181923 231　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、2.3拋物線2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程(重點(diǎn))2.掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1拋物線的定義思考1：平面內(nèi)到一定點(diǎn)距離與到一定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線嗎？提示不一定當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線；l不經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p0)xy22px(p0xx22py(p0)yx22py(p0)y思考1：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)中p的幾何意義是什么？提示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離思考2：已知

2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，怎樣確定拋物線的焦點(diǎn)位置和開口方向？ 提示一次項(xiàng)變量為x(或y)，則焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上；若系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸上；系數(shù)為負(fù)，則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上焦點(diǎn)確定，開口方向也隨之確定基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線(2)拋物線x220y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是10.()(3)拋物線y2x2的準(zhǔn)線方程是y.()提示(1)×不一定當(dāng)F在l上時(shí)是過F且垂直于l的一條直線(2)(3)2拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(0,2)B(0,1)C(2,0) D(1,0)Dy24x，焦點(diǎn)F(1,0)3已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)

3、軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(2，4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122151】y28x或x2y設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，或x22py(p0)將P(2，4)代入，分別得方程為y28x或x2y.合 作 探 究·攻 重 難求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)準(zhǔn)線方程為2y40；(2)過點(diǎn)(3，4)；(3)焦點(diǎn)在直線x3y150上思路探究解(1)準(zhǔn)線方程為2y40，即y2，故拋物線焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x22py(p>0)，又2，所以2p8，故拋物線方程為x28y.(2)點(diǎn)(3，4)在第四象限，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x2

4、2p1y(p10)把點(diǎn)(3，4)的坐標(biāo)分別代入y22px和x22p1y，得(4)22p·3,322p1·(4)，即2p，2p1.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x2y.(3)令x0得y5；令y0得x15.拋物線的焦點(diǎn)為(0，5)或(15,0)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x220y或y260x.規(guī)律方法求拋物線方程的主要方法是待定系數(shù)法，若已知拋物線的焦點(diǎn)位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可，若拋物線的焦點(diǎn)位置不確定，則要分情況討論，另外，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成y2ax(a0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成x2ay(a0).跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件分別求拋物線

5、的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x29y2144的左頂點(diǎn)；(2)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|5.解(1)雙曲線方程可化為1，左頂點(diǎn)為(3,0)，由題意設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)且3，p6，拋物線的方程為y212x.(2)設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的方程為y22px(p0)，A(m，3)，由拋物線定義得5|AF|.又(3)22pm，p±1或p±9，故所求拋物線方程為y2±2x或y2±18x.拋物線定義的應(yīng)用探究問題1拋物線定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”，這句話的含義是什么？提示拋物線定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一

6、動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為M；一個(gè)定點(diǎn)F，即拋物線的焦點(diǎn)；一條定直線l，即為拋物線的準(zhǔn)線；一個(gè)定值，即點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離和M到l的距離之比等于1.定點(diǎn)F不能在直線上，否則，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就不是拋物線. 2如何通過拋物線定義實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化？提示根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題3如何利用拋物線定義解決與拋物線有關(guān)的最值問題？提示在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點(diǎn)M的軌跡方程【導(dǎo)學(xué)號(hào)

7、：73122152】思路探究把|MF|比M到y(tǒng)軸的距離大，轉(zhuǎn)化為|MF|與點(diǎn)M到x的距離相等，從而利用拋物線定義求解解由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動(dòng)點(diǎn)M到F的距離與它到直線l：x的距離相等由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程應(yīng)為y22px(p>0)的形式，而，所以p1,2p2，故點(diǎn)M的軌跡方程為y22x(x0)母題探究：1.(變換條件、改變問法)若本例中點(diǎn)M所在軌跡上一點(diǎn)N到點(diǎn)F的距離為2，求點(diǎn)N的坐標(biāo)解設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0，y0)，則|NF|2，即2y4，又由典例的解析知點(diǎn)M的軌跡方程為y22x(x0)，故y2x0，由可得或故

