數(shù)學建模線性方程組

1、一 問題重述和分析房地產(chǎn)價格問題一直是引起廣泛爭論的熱點問題。關(guān)于目前中國的房地產(chǎn)價格，老百姓普遍認為太貴、天價，所以，當?shù)禺a(chǎn)商華遠集團總裁任志強在博鰲論壇上拋出“30年間，和工資收入相比，房子等于沒有漲價”的所謂“房價沒漲論”后，立即激起輿論圍攻。有人號召全國的老百姓聯(lián)合起來，不買任志強們的房子，讓房地產(chǎn)商們的房子閑著、爛著、空置著，看他們能挺到什么時候？看他們還忽悠房價上漲不？高房價厭惡者反對一切看漲。 中國社科院日前日發(fā)布2009房地產(chǎn)藍皮書認為，今年上半年房價總體下行，下半年市場有回暖可能?！盎嘏庇^點一出，毫無疑問地遭到網(wǎng)友一致炮轟，認為其“言過其實”。只有傾聽更多理性的聲音，才能幫

2、助百姓理性地理解房價、最終準確地判斷房價的走勢。下文中，我們收集全國房地產(chǎn)的相關(guān)數(shù)據(jù)和長春市房地產(chǎn)的相關(guān)數(shù)據(jù)，分析確定影響房屋銷售價格的主要因素，并建立全國房地產(chǎn)價格預(yù)測模型。利用本模型對長春市房價做了預(yù)測。二 模型假設(shè)與符號說明影響房價的因素很多，如人口數(shù)量、建房成本、GDP、儲蓄存款、人均可支配收入、消費者需求因素、房地產(chǎn)的住宅總投資、房地產(chǎn)每年的竣工面積、銀行利率、供需關(guān)系等因素有關(guān)。1） 假設(shè)房價與建房成本、人均GDP、人均儲蓄存款、人均可支配收入呈線性關(guān)系；2） 房屋建造成本用全國每年住宅的投資額與房地產(chǎn)竣工面積或者房地產(chǎn)總投資及每年開工面積來衡量；3） 全國經(jīng)濟發(fā)展用人均GDP來衡

3、量；4） 房價購買能力用人均儲蓄存款、人均可支配收入來表示5） 消費者心理因素如對房價的期望忽略；消費者對房屋無偏好，如無學校、公園等；6） 假設(shè)銀行利率每年保持穩(wěn)定，房屋供需處于平衡狀態(tài)；7） 忽略一些配套設(shè)施對建房成本的影響，忽略人為的炒作和政府調(diào)控。本文遇到的符號說明符號符號表示的意義符號符號表示的意義第一個自變量，表示第i年的人均可支配收入（元）,. 自變量 的系數(shù)參數(shù)第二個影響房價的自變量，表示第i年的人均GDP（元）.自變量，的系數(shù)參數(shù)第三個影響房價的自變量，表示第i年的房屋造價（元/平）自變量的系數(shù)參數(shù)第四個影響房價的自變量，表示第i年的人均儲蓄額（元）自變量的系數(shù)參數(shù)為一年的人

4、均可支配收入（元）。以上求得的所有的平均值。為一年的人均GDP（元）以上求得的所有的平均值。為一年的房屋造價（元/平）以上求得的所有的平均值。為一年的人均儲蓄額（元）以上求得的所有的平均值模型中的房價值因變量，表示第i年的均衡房價三 模型的建立及求解1. 模型建立由于房價與建房成本、人均GDP、人均儲蓄存款、人均可支配收入呈線性關(guān)系，而它們的線性的組合仍為線性，故我們選用多元線性方程來建立此模型。用最小二乘法對房價和影響房價的各個因素進行線性擬合，得到結(jié)果如下：1） 房價（y）與人均可支配的收入（）之間的關(guān)系回歸方程: y=0.2126+560. 相關(guān)系數(shù): r=0.154 正相關(guān)很強. 相關(guān)

5、指數(shù): R2=0.9722 回歸效果很好. 殘差平方和: 106958.2） 房價（y）與建房成本（）之間的關(guān)系回歸方程: y=1.472+196. 相關(guān)系數(shù): r=0.541 正相關(guān)很強. 相關(guān)指數(shù): R2=0.779 回歸效果很好. 殘差平方和: 183385.3） 房價（y）與人均GDP（）之間的關(guān)系回歸方程: y=0.0064+768. 相關(guān)系數(shù): r=0.149 正相關(guān)很強. 相關(guān)指數(shù): R2=0.018 回歸效果很好. 殘差平方和: 48558.4) 房價（y）與人均人均儲蓄存款（）之間的關(guān)系 回歸方程: y=0.9139+978. 相關(guān)系數(shù): r=0.9741 正相關(guān)很強. 相關(guān)

