15公因數(shù)與最大公因數(shù)1

1、15公因數(shù)與最大公因數(shù)（1）教學(xué)目標(biāo)：1經(jīng)歷通過實(shí)際問題抽象、概括出概念的過程理解公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義，會(huì)根據(jù)兩個(gè)數(shù)的所有因數(shù)，找出它們的公因數(shù)和最大公因數(shù)2理解互素的意義，會(huì)判斷兩個(gè)數(shù)是不是互素3掌握用分解素因數(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法理解用短除法求最大公因數(shù)的算理，會(huì)用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的三種方法教學(xué)過程：教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)（預(yù)設(shè)）教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、情境引入：思考：植樹節(jié)這天，老師帶領(lǐng)24名女生和32名男生到植物園種樹老師把這些學(xué)生分成人數(shù)相等的若干個(gè)小組，每個(gè)小組中的男生人數(shù)都相等，請問，這56名同學(xué)最多能分成幾組？分析：分成的組數(shù)能整除24

2、和32，也就是24和32的因數(shù)24和32的因數(shù)有哪些？24和32公有的因數(shù)有哪些？最大的一個(gè)公有的因數(shù)是幾？56名學(xué)生最多分幾組？每組中男、女生各幾名？16 321 24 83 612 2424的因數(shù) 32的因數(shù)24和32公有的因數(shù)二、新授：1. 公因數(shù)和最大公因數(shù)的概念幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)有哪些方法呢？2. 例題例題1求18和30的最大公因數(shù)方法一：我們可以把這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)一一列舉出來，再從公共的因數(shù)中找出最大公因數(shù)方法二：上述方法叫做列舉法，我們有沒有更快捷的方法呢？我們可以把18和30分別分解素因數(shù)2和3是18

3、和30的公因數(shù)，對照方法一你能發(fā)現(xiàn)最大公因數(shù)6與2和3之間存在什么樣的關(guān)系嗎?最大公因數(shù)6是18和30所有的素因數(shù)2和3的乘積，那么我們該怎樣歸納方法二呢？歸納：求幾個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)，只要把它們所有公有的素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)方法三：上述方法叫做分解素因數(shù)法，能否邊分解因數(shù)邊找公有的素因數(shù)呢？（教師板書）解：2 18 30 （用公有的素因數(shù)2除）3 9 15 （用公有的素因數(shù)3除） 3 5 （除到兩個(gè)商互素為止）18和30的最大公因數(shù)是2 ×3=6例題2 求48和60的最大公因數(shù)（師生共同完成）（教師板書）3. 練一練（1）求51和85的最大公因數(shù)51可以怎樣分解

4、素因數(shù)？85可以怎樣分解素因數(shù)？歸納：如果不能馬上找出兩個(gè)數(shù)公有的素因數(shù)，可以使用分解素因數(shù)法（2）口答求8和9的所有公因數(shù)，并求它們的最大公因數(shù)4. 兩個(gè)數(shù)互素的概念如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1，那么這兩個(gè)數(shù)互素5. 議一議素?cái)?shù)和互素有什么區(qū)別呢？兩個(gè)不同的素?cái)?shù)一定互素嗎？如果兩個(gè)數(shù)互素，那么這兩個(gè)數(shù)一定都是素?cái)?shù)嗎？在1和2、1和9、1和30這幾對數(shù)中，哪幾對是互素的？在1和2、12和13、23和24這幾對數(shù)中，哪幾對是互素的？在3和5、7和13、17和11這幾對數(shù)中，哪幾對是互素的？上述例子中，能歸納出什么結(jié)論？歸納：以上結(jié)論有助于我們快速判斷兩個(gè)數(shù)是否互素，但除了以上情況外，還存在一些其他情

5、況，如：9和16等互素三、課堂練習(xí)：組1指出下列哪組中的兩個(gè)數(shù)互素？3和5；6和9；14和15；18和12把適當(dāng)?shù)臄?shù)填寫在下面的圈內(nèi)，并回答問題：24的素因數(shù) 36的素因數(shù)24和36公有的素因數(shù)24和36的最大公因數(shù)是 3. 求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)（課本P18/3（1）（4）（1）12和8； （2）45和60；B組 ： *已知：A= 2 × 3 ×m，B= 2 × 3 ×7× m，當(dāng)m=_時(shí)，A、B兩數(shù)的最大公因數(shù)是30. （補(bǔ)充）四、課堂小結(jié)：這節(jié)課你學(xué)到了什么？24的因數(shù)有：1，2，3，4，6，8，12，24；32的因數(shù)有：1，2，4，8

6、，16，3224和32公有的因數(shù)有：1，2，4，8；最大一個(gè)公有的因數(shù)是8最多分8組每組中分別有3名女生和4名男生18的因數(shù)有：1，2，3，6，9，18；30的因數(shù)有：1，2，3，5，6，10，15，30；18和30的公因數(shù)有：1，2，3，6；18和30的最大公因數(shù)是6方法二：把18和30分別分解素因數(shù)18= 2 × 3 ×330= 2 × 3 ×52和3的乘積6就是18和30的最大公因數(shù)求幾個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)，只要把它們所有公有的素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)解：2 48 60 2 24 30 3 12 15 4 548和60的最大公因數(shù)是2

