導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用引言不等式的證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，而導(dǎo)數(shù)在不等式的證明中起著關(guān)鍵的作用。不等式的證明是可以作為一個(gè)系列問題來看待,不等式的證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一,也是難點(diǎn)之一。其常用的證明方法有: 比較法、綜合法、分析法、重要不等法、數(shù)學(xué)歸納法等等,然而有一些問題用上面的方法來解決是很困難的,我們在學(xué)完導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用這一內(nèi)容以后,可以利用導(dǎo)數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、最值性(極值性)等相關(guān)知識解決一些不等式證明的問題。導(dǎo)數(shù)也是微積分的初步基礎(chǔ)知識，是研究函數(shù)、解決實(shí)際問題的有力工，它包括微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用。不等式的證明在數(shù)學(xué)課題中也是一個(gè)很重要的問題，此

2、類問題能夠培養(yǎng)我們理解問題、分析問題的能力。本文針這篇論文是在指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的。這篇論文是在指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的。對導(dǎo)數(shù)的定義、微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、泰勒公式、函數(shù)的極值、函數(shù)的凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用進(jìn)行了舉例。一、利用導(dǎo)數(shù)的定義證明不等式定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,若極限 存在則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作令 ，則上式可改寫為所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限。這個(gè)增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率( 又稱差商)，而導(dǎo)數(shù)則為在處關(guān)于的變化率。以下是導(dǎo)數(shù)的定義的兩種等價(jià)形式：（1）（2）例1: 設(shè)，并且，證明

3、：證明 ，可得出，因?yàn)?,則 又由導(dǎo)數(shù)的定義可知所以 ， 即可得 .例2、 已知函數(shù)，求證: .分析 令，因?yàn)?要證當(dāng)時(shí)，,即,只需證明在上是增函數(shù)。證明 令，則，因?yàn)?當(dāng)時(shí), ,所以在上是增函數(shù)，就有,，即可得.注:證明方法為先找出，使得恰為結(jié)論中不等式的一邊；再利用導(dǎo)數(shù)的定義并結(jié)合已知條件去證明。二、利用微分中值定理證明不等式證題思路 將要證的不等式改寫成含變量之商或的不等式，則可嘗試?yán)弥兄倒交蛘?并做適當(dāng)?shù)姆趴s到待證不等式中1.使用拉格朗日中值定理證明不等式定理 若函數(shù)滿足如下條件:(i)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得例3、

4、 證明對一切,成立不等式證明 設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由可推知，當(dāng)時(shí)，由可推得,從而得到所要證明的結(jié)論.注:利用拉格朗日中值定理的方法來證明不等式的關(guān)鍵是將所要證明的結(jié)論與已知條件歸結(jié)為一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的函數(shù)增量，然后利用中值定理轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性等問題.2使用柯西中值定理證明不等式定理 設(shè)函數(shù)和滿足(i)在a,b上都連續(xù)；(ii)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；(iii)和不同時(shí)為零；(iv)，則存在，使得例4、證明不等式 分析 該不等式可化為 可設(shè) ，注意到，故可考慮對使用柯西中值定理證明 如上分析構(gòu)造輔助函數(shù)和，則對任意，由柯西中值定理，存在，使得.三、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式證明思路 首先根據(jù)題設(shè)條

5、件及所證不等式，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，并確定區(qū)間a,b；然后利用導(dǎo)數(shù)確定在a,b上的單調(diào)性；最后根據(jù)的單調(diào)性導(dǎo)出所證的不等式.1.直接構(gòu)造函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式例5 證，其中分析 欲證，只要證在a,b上單調(diào)遞增，即證即可若的符號不好直接判定，可借助于，以至于進(jìn)一步判定.證明 令，則 ，于是時(shí)，有單調(diào)增加所以,有單調(diào)增加，可推得，即.2.先將不等式變形，然后再構(gòu)造函數(shù)并來證明不等式例6、已知,，求證：為(自然對數(shù)的底)證明 設(shè)則 ，就有 ，因?yàn)?,所以 ，則在上遞增；又因，所以，就有從而有， 即.注: 對于一些不易入手的不等式證明, 可以利用導(dǎo)數(shù)思想,先通過特征不等式構(gòu)造一個(gè)函數(shù),