6、指數(shù): R2=0.645 回歸效果很好. 殘差平方和: 195697.根據(jù)以上結(jié)果，我們建立以下模型，具體表達式為： = +利用各年數(shù)據(jù)， 通過解線性方程組，確定自變量的系數(shù)，即求，的值。2模型求解全國平均房價與各量的數(shù)據(jù)如下表所示年份19975160.36388.11235.03743.5179019985425.16765.11473.64280.8185419995888.87188.01495.74739.9185720006279.97828.01607.55075.8194820016907.18591.81544.45779.5201720027702.89367.81607.4

7、6765.9209220038472.210510.41634.48018.2219720049500.512299.52081.09197.42608200510493.614002.02033.210787.32937200611769.516042.22442.812292.93119200713785.818885.32970.913058.03645注：以上數(shù)據(jù)來自中國統(tǒng)計年鑒，國家統(tǒng)計局和中國人民銀行網(wǎng)站全國平均房價與各量的關(guān)系如下圖所示將以上數(shù)據(jù)分組，帶入如下公式= +解得的結(jié)果如下圖所示：i 的取值年份199720000.793836-0.2051551.20755-0.664

8、405199820013.852870.607445-3.25961-4.28758199920020.898125-0.1345430.0898133-0.548348200020030.04363140.2557880.378429-0.184529200120040.09717180.2774890.201285-0.23343920022005-0.01307770.658785-0.365051-0.501317200320060.1821794.33713-4.49986-4.68644200420070.703143-0.180224-0.633811-0.0583408從上表中

9、分析數(shù)據(jù)，和呈正相關(guān)。和的值呈負相關(guān)。對的處理，去掉其中偏差最大的數(shù)據(jù)和最小的那個值；對的處理，舍棄偏差最大的數(shù)值，之后取平均；對的處理，舍棄負值和偏差較大的值；對的處理，舍棄偏差較大的值和絕對值最小的值。從而解得： = 0.453014 = 0.182798 = 0.289857 = -0.426408于是，房價與建房成本、人均GDP、人均儲蓄存款、人均可支配收入的關(guān)系為： = (0.453014)+ (0.182798)+ (0.289857)- (0.426408)3.模型的修正利用上述所建模型對房價的求解與實際數(shù)據(jù)的對比，具體如下表所示：年份1997199819992000200120

10、0220032004200520062007模型解2267.352296.062394.072577.752682.812782.752813.833233.73303.093730.714990.44實際數(shù)據(jù)17901854185719482017209221972608293731193645偏差477.35442.06537.03629.75665.81690.75616.83625.7366.09611.711345.44 對偏差處理，去掉最大的和最小的取平均值，得常數(shù)b = 588.55 經(jīng)過修正后的模型結(jié)果為： = (0.453014)+ (0.182798)+ (0.289857

11、)- (0.426408)+ 588.55四 模型結(jié)果的檢驗與分析1）模型結(jié)果的檢驗利用上述所建模型對房價的求解與實際數(shù)據(jù)的對比，具體如下表所示：年份19971998199920002001200220032004200520062007模型解1678.81707.511805.521989.22094.262194.22225.282645.152714.543142.164401.89實際數(shù)據(jù)17901854185719482017209221972608293731193645誤差0.0620.0790.0280.0210.0380.0490.0120.01400760.0070.207

12、2）模型結(jié)果的分析 利用修正后的模型求解，比較接近真實值。產(chǎn)生誤差的原因是房價還受其他很多因素影響，如銀行利率、供需關(guān)系、人的心理、城市化、國家對房價的調(diào)控等，在建模過程中，忽略了這些因素影響。此外，數(shù)據(jù)波動不一定全部符合線性模型。五 利用已建立的模型對長春市房價討論1. 影響長春市房價的各個變量的預(yù)測1）對長春市人均可支配收入的預(yù)測對長春市人均可支配收入的預(yù)測，采用最小二乘法對房價進行2次多項式逼近，進而預(yù)測以后各年房價。用1代替起始年份1990年,2代替1991，,用n代替（起始年份+ n-1）。具體操作如下：長春市人均可支配收入關(guān)于年份的擬合（1990年2008年）12345678910

13、y1268.3141517132029258033053939455047505110111213141516171819y5550633969637905890010065113581281115003擬合曲線為：y= 1523.+18.71+33.632長春市人均可支配收入關(guān)于年份的預(yù)測結(jié)果（元）年份2009201020112012人均可支配收入的預(yù)測15346.516743.618207.919739.52）長春市人均生產(chǎn)總值關(guān)于年份的預(yù)測對長春市人均生產(chǎn)總值的預(yù)測，采用最小二乘法對房價進行1次多項式逼近，進而預(yù)測以后各年房價。人均生產(chǎn)總值（元）關(guān)于年份的擬合年份199019911992