7、×2×3=1251= 3× 1785= 5× 1751和85的最大公因數(shù)是17解：8的因數(shù)有：1，2，4，8；9的因數(shù)有：1，3，98和9只有一個(gè)公因數(shù)，因此8和9的最大公因數(shù)1素?cái)?shù)是對一個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷，而互素是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系一定；不一定都是都是都是1和任何正整數(shù)都互素相鄰的正整數(shù)互素兩個(gè)素?cái)?shù)一定互素3和5；14和15；18和1解：24= 2 × 2 ×2× 336= 2 × 2 ×3× 324的素因數(shù) 36的素因數(shù)32、2、3224和36公有的素因數(shù)24和36的最大公因數(shù)是 12 （1） 解法

8、一：8的因數(shù)有：1，2，4，8；12的因數(shù)有：1，2，3，4,6,128和12的公因數(shù)有：1，2，4；8和12的最大公因數(shù)是4解法二：12= 2 × 2 × 38= 2 × 2 × 212和8的最大公因數(shù)是4解法三：2 12 8 2 6 4 3 2 12和8的最大公因數(shù)是2 ×2=4（2）解：解法一：45= 3 × 3× 560= 2 × 2 × 3× 545和60的最大公因數(shù)是15解法二：3 45 60 5 15 20 3 4 45和60的最大公因數(shù)是3×5=15解：A、B兩數(shù)的最大

9、公因數(shù)=2 × 3 ×m 6m=30 m=51公因數(shù)和最大公因數(shù)；2兩個(gè)數(shù)互素以及怎樣的兩個(gè)數(shù)一定互素；3求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法從情境中引出兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)，激發(fā)學(xué)生的興趣學(xué)會(huì)有序分類先由學(xué)生歸納，老師再用規(guī)范語言進(jìn)行總結(jié)引起學(xué)生的思考提供三種解法，層層推進(jìn)，讓學(xué)生理解分解素因數(shù)方法的算理讓學(xué)生理解共有素因數(shù)2和3的乘積就是最大公因數(shù)培養(yǎng)學(xué)生歸納、總結(jié)以及用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)的能力強(qiáng)調(diào)在做短除法時(shí)，每次需用兩數(shù)的公有素因數(shù)去除，直到兩個(gè)商互素為止鞏固用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)培養(yǎng)學(xué)生選擇最優(yōu)化的方法來提高運(yùn)算速度和正確率教師點(diǎn)評，學(xué)生糾錯(cuò)鞏固用列舉法找最大公

10、因數(shù)的方法，引出兩個(gè)整數(shù)互素的概念概念辨析反饋、鞏固通過觀察，總結(jié)兩個(gè)數(shù)互素的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，增強(qiáng)概念的辨析能力復(fù)習(xí)鞏固互素的概念反饋、鞏固把24和36所有的素因數(shù)一一找出，并把公有的素因數(shù)填在兩個(gè)圈的公共部分中復(fù)習(xí)鞏固求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的三種方法. 重點(diǎn)掌握用分解素因數(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法及用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)鞏固求最大公因數(shù)的方法，滲透方程思想.復(fù)習(xí)鞏固，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力課后作業(yè)試 題解 答設(shè)計(jì)意圖A組：（練習(xí)冊P5/1、3）1 先分別把下面兩個(gè)數(shù)分解素因數(shù)，再求它們的最大公因數(shù)12=_；30=_；12和30的最大公因數(shù)是 解：12= 2 &

11、#215; 2 × 330=2 × 3 ×512和30的最大公因數(shù)是 6鞏固用分解素因數(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法2. 求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)（1）4和6； （2）15和20；（3）18和20； （4）9和63；（5）21和35； （6）51和34；（1）解：解法一：4= 2 × 26= 2 × 34和6的最大公因數(shù)是2解法二：2 4 6 2 34和6的最大公因數(shù)是2（2）解：解法一：15= 3× 520= 2 × 2 × 515和20的最大公因數(shù)是5解法二：5 15 20 3 4 15和20的最大公因數(shù)5（3）

12、解：解法一：18=2 × 3× 320= 2 × 2 × 518和20的最大公因數(shù)是2解法二：2 18 20 9 10 18和20的最大公因數(shù)2（4）解：解法一：9= 3 × 363= 3 × 3× 79和63的最大公因數(shù)是9解法二：3 9 63 3 3 21 1 7 9和63的最大公因數(shù)是3×3=9（5）解：解法一：21= 3 × 735= 5× 721和35的最大公因數(shù)是7解法二：7 21 35 3 521和35的最大公因數(shù)是7（6）解：解法一：51= 3 × 1734= 2× 1751和34的最大公因數(shù)是17解法二：17 51 34 3 251和34的最大公因數(shù)是17鞏固用分解素因數(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法及用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)B組 ：（練習(xí)冊P6/4）1. 下列說法對嗎?(1) 相鄰的兩個(gè)正整數(shù)一定互素.(2) 兩個(gè)不同的素?cái)?shù)一定互素.(3) 兩個(gè)合數(shù)一定不互素.(4) 兩個(gè)奇數(shù)的公因數(shù)一定是1.解:(1)對(2)對(3)錯(cuò)，如8和9(4)錯(cuò)，如3和15概念辨析*C組：一塊長2米，寬8分米的長方形夾板，要把它鋸成幾個(gè)盡可能大