6、再判定其函數(shù)單調(diào)性來證明不等式成立,這就是利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的思想。構(gòu)造輔助函數(shù)有以下幾種方法:1.用不等式的兩邊“求差”構(gòu)造輔助函數(shù)； 2.用不等式兩邊適當(dāng)“求商”構(gòu)造輔助函數(shù)； 3.根據(jù)不等式兩邊結(jié)構(gòu)構(gòu)造“形似”輔助函數(shù)； 4.如果不等式中涉及到冪指函數(shù)形式,則可通過取對數(shù)將其化為易證明的形式再根據(jù)具體情況由以上所列方法構(gòu)造輔助函數(shù).四、利用泰勒公式證明不等式證題思路若在(a,b)內(nèi)具有(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則其中介于與之間 例7、 設(shè)在0,1上二階可導(dǎo)，,且，求證：存在，使得.證明 因在0,1上二階可導(dǎo)，故在0,1上連續(xù), 據(jù)最值定理，必使得為最大值，即=1，且有.而在=1的一階泰勒

7、展式為 ，其中介于與間分別在上式中令得，.故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), ，所以存在,使得.注: 用泰勒展式證明不等式的方法是將函數(shù) 在所給區(qū)間端點(diǎn)或一些特點(diǎn)( 如區(qū)間的中點(diǎn)，零點(diǎn)) 進(jìn)行展開，通過分析余項(xiàng)在點(diǎn)的性質(zhì)，而得出不等式。值得說明的是泰勒公式有時(shí)要結(jié)合其它知識一起使用,如當(dāng)使用的不等式中含有積分號時(shí),一般要利用定積分的性質(zhì)結(jié)合使用泰勒公式進(jìn)行證明;當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合式時(shí),需要作一個(gè)輔助函數(shù)并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡捷。五、利用函數(shù)的最值(極值)證明不等式由連續(xù)函數(shù)在a,b上的性質(zhì),若函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則在a,b上一定有最大、

8、最小值，這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大,最小值提供了理論保證。若函數(shù)的最大(小)值點(diǎn)在區(qū)間(a,b)內(nèi),則必定是的極大(小)點(diǎn)。又若在可導(dǎo),則還是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)。所以我們只要比較在所有穩(wěn)定點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值,就能從中找到在a,b上的最大值與最小值。證明方法：先構(gòu)造輔助函數(shù)，再求出在所設(shè)區(qū)間上的極值與最大、最小值，進(jìn)而證明所求不等式。例8、 已知: ，證明當(dāng)時(shí)，有證明 令，則令，求得，則因?yàn)?，令 ,求得駐點(diǎn)為，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,所以在0,1上的最小值為，最大值為1,從而，r>1.例9、 證明：當(dāng)時(shí), 證明 作輔助函數(shù)，則是在內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .故是的極大值點(diǎn)，是的極大值

9、.因?yàn)楫?dāng)由小變大時(shí)，由單調(diào)增變?yōu)閱握{(diào)減,故同時(shí)也是的最大值,所以，當(dāng)時(shí)， ,即.注:在對不等式的證明過程中， 可以以不等式的特點(diǎn)為根據(jù)，以此來構(gòu)造函數(shù)，從而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來得出函數(shù)的最值，而此項(xiàng)作用也是導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)功能，即可以被用作求函數(shù)的最值。例如，當(dāng)此函數(shù)為最大或最小值的時(shí)候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永遠(yuǎn)成立的，從而可以將證明不等式的問題轉(zhuǎn)化到求函數(shù)最值的問題上來。六、利用函數(shù)的凹凸性質(zhì)證明不等式證明思路 若，則函數(shù)的圖形為凹的，即對任意，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立例10、設(shè)，證明，且等號僅在 時(shí)成立分析 將欲證的不等式兩邊同除以2，變形為由上式看出，左邊是函數(shù)在，兩點(diǎn)處的值的平均值，而右邊是它在中點(diǎn)處的函數(shù)值這時(shí)只需證即可證明構(gòu)造輔助函數(shù)，那么就有：, 成立.故由不等式:可得 也即 且等號僅在 時(shí)成立.例11、已知: , ，求證：.證明 設(shè)，則 就有是凸函數(shù)設(shè)，則就有如下式子成立:而又因?yàn)橛?，所以 成立故.小結(jié):通