04184線性代數(shù)公式自考

1、第一章 行列式主要知識點一、行列式的定義和性質(zhì)1.余子式和代數(shù)余子式的定義2.行列式按一行或一列展開的公式1）2）3.行列式的性質(zhì)1）2）用數(shù)k乘行列式的某一行（列）所得新行列式原行列式的k倍. 推論3）互換行列式的任意兩行（列）所得新行列式等于原行列式的相反數(shù). 推論4）如果行列式中兩行（列）對應(yīng)元素成比例，則行列式值為0.5）行列式可以按任一行（列）拆開.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式與原行列式的值相等.二、行列式的計算1.二階行列式和三角形行列式的計算.2.對一般數(shù)字行列式，利用行列式的性質(zhì)將其降階以化成二階行列式或三角形（或?qū)切危┬辛惺降挠嬎?3.對行

2、列式中有一行或一列中只有一個或兩個非零元的情況，用這一行或一列展開.4.行列式中各行元素之和為一個常數(shù)的類型.5.范德蒙行列式的計算公式第二章 矩陣主要知識點一、矩陣的概念1.要分清矩陣與行列式的區(qū)別2.幾種特殊矩陣（0矩陣，單位陣，三角陣，對角陣，數(shù)量陣）二、矩陣的運算1.矩陣A , B的加、減、乘有意義的充分必要條件2.矩陣運算的性質(zhì)比較矩陣運算（包括加、減、數(shù)乘、乘法等）的性質(zhì)與數(shù)的運算性質(zhì)的相同點和不同點（加法、乘法的交換律和結(jié)合律；乘法關(guān)于加法的分配律）重點是矩陣乘法沒有交換律（由此產(chǎn)生了矩陣運算公式與數(shù)的運算的公式的不同點）.3.轉(zhuǎn)置 對稱陣和反對稱陣1）轉(zhuǎn)置的性質(zhì)2）若A T=A

3、 （AT= - A），則稱A為對稱（反對稱）陣4.逆矩陣1）方陣A可逆（也稱非異，非奇異，滿秩）的充分必要條件是.當(dāng)A可逆時，.2）方陣A的伴隨陣的定義。重要公式；與A -1的關(guān)系（當(dāng)方陣A可逆時，）3）重要結(jié)論：若 n階方陣A,B滿足AB=E，則A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩陣的性質(zhì)：; ; .5）消去律：設(shè)方陣A可逆，且AB=AC（BA=CA），則必有B=C。（若不知A可逆，僅知A0結(jié)論不一定成立。）5.方陣的行列式6.分快矩陣矩陣運算時分快的原則；分快矩陣的運算規(guī)則；分快矩陣的轉(zhuǎn)置三、矩陣的初等變換和初等矩陣1.初等變換的定義和性質(zhì)方陣經(jīng)初等變換后的行列式是否變化？（

4、分別就三種初等變換說明行列式變化的情況）初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣化為行最簡形，初等變換必能將矩陣A化為標(biāo)準(zhǔn)形，其中r為矩陣A的秩.2.初等矩陣的定義和性質(zhì)1）初等矩陣的定義2） 初等變換和矩陣乘法之間的關(guān)系3）對任意mn階矩陣A，總存在一系列m階初等陣和一系列n階初等陣使得四、矩陣的k階子式和矩陣秩的概念，求矩陣秩的方法五、矩陣方程的標(biāo)準(zhǔn)形及解的公式第三章向量空間主要知識點一、n維向量線性運算的定義和性質(zhì);設(shè)是一組n維向量構(gòu)成的向量組。如果存在一組不全為零的數(shù)使得則稱向量組線性相關(guān)。否則，稱向量組線性無關(guān)。二、n維向量組的線性相關(guān)性1.向量組的線

5、性相關(guān)性的定義和關(guān)于線性相關(guān)的幾個定理;（1）m個n維向量線性相關(guān)的充分必要條件是至少存在某個是其余向量的線性組合.線性無關(guān)的充分必要條件是其中任意一個向量都不能表示為其余向量的線性組合.（2） 如果向量組線性無關(guān),而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一.（3） 線性相關(guān)的向量組再增加向量所得的新向量組必線性相關(guān).（部分相關(guān)，則整體相關(guān)；或整體無關(guān)，則部分無關(guān)）（4） 若向量組線性無關(guān),則接長向量組必線性無關(guān).2.判斷向量組的線性相關(guān)性的方法（1）一個向量線性相關(guān)；（2）含有零向量的向量組必線性相關(guān)；（3）向量個數(shù)向量維數(shù)時，n維向量組線性相關(guān)；（4）向量個數(shù) 向量維數(shù)時, 向量組必線性相關(guān)

6、；（5） 若向量組的一個部分組線性相關(guān)，則向量組必線性相關(guān)；（6）若向量組線性無關(guān)，則其接長向量組必線性無關(guān)；（7）向量組線性無關(guān)向量組的秩所含向量的個數(shù) ，向量組線性相關(guān)向量組的秩所含向量的個數(shù)；（8）向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的充分必要條件是齊次方程組有（沒有）非零解.三、向量組的極大無關(guān)組及秩1.極大無關(guān)組的定義2.向量組的秩 求向量組的秩和極大無關(guān)組，并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法四、子空間的定義，,基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標(biāo)第四章線性方程組一、線性方程組的三種表示方法二、齊次線性方程組1.齊次方程組解的性質(zhì)設(shè),都是Ax0的解，則C1C2也是Ax0的解（C1，C2為任意常數(shù)

