熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理試題

1、一. 填空題 1. 設(shè)一多元復(fù)相系有個(gè)相，每相有個(gè)組元，組元之間不起化學(xué)反應(yīng)。此系統(tǒng)平衡時(shí)必同時(shí)滿(mǎn)足條件： 、 、 。2. 熱力學(xué)第三定律的兩種表述分別叫做： 和 。3.假定一系統(tǒng)僅由兩個(gè)全同玻色粒子組成，粒子可能的量子態(tài)有4種。則系統(tǒng)可能的微觀態(tài)數(shù)為： 。5.均勻系的平衡條件是 ；平衡穩(wěn)定性條件是 。7.玻色分布表為 ；費(fèi)米分布表為 ；玻耳茲曼分布表為 。當(dāng)滿(mǎn)足條件 .時(shí)，玻色分布和費(fèi)米分布均過(guò)渡到玻耳茲曼分布。8. 熱力學(xué)系統(tǒng)的四個(gè)狀態(tài)量所滿(mǎn)足的麥克斯韋關(guān)系為 , , , 。9. 玻耳茲曼系統(tǒng)粒子配分函數(shù)用表示，內(nèi)能統(tǒng)計(jì)表達(dá)式為 ， 廣義力統(tǒng)計(jì)表達(dá)式為 ，熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式為 ，自由能的統(tǒng)計(jì)表

2、達(dá)式為 。11.單元開(kāi)系的內(nèi)能、自由能、焓和吉布斯函數(shù)所滿(mǎn)足的全微分是： ， ， ， 。12. 均勻開(kāi)系的克勞修斯方程組包含如下四個(gè)微分方程： ， ， ， 。13. 等溫等壓條件下系統(tǒng)中發(fā)生的自發(fā)過(guò)程，總是朝著 方向進(jìn)行，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)；處在等溫等壓條件下的系統(tǒng)中發(fā)生的自發(fā)過(guò)程，總是朝著 . ， 方向進(jìn)行，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)。14.對(duì)于含N個(gè)分子的雙原子分子理想氣體，在一般溫度下，原子內(nèi)部電子的運(yùn)動(dòng)對(duì)熱容量 ；溫度大大于振動(dòng)特征溫度時(shí)，熱容量為 ；溫度小小于轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度時(shí)，熱容量為 。溫度大大于轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度而小小于振動(dòng)特征溫度時(shí)，熱容量為 。15.玻耳茲曼系統(tǒng)的特點(diǎn)是：系統(tǒng)由 粒子

3、組成；粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用 來(lái)描寫(xiě)；確定 即可確定系統(tǒng)的微觀態(tài)；粒子所處的狀態(tài) 的約束。16 準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程是指 的過(guò)程；無(wú)摩擦準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程的特點(diǎn)是 。二. 簡(jiǎn)述題 1. 玻爾茲曼關(guān)系與熵的統(tǒng)計(jì)解釋。2. 寫(xiě)出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的自由能判據(jù)。3. 寫(xiě)出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的熵判據(jù)。4. 熵的統(tǒng)計(jì)解釋。5. 為什么在常溫或低溫下雙原子分子的振動(dòng)對(duì)熱容量貢獻(xiàn)可以忽略？6. 等概率原理。7. 能量均分定理。8. 為什么在常溫或低溫下原子內(nèi)部的電子對(duì)熱容量沒(méi)有貢獻(xiàn)？9系統(tǒng)的基本熱力學(xué)函數(shù)有哪些？什么叫特性函數(shù)？什么叫自然參量。10. 熵的統(tǒng)計(jì)解釋。11試說(shuō)明，在應(yīng)用經(jīng)典理論的能量均分定理求理想氣體的熱容量時(shí)，出現(xiàn)哪些與實(shí)驗(yàn)