14、1993199419951996生產(chǎn)總值1652174524043388492554157265年份1997199819992000200120022003生產(chǎn)總值795990621072211760142741622018704擬合曲線為：y=1290.-2567257.2967033長春市人均生產(chǎn)總值關(guān)于年份的預(yù)測結(jié)果年份200420052006200720082009201020112012人均生產(chǎn)總值17924.719214.720504.721794.823084.824374.825664.826954.828244.83） 長春市人均儲蓄余額關(guān)于年份的預(yù)測 人均儲蓄的預(yù)測，采用最

15、小二乘法對房價進行1次多項式逼近，進而測以后各年房價。人均儲蓄（元）關(guān)于年份的擬合年份1996199719981999200020012002人均儲蓄4938.45712.66007.36971.67674.48653.610668.8擬合曲線為：y=883.-1759048.31785714長春市人均儲蓄關(guān)于年份的預(yù)測結(jié)果年份2003200420052006200720082009201020112012預(yù)測人均儲蓄10766.711650.312533.913417.51430115184.616068.216951.817835.4187194) 長春市建房成本關(guān)于年份的預(yù)測建房成本的預(yù)

16、測，采用最小二乘法對房價進行1次多項式逼近，進而預(yù)測以后各年房價。建房成本（元）關(guān)于年份的擬合2001200220032004200520062007y793.31058.11358.11369.71576.92124.43141.6擬合曲線為：y=335.-670874.長春市建房成本關(guān)于年份的預(yù)測結(jié)果年份20082009201020112012預(yù)測建房成本2974.063309.643645.223980.84316.395）長春市平均房價關(guān)于年份的預(yù)測對長春市平均房價的預(yù)測，采用最小二乘法對房價進行2次多項式逼近，進而預(yù)測以后各年房價。用1代替起始年份2001年,2代替2002年，,用8

17、代替2008年。具體操作如下：長春市平均房價關(guān)于年份的預(yù)測12345678y22402373214621712371260931013530擬合曲線為y= 2597.-306.1+52.32長春市平均房價關(guān)于年份的預(yù)測結(jié)果年份2009201020112012預(yù)測房價4125.164824.025628.76539.22利用上面所建模型和預(yù)測數(shù)據(jù)對長春房價進行預(yù)測求解，結(jié)果如下：利用所建模型和預(yù)測數(shù)據(jù)對長春房價預(yù)測結(jié)果年份2009201020112012模型解4927.025516.236135.886786.033 房價分析及建議通過對所建模型分析，對比平均房價關(guān)于年份的擬合情況。我們看到影響

18、房價的各個因素，如建房成本、人均GDP、人均儲蓄存款、人均可支配收入等呈上升趨勢，若沒有政府調(diào)控，房價勢必會不斷上漲。從模型結(jié)果來看，2010年平均房價為5516元/平米，2011年為6135元/平米。不過在2010年國家連續(xù)出臺控制房價政策，故房價應(yīng)該不會上漲很高。2011年房價應(yīng)該會在5000元/平米6000元/平米之間擺動。逼近房價與模型房價的比較圖六 模型的優(yōu)缺點分析與改進方向1） 本模型依賴于線性方程構(gòu)建的想法，模型建立之后進行了修正，得到的結(jié)果比較符合實際。方案簡潔明了，易于操作；2） 本模型建立過程中運用了多種方式進行評估，如：最小二乘法、mathematics軟件求解等以保證結(jié)

19、果有高的精度；3） 本模型建立過程中忽略了眾多因素對房價的影響，如供需關(guān)系、國家調(diào)控、人們的心理波動等，導(dǎo)致模型的結(jié)果與真實值之間存在一定誤差；4） 本模型建立過程中考慮各個因素與房價呈線性關(guān)系，但實際上線性關(guān)系不一定是比較好的選擇，還可以考慮2次、多次等關(guān)系，所建立的模型會更加復(fù)雜。5） 模型建立過程中，適當在加入一些參數(shù)可能會使模型更加精細，更符合實際情況。參考文獻：【1】姜啟源、謝金星、葉俊 數(shù)學模型（第三版） 高等教育出版社 2010年6月【2】李慶揚、王能超、易大義數(shù)值分析（第五版）清華大學出版社 2010年5月【3】王華欣 我國房地產(chǎn)價格及其影響因素分析 中國知網(wǎng) 2009年4月建