7、）2.齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組AX0有非零解的充分必要條件是r（A）未知數(shù)的個數(shù)（即矩陣A的列數(shù)）.2）n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組AX0有非零解的充分必要條件是|A|0.3）設(shè)A是mn階矩陣.若mn，則齊次方程組AX0必有非零解.（這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要）3.齊次方程組解的結(jié)構(gòu)1）齊次方程組AX0的基礎(chǔ)解系的概念重要結(jié)論:齊次方程組AX0的任意nr（A）個線性無關(guān)的解都構(gòu)成該齊次方程組的基礎(chǔ)解系；2）齊次方程組AX0的基礎(chǔ)解系的求法3）齊次方程組AX0的通解公式三、非齊次方程組 1.非齊次方程組解的性質(zhì)（1）設(shè)1,2都是Axb的解，則12是它的導(dǎo)出組Ax0的

8、解.（2）設(shè)1,2都是Axb的解，則當(dāng)k1k21時，k11k22也是Axb的解.（3）設(shè)是Axb的一個解，是它的導(dǎo)出組Ax0的解,則是Axb的解.2.關(guān)于非齊次方程組解的討論定理：n個未知數(shù)，m個方程的線性方程組AX中，（系數(shù)矩陣A是mn階矩陣）是增廣矩陣.則1）當(dāng)且僅當(dāng)（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組AX有惟一解；2）當(dāng)且僅當(dāng)（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組AX有無窮多解；3）當(dāng)且僅當(dāng)時，方程組AX無解.從以上定理可見1）線性方程組AX有解的充分必要條件是.2）當(dāng)線性方程組AX方程的個數(shù)未知數(shù)的個數(shù)時，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)行列式|A|0.3.非齊次方程組AX的通解的結(jié)構(gòu)其中是方程AX的一

9、個特解，rr（A）為系數(shù)矩陣的秩，為它的導(dǎo)出組（與它對應(yīng)的）齊次方程組AX0的基礎(chǔ)解系；第五章特征值與特征向量主要知識點一、特征值與特征向量1.特征值與特征向量的定義要點：是n階方陣A的特征值，是指存在非零向量，使得A=這時，稱為矩陣A屬于特征值的特征向量.由此知，是n階方陣A的特征值，這時，齊次方程組（E-A）x=0的非零解都是矩陣A屬于特征值的特征向量.2.關(guān)于特征值、特征向量的性質(zhì)1）AT與A有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）設(shè)1，2都是矩陣A屬于特征值的特征向量，k1，k2是數(shù)，只要，則k11+ k22也是矩陣A屬于特征值的特征向量；3） 設(shè)n階方陣A的n個特征值為1，2，

10、n,則4）矩陣A屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān);5）設(shè)是矩陣A屬于特征值的特征向量，則是矩陣f（A）屬于特征值f（）的特征向量，其中.6）設(shè)是可逆矩陣A的特征值.則0，且是矩陣A-1的特征值.3.特征值、特征向量的求法二、相似矩陣1.相似矩陣的定義2. 相似矩陣的性質(zhì)1）反身性，對稱性，傳遞性；2）若方陣A與B相似，則，且,trA表示矩陣A的跡，即,1，2，n為方陣A的n個特征值；3）若方陣A與B相似，則A與B有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；注意：反之，若A與B有相同的特征值，A與B不一定相似；例如有相同的特征值，但A與B不相似.3.方陣A的對角化問題1）n

11、階方陣A能與對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量；設(shè)1，2，n是方陣A的n個特征值，p1，p2，pn依次是方陣A的屬于特征值1，2，n的n個線性無關(guān)的特征向量.若令，則.2）若方陣A有n個不同的特征值（即特征方程無重根），則A必能與對角陣相似.（這是A能與對角陣相似的充分條件，不是必要條件）三、向量的內(nèi)積和正交矩陣1.向量內(nèi)積的定義:設(shè)2.向量的長度3.單位化向量4.正交向量組的定義及其性質(zhì)5.施密特正交化手續(xù)6.正交矩陣1）正交矩陣的定義；如果n階方陣A滿足AATE，則稱它為正交陣2）正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)方陣A為正交陣，則|A|1；A必可逆，且A-1AT；如果A，B都是n階正交

12、陣，則AB也是正交陣；A是正交陣的充分必要條件是A的列（行）向量組構(gòu)成Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基.四.實對稱矩陣1.實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)；2.實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交；3.實對稱矩陣必能與對角陣相似，且存在正交陣P，使得P-1AP為對角形.4.任給實對稱陣A，如何求出正交陣P，使得P-1AP為對角形.第六章 實二次型一、二次型及其矩陣表示二、矩陣的合同三、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1）定理 對任意實二次型，總存在正交變換x=Py，使得該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，其中1,2,n為實對稱矩陣A的n個特征值.此定理說明：對任意實對稱矩陣A，總存在正交陣P，使得其中1,2,n為實對稱矩陣A的n個特征值.（即實對稱矩陣A必能與對角陣合同.2）要掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法.4.配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.5.慣性定律6.正定二次型與正定矩陣1）定義 2）二次型正定（方陣正定）的充分必要條件正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)n.正定的充分必要條件是A與單位陣合同.正定的充分必要條件是A的所有特征值都大于零.正定的充分必要條件是A的各階順序主子都大于零.3）二次型正定性的定義及其判別方法定義關(guān)于二次型正定性的判斷：n元二次型正（負(fù)）定它的正（負(fù)）慣性指數(shù)n；n元二次型半正（負(fù)）定它的負(fù)