4、不符的結(jié)論或無(wú)法解釋的問(wèn)題（至少例舉三項(xiàng)）？12.最大功原理13. 寫(xiě)出能斯特定理的內(nèi)容14什么是近獨(dú)立粒子系統(tǒng)15單元復(fù)相系達(dá)到平衡時(shí)所滿(mǎn)足的相變平衡條件是什么？如果該平衡條件未能滿(mǎn)足，變化將朝著怎樣的方向進(jìn)行？16寫(xiě)出吉布斯相律的表達(dá)式，并說(shuō)明各物理量的含義。17.寫(xiě)玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)統(tǒng)計(jì)表達(dá)式，并說(shuō)明它們之間的聯(lián)系。18. 為什么說(shuō)，對(duì)于一個(gè)處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，可以將粒子的最概然分布視為粒子的平衡態(tài)分布？19試說(shuō)明，在應(yīng)用經(jīng)典理論的能量均分定理求固體熱容量時(shí)，出現(xiàn)哪些與實(shí)驗(yàn)不符的結(jié)論或無(wú)法解釋的問(wèn)題？三. 選擇題1.系統(tǒng)自某一狀態(tài)A開(kāi)始，分別經(jīng)兩個(gè)不同的過(guò)程到達(dá)

5、終態(tài)B。下面說(shuō)法正確的是（A）在兩個(gè)過(guò)程中吸收的熱量相同時(shí)，內(nèi)能的改變就一定相同（B）只有在兩個(gè)過(guò)程中吸熱相同且做功也相同時(shí)，內(nèi)能的改變才會(huì)相同（C）經(jīng)歷的過(guò)程不同，內(nèi)能的改變不可能相同（D）上面三種說(shuō)法都是錯(cuò)誤的2.下列各式中不正確的是（A） （B） （C） （D） 3.吉布斯函數(shù)作為特性函數(shù)應(yīng)選取的獨(dú)立態(tài)參量是（A）溫度和體積 （B）溫度和壓強(qiáng)（C）熵和體積 （D）熵和壓強(qiáng)（D）孤立的系統(tǒng)4.費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的巨配分函數(shù)用表示，則熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式是（A） （B）（C） （D）5.自由能作為特性函數(shù)應(yīng)選取的獨(dú)立態(tài)參量是（A）溫度和體積 B）溫度和壓強(qiáng) （C）熵和體積 （D）熵和壓強(qiáng)6.由熱力學(xué)基本方程

6、可得麥克斯韋關(guān)系（A） （B）（C） （D） 7.將平衡輻射場(chǎng)視為處在平衡態(tài)的光子氣體系統(tǒng)，下面說(shuō)法不正確的是（A）這是一個(gè)玻色系統(tǒng) （B）這是一個(gè)能量和粒子數(shù)守恒的系統(tǒng)（C）系統(tǒng)中光子的分布遵從玻色分布（D）這是一個(gè)非定域系統(tǒng)8.封閉系統(tǒng)指（A）與外界無(wú)物質(zhì)和能量交換的系統(tǒng)（B）能量守衡的系統(tǒng)（C）與外界無(wú)物質(zhì)交換但可能有能量交換的系統(tǒng)9.下列系統(tǒng)中適合用玻爾茲曼分布規(guī)律處理的系統(tǒng)有（A）經(jīng)典系統(tǒng)（B）滿(mǎn)足非簡(jiǎn)并條件的玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)（C）滿(mǎn)足弱簡(jiǎn)并性條件的玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)（D）非定域體系統(tǒng)10. 和分別是雙原子分子的振動(dòng)特征溫度和轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度，下面說(shuō)法正確的是（A）時(shí)，振動(dòng)自由度完全“

7、解凍”，但轉(zhuǎn)動(dòng)自由度仍被“凍結(jié)”。（B）時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度完全“解凍”，但振動(dòng)自由度仍被“凍結(jié)”（C）時(shí)，振動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度均完全“解凍”。（D）時(shí)，振動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度均完全“解凍”。11.氣體的非簡(jiǎn)并條件是（A）分子平均動(dòng)能遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 （B）分子平均距離極大于它的尺度（C）分子數(shù)密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1 （D）分子平均距離遠(yuǎn)大于分子德布羅意波的平均熱波長(zhǎng)12.不考慮粒子自旋，在邊長(zhǎng)L的正方形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的二維自由粒子，其中動(dòng)量的大小處在范圍的粒子可能的量子態(tài)數(shù)為（A） （B） （C） （D）五. 推導(dǎo)與證明1.試用麥克斯韋關(guān)系，導(dǎo)出方程，假定可視為常量，由此導(dǎo)出理想氣體的絕熱過(guò)程方程（常量）。解：，由

