+l）（有一個(gè)根時(shí)需驗(yàn)證）時(shí)65)（代入求根） 2 定義域 x| x3再檢驗(yàn)y=1代入求得x=22綜上所述，函數(shù)y 二x5x 6的值域?yàn)?y| y15方法二：把已知函數(shù)化為函數(shù)(x 2)(x 3)(x 2)(x 3)6(x 2)x 3由此可得y 1,x=2時(shí)1r1 一，即y /.函數(shù)y55x5x6j.心、-的值域?yàn)?y|xx615函數(shù)值域求法十一種1 .直接觀察法對(duì)于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例1.求函數(shù)的值域。解：;顯然函數(shù)的值域是:例2.求函數(shù)的值域。

21、解：;故函數(shù)的值域是：2. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一例3.求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí),，當(dāng)時(shí),故函數(shù)的值域是：4，83. 判別式法例4.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程(1) 當(dāng)時(shí)，解得：(2)當(dāng)y=1時(shí)，而故函數(shù)的值域?yàn)槔?.求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時(shí)的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0,2上，即不能確保方程（1）有實(shí)根，由求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)??？梢圆扇∪缦路椒ㄟM(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。代入方程（1）解得：即當(dāng)

22、時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河膳袆e式法來判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例6.求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：則其反函數(shù)為：，其定義域?yàn)椋汗仕蠛瘮?shù)的值域?yàn)椋?. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。例7.求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：解得：故所求函數(shù)的值域?yàn)槔?.求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：故函數(shù)的值域?yàn)?. 函數(shù)單調(diào)性法例9.求函數(shù)的值域。解：令則在2，10上都是增函數(shù)所以在

23、2，10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時(shí)，當(dāng)x=10時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋豪?0.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域?yàn)?. 換元法通過簡單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例11.求函數(shù)的值域。解：令，則又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)槔?2.求函數(shù)的值域。解：因即故可令故所求函數(shù)的值域?yàn)槔?3.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而此時(shí)有意義。故所求函數(shù)的值域?yàn)榻猓毫?，則由且可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椤＠?5.求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡單，一目了然，賞心悅目。例16.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P(x)到定點(diǎn)A(2),間的距離之和由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段A由勺延長線或反向延長線上時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋豪?7.求函數(shù)的值域。解：原