8、點(diǎn)N的坐標(biāo)為或.2(變換條件、改變問法)若本例中增加一點(diǎn)A(3,2)，其他條件不變，求|MA|MF|的最小值，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)解如圖，由于點(diǎn)M在拋物線上，所以|MF|等于點(diǎn)M到其準(zhǔn)線l的距離|MN|，于是|MA|MF|MA|MN|，所以當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|MN|取最小值，亦即|MA|MF|取最小值， 最小值為3.這時(shí)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，可設(shè)M(x0,2)，代入拋物線方程得x02，即M(2,2)規(guī)律方法利用拋物線的定義可實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和到準(zhǔn)線距離的相互轉(zhuǎn)化.解此類最值、定值問題時(shí)，首先要注意拋物線定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，其次是注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，例如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間

9、的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線中垂線段最短等.與拋物線有關(guān)的應(yīng)用問題河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5 m時(shí)，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面上的部分高0.75 m，則水面上漲到與拋物線形拱橋頂相距多少米時(shí)，小船開始不能通航？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122153】思路探究建立平面直角坐標(biāo)系得出拋物線方程，借助拋物線方程分析求解解如圖所示，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，由題意可知點(diǎn)B(4，5)在拋物線上，故p，得x2y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA，則A(2，yA)，由22

10、yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高為0.75 m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上漲到與拋物線形拱橋頂相距2 m時(shí)，小船開始不能通航規(guī)律方法涉及橋的高度、隧道的高低等拋物線型問題，通常用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決，建立直角坐標(biāo)系后，要結(jié)合點(diǎn)的位置分析坐標(biāo)的符號(hào)，根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合實(shí)際問題求解.跟蹤訓(xùn)練2某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20 m，拱頂距水面6 m，橋墩高出水面4 m現(xiàn)有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18 m，目前吃水線上部分中央船體高5 m，寬16 m，且該貨船在現(xiàn)在狀況下還可多裝1 000 t貨物，但每多裝1

11、50 t貨物，船體吃水線就要上升0.04 m，若不考慮水下深度，問：該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過該橋孔？為什么？解如圖所示，以拱頂為原點(diǎn)，過拱頂?shù)乃街本€為x軸，豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系拱頂距水面6 m，橋墩高出水面4 m，A(10，2)設(shè)橋孔上部拋物線方程是x22py(p>0)，則1022p(2)，p25，拋物線方程為x250y，即yx2.若貨船沿正中央航行，船寬16 m，而當(dāng)x8時(shí)，y×821.28 m，即船體在x±8之間通過，B(8，1.28)，此時(shí)B點(diǎn)距水面6(1.28)4.72(m)，而船體高為5 m，無法通行又54.720.28 m,0.28

12、÷0.047，150×71 050(t)，即若船通過增加貨物通過橋孔，則要增加1 050 t，而船最多還能裝1 000 t貨物，所以貨船在現(xiàn)有狀況下不能通過橋孔當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2，則實(shí)數(shù)a的值為()A.BC8D8B由yax2，得x2y，2，a.2若點(diǎn)P到定點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x50的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡方程是 ()Ay216x By232xCy216x Dy216x或y0(x0)C點(diǎn)F(4,0)在直線x50的右側(cè)，且P點(diǎn)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x50的距離小1，點(diǎn)P到F(4,0)的距離與它到直線x40的距離相等故點(diǎn)P的軌跡為拋物線，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向右，p8，故P點(diǎn)的軌跡方程為y216x.3拋物線y22px(p0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是a，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是 ()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122154】Aa BaCap DapB設(shè)拋物線上點(diǎn)M(x0，y0)，如圖所示，過M作MNl于N(l是拋物線的準(zhǔn)線x)，連MF.根據(jù)拋物線定義，|MN|MF|a，x0a，x0a，所以選B.4拋物線y22px(p0)過點(diǎn)M(2,2)，則點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為_