181923 233 時(shí)　數(shù)列求和

1、第2課時(shí)數(shù)列求和學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握一些數(shù)列常見(jiàn)的求和方法，如倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、奇偶分析法等(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.在求和過(guò)程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.3.錯(cuò)位相減時(shí)的項(xiàng)數(shù)計(jì)算(易錯(cuò)點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1分組求和法若cnanbn，an，bn，cn前n項(xiàng)和分別為An，Bn，Cn，則CnAnBn，以此可以對(duì)數(shù)列an分組求和思考1：求和：123(n)提示123(n)(123n)()1.2錯(cuò)位相減法求和設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列且公比q1，則Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn1a1qn.兩式相減，(1q)Sna1(1qn)，所以Sn(

2、q1)這種求和的方法叫錯(cuò)位相減法3裂項(xiàng)相消法求和將某些特殊數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的差，并使它們求和的過(guò)程中出現(xiàn)相同的項(xiàng)，且這些相同的項(xiàng)能夠相互抵消，從而達(dá)到將求n個(gè)數(shù)的和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求少數(shù)的幾項(xiàng)的和的目的這種求和的方法叫裂項(xiàng)相消法思考2：我們知道，試用此公式求和：.提示由，得11.4數(shù)列an的an與Sn的關(guān)系：數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sna1a2a3an，則an基礎(chǔ)自測(cè)1若an，則數(shù)列an的前10項(xiàng)和S10_.解析an，S10.答案2數(shù)列1，2，3，4，的前n項(xiàng)和是_解析Sn(123n)1.答案1合 作 探 究·攻 重 難分組求和求和：Sn.思路探究先分析通項(xiàng)anx2n2，再分組求和，注意x

3、的取值范圍解當(dāng)x±1時(shí)，Sn(x2x4x2n)2n2n2n；當(dāng)x±1時(shí)，Sn4n.綜上知，Sn規(guī)律方法分組求和法的求和策略有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將其每一項(xiàng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.像這種數(shù)列求和方法稱為分組求和法，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將通項(xiàng)變形.跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列11，4，7，3n2，求其前n項(xiàng)的和解設(shè)Sn(11)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得，Sn(1473n2)，當(dāng)a1時(shí)，Snn；當(dāng)a1時(shí)，Sn.錯(cuò)位相減法求和已知數(shù)列an，a11，an2·3n2(n2)，求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn.思路探究利用錯(cuò)位相

4、減法求Tn，但本題需注意n的范圍解Tna12a23a3nan.當(dāng)n1時(shí)，T11；當(dāng)n2時(shí)，Tn14·306·312n·3n2， 3Tn34·316·322n·3n1， 得：2Tn1(43)2(31323n2)2n·3n122·2n·3n11(12n)·3n1，Tn3n1(n2)又T1a11也滿足上式，Tn3n1(nN*)規(guī)律方法1若cnan·bn，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則cn的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求得2用錯(cuò)位相減法求和時(shí)應(yīng)注意：兩式相減后除首、末項(xiàng)外的中間的項(xiàng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)

5、等比數(shù)列求和注意兩式相減后所得式子第一項(xiàng)后是加號(hào)，最后一項(xiàng)前面是減號(hào)提醒：用錯(cuò)位相減法求和時(shí)容易出現(xiàn)以下兩點(diǎn)錯(cuò)誤：(1)兩式相減時(shí)最后一項(xiàng)因?yàn)闆](méi)有對(duì)應(yīng)項(xiàng)而忘記變號(hào)(2)對(duì)相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)模糊，錯(cuò)把中間的n1項(xiàng)和當(dāng)作n項(xiàng)和跟蹤訓(xùn)練2求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解Sna1a2a3an，Sn1×2×3×n×， Sn1×2×(n1)×n×， 得，Snn×n×1n×，Sn2.裂項(xiàng)相消法求和求和：，n2.思路探究由逐項(xiàng)裂項(xiàng)相消求和解，原式.規(guī)律方法1裂項(xiàng)相消法的裂項(xiàng)方法(1)；(2)若an為等差數(shù)

6、列，公差為d，則；(3).2如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可轉(zhuǎn)化為f(n1)f(n)的形式，常采用裂項(xiàng)相消法求和跟蹤訓(xùn)練3求和：1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57452061】解2，原式22.數(shù)列求和的綜合應(yīng)用探究問(wèn)題1如何求數(shù)列(1)n的前n項(xiàng)的和？提示分n為奇、偶數(shù)兩類分別求數(shù)列(1)n的和2若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則an與Sn間存在怎樣的關(guān)系？如何由Sn求通項(xiàng)an?提示由Sna1a2an可知Sn1a1a2an1(n2)，anSnSn1(n2)，又a1S1，an已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題

7、意知，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n5.當(dāng)n1時(shí)，a1S1116n5.所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d，則a12b1d11，a2b2b2d2b13d17.解得b14，d3，所以bn4(n1)×33n1.(2)由(1)知，cn3(n1)·2n1.所以Tnc1c2cn3×2×223×23(n1)×2n1，2Tn3×2×233×24(n1)×2n2，兩式相減，得Tn3×2×2223242n1(n1)×2n23×4(n1)×2n23n·2n2

8、.所以Tn3n·2n2.母題探究：1.(變條件)把例中的條件改為“數(shù)列an是首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn滿足4Snan·an1，數(shù)列bn是以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，且b1b2b3”，求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得4a1a1(a1d)，解得d2，所以an2n.由b1b2b3b，解得b2，從而公比q，所以bn.2(變條件)本例中的條件改為“數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snanb(a是既不為0也不為1的常數(shù))”若an是等比數(shù)列，求b.解當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(a1)·an1；當(dāng)n1時(shí)，anS1ab.an為等比數(shù)列，a1，a2，a3成等比數(shù)列，a(

9、a1)·a2a1·a3(ab)·(a1)·a2，a0且a1，a1ab，b1.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)b1時(shí)，an為等比數(shù)列，b1.規(guī)律方法(1)已知Sn，通過(guò)an求通項(xiàng)an，應(yīng)特別注意n2時(shí)，anSnSn1.(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，則an是等比數(shù)列(3)等比數(shù)列中用到的數(shù)學(xué)思想：分類討論思想：利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要分公比q1和q1兩種情況討論函數(shù)思想：等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn(qn1)(q1)設(shè)A，則SnA(qn1)也與指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，常把qn，當(dāng)成整體求解當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n2n1，則其前n項(xiàng)和Sn_.解析Sn(2222n)13(2n1)2n12n2.答案2n1n222已知an(1)nn，則S2 017_.解析a1a21，a3a41，a2 015a2 0161，a2 0172 017.S2 0171 0082 0171 009.答案1 0093已知an，則Sn_.解析an，Sn.答案4若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snan，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)