8、麥?zhǔn)详P(guān)系，絕熱過(guò)程，理想氣體，積分得（常量）， 故：，即：（常量）2. 證明: 證明：選T, V 為獨(dú)立變量，則 而， 故 3.證明焓態(tài)方程：。證：選T、p作為狀態(tài)參量時(shí)，有 （1） （2）而， （3）（2）代入（3）得： （4）比較（1）、（4）得： （5） （6）將麥?zhǔn)详P(guān)系代入（6），即得4.導(dǎo)出含有N個(gè)原子的愛(ài)因斯坦固體的內(nèi)能和熱容量表達(dá)式： ， 解：按愛(ài)因斯坦假設(shè)，將N個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)視為3N個(gè)線(xiàn)性諧振子的振動(dòng)，且所有諧振子的振動(dòng)頻率相同。諧振子的能級(jí)為：則，振子的配分函數(shù)為： 引入愛(ài)因斯坦特征溫度：，即得：5. 導(dǎo)出愛(ài)因斯坦固體的熵表達(dá)式：解：設(shè)固體系統(tǒng)含有N個(gè)原子，按愛(ài)因斯坦假設(shè)，將N

9、個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)視為3N個(gè)線(xiàn)性諧振子的振動(dòng)，且所有諧振子的振動(dòng)頻率相同。諧振子的能級(jí)為：則，振子的配分函數(shù)為：6.證明，對(duì)于一維自由粒子，在長(zhǎng)度內(nèi)，能量在的范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于一維自由粒子，在相空間體積元內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為。 因此，在長(zhǎng)度內(nèi)，動(dòng)量大小在范圍內(nèi)粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為而，故，在長(zhǎng)度內(nèi)，能量在范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。7. 證明: 證明：， 由全微分條件得：證明：由， 令 得： 8.導(dǎo)出普朗克黑體輻射公式。解：在體積V內(nèi)，動(dòng)量在 范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為因?yàn)?，光子氣體是玻色系統(tǒng)遵從玻色分布，由于系統(tǒng)的光子數(shù)不守恒，每個(gè)量子態(tài)上平均光子數(shù)

10、為又 所以，在體積V內(nèi)，圓頻率在范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為 故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為：9.對(duì)于給定系統(tǒng)，若已知 ，求此系統(tǒng)的物態(tài)方程。解：設(shè)物態(tài)方程為，則 （1） （2）將和代入（2）得 （3）將和（3）代入（1）得積分得： ，即：11.已知?dú)怏w系統(tǒng)通常滿(mǎn)足經(jīng)典極限條件且粒子動(dòng)量和能量準(zhǔn)連續(xù)變化，采用量子統(tǒng)計(jì)方法導(dǎo)出單原子分子理想氣體的內(nèi)能。解：氣體系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布，粒子配分函數(shù)為（對(duì)所有量子態(tài)s求和）當(dāng)粒子能量準(zhǔn)連續(xù)變化時(shí)，上述對(duì)量子態(tài)求和可用空間積分替代。因?yàn)?，?維空間中，范圍內(nèi)的粒子，其可能的量子態(tài)數(shù)為且，粒子的能量為：。所以即， 而 由內(nèi)能的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式 ，得： 12. 證明: 證： （1） （2）（2）代入（1） （3）將麥?zhǔn)详P(guān)系：代入（3）得13. 證明，理想氣體的摩爾自由能為：證明：選T, V 為獨(dú)立變量，則理想氣體的物態(tài)方程為： ， ，故: ， 14.證明，對(duì)于二維自由粒子，在面積內(nèi)，能量在范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于二維自由粒子，在相空間體積元內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為。因此，在面積內(nèi)，動(dòng)量大小在范圍內(nèi)粒子的可能的量