20、模分工情況學號姓名建模貢獻龔 鵬全程參與，貢獻相同，占33.3%向 鵬全程參與，貢獻相同，占33.3%張旭棟全程參與，貢獻相同，占33.3%附錄一：長春市房地產(chǎn)價格報告隨著經(jīng)濟的逐年發(fā)展，人均GDP、儲蓄和人均可支配收入等在逐年增加，再加上建房成本的逐年上升，商品房的價格也突飛猛進，接連邁上新的臺階。對于大多數(shù)人來說，買房已經(jīng)成為他們身上的一個沉重的負擔，以致只能望房興嘆。在排除了一些因素對房地產(chǎn)價格的影響以后，我們對長春市近幾年與房地產(chǎn)價格發(fā)展關(guān)系比較大的因素的數(shù)據(jù)進行了收集和處理，并用全國房價預(yù)測模型對長春市的房價發(fā)展趨勢進行了預(yù)測。以下就是近些年來長春市人均GDP、人均儲蓄、人均可支配收

21、入以及建房成本和房價的變化圖：下圖為長春市房地產(chǎn)的價格預(yù)測結(jié)果圖：從預(yù)測的結(jié)果可以看出，長春市房地產(chǎn)價格的發(fā)展仍然處于較強的增長狀態(tài)，而沒有減弱的趨勢，這直接導(dǎo)致了廣大市民對房地產(chǎn)業(yè)持觀望態(tài)度，也讓人擔心由于房地產(chǎn)業(yè)過熱而產(chǎn)生泡沫，從而對其他行業(yè)產(chǎn)生影響。特別是在金融危機時期，國外大量的熱錢正蠢蠢欲動，隨時準備進入我國房地產(chǎn)行業(yè)，將泡沫越吹越大，如果到時候熱錢大量抽出逃，房地產(chǎn)泡沫破滅，將對我房地產(chǎn)業(yè)造成致命打擊。因此，國家重拳出擊，接連出臺多項政策，抑制房價的增長。比如，國十條的出臺；加快公租房的建設(shè)，抑制投機需求；全面叫停第三套住房公積金貸款等等。房子問題如今成為人們最為關(guān)心的問題之一，也

22、是民生問題，長春市政府應(yīng)該積響應(yīng)國家對房地產(chǎn)的宏觀調(diào)控，堅定不移的實施國家的各項政策，堅決打擊各種投機，抑制房價增長過快的問題。除此之外，政府還應(yīng)該正確地引導(dǎo)投資商對房地產(chǎn)進行投資，使房地產(chǎn)業(yè)健康快速的發(fā)展。附錄二：全國房產(chǎn)數(shù)據(jù)（19972007）年份人均可支配收入（元）總GDP（億元）儲蓄（億元）住宅投資總額（億元）竣工面積（萬平米）總?cè)丝冢ㄈf人）19975160.378973.0346279.8153938051246512362619985425.184402.2853407.47208156471412612476119995888.889677.0559621.83263847941

23、764112578620006279.999214.5564332.43331198392060312674320016907.1109655.1773762.434216676027303.212762720027702.8120332.6986910.655227756032522.812845320038472.2135822.76103617.396776686112282812922720049500.5159878.34119555.3988369532147364129988200510493.6183084.80141050.99159406.2130756200611769.

24、5210871.0161587.3179673131448200713785.8249529.9172534203992.7132129全國年末人均儲蓄值（元）年份199019911992199319941995199619971998人均儲蓄（元）622.7798.21003.41282.81795.52449.03147.43743.542808年份199920002001200220032004200520062007人均儲蓄（元）4739.95075.85779.56765.98018.29197.410787.312292.913058.0全國人均GDP(元)年份1990199119

25、92199319941995199619971998人均GDP（元）1632.81880.62297.82981.34021.55019.35815.66388.16765.1年份199920002001200220032004200520062007人均GDP（元）7188.07828.08591.89367.810510.412299.514002.016042.218885.3全國平均建房成本（元）年份199719981999200020012002建房成本（元）12351473.6149571607.51544.41607.4年份20032004200520062007建房成本（元）1

26、634.42081.02033.22442.82970.9全國住宅平均售價（元）年份199719981999200020012002售價179018541857194820172092年份20032004200520062007售價21972608293731193645數(shù)據(jù)來源：中國統(tǒng)計年鑒，國家統(tǒng)計局附錄三：長春市房地產(chǎn)數(shù)據(jù)長春市歷年平均水平主要指標統(tǒng)計(1990-2003)年份人均生產(chǎn)總值(元)人均消費水平(元)職工平均工資(元)城市居民人均可支配收入(元)年平均人口1990165288219071268.363220291991174590121071415640229119922404108724411713644184819933388135730062029648385919944925174742712580654268319955415208550133305662395519967265240763703939672034619977959