“費馬點”與中考試題

1、“費馬點”與中考試題費爾馬，法國業(yè)余數(shù)學家，擁有業(yè)余數(shù)學之王的稱號，他是解析幾何的發(fā)明者之一費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點 費爾馬的結(jié)論：對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點，對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點下面簡單說明如何找點P使它到三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小？這就是所謂的費爾馬問題 圖1解析：如圖1，把APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到APC，連接PP則APP為等邊三角形，AP= PP，PC=PC，所以PA+PB+PC= PP+ PB+ PC點C可看成是線段AC繞

2、A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點，BC為定長 ，所以當B、P、P、C 四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小這時BPA=180°-APP=180°-60°=120°，APC=A PC=180°-APP=180°-60°=120°，BPC=360°-BPA-APC=360°-120°-120°=120° 因此，當?shù)拿恳粋€內(nèi)角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°，可在AB、BC邊上分別作120°的弓形弧，兩弧

3、在三角形內(nèi)的交點就是P點；當有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求的P點就是鈍角的頂點費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換本文列舉近年“費馬點”走進中考試卷的實例，供同學們學習參考例1 （2008年廣東中考題）已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長 圖2 圖3 分析：連接AC，發(fā)現(xiàn)點E到A、B、C三點的距離之和就是到三個頂點的距離之和，這實際是費爾馬問題的變形，只是背景不同解 如圖2，連接AC，把AEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到GFC，連接EF、BG、AG，可知EFC、AGC都是等

4、邊三角形，則EF=CE又FG=AE，AE+BE+CE = BE+EF+FG（圖4） 點B、點G為定點（G為點A繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°所得） 線段BG即為點E到A、B、C三點的距離之和的最小值，此時E、F兩點都在BG上（圖3）設(shè)正方形的邊長為，那么BO=CO=，GC=, GO= BG=BO+GO =+ 點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為 +=，解得=2注 本題旋轉(zhuǎn)AEB、BEC也都可以，但都必須繞著定點旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試例2 （2009年北京中考題） 如圖4，在平面直角坐標系中，ABC三個頂點的坐標分別為，延長AC到點D, 使CD=,過點D作DEAB交BC的延長線于點E.（1）求

5、D點的坐標； （2）作C點關(guān)于直線DE的對稱點F,分別連結(jié)DF、EF，若過B點的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式； （3）設(shè)G為y軸上一點，點P從直線與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短分析和解：（1）D點的坐標（3，）（過程略）（2） 直線BM的解析式為（過程略） 圖4 （3）如何確定點G的位置是本題的難點也是關(guān)健所在設(shè)Q點為y軸上一點，P在y軸上運動的速度為v，則P沿MQA運動的時間為，使P點到達A點所用的時間最短，就是MQAQ

6、最小，或MQ2AQ最小解法1 BQ=AQ， MQ2AQ最小就是MQAQBQ最小，就是在直線MO上找點G使他到A、B、M三點的距離和最小至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個費爾馬問題的變形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換 把MQB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到MQB，連接QQ、MM（圖5），可知QQB、MMB都是等邊三角形，則QQ=BQ又MQ=MQ，MQAQBQ= MQ+ QQ+AQ點A、M為定點，所以當Q、Q兩點在線段A M上時，MQAQBQ最小由條件可證明Q點總在AM上，所以A M與OM的交點就是所要的G點（圖6）可證OG=MG 圖5 圖6 圖7解法2 考慮MQAQ最小，過Q作BM

7、的垂線交BM于K，由OB=6，OM=，可得BMO30°，所以QKMQ要使MQAQ最小，只需使AQQK最小， 根據(jù)“垂線段最短”，可推出當點A、Q、K在一條直線上時，AQ+QK最小，并且此時的QK垂直于BM，此時的點Q即為所求的點G（圖7）過A點作AHBM于H,則AH與y軸的交點為所求的G點.由OB=6，OM=，可得OBM=60°， BAH=30°在RtOAG中，OG=AO·tanBAH=G點的坐標為（0，）（G點為線段OC的中點）例3 （2009年湖州中考題）若點P 為ABC所在平面上一點，且APB=BPC=CPA=120°, 則點P

8、叫做ABC的費馬點（1） 若P為銳角ABC的費馬點，且ABC=60°，PA=3，PC=4, 則PB的值為 ；（2）如圖8，在銳角ABC的外側(cè)作等邊ACB，連結(jié)BB求證：BB 過ABC的費馬點P，且BB=PA+PB+PC 圖8 解：（1）利用相似三角形可求PB的值為 （2）設(shè)點P為銳角ABC的費馬點，即APB=BPC=CPA=120°如圖8，把ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到BCE，連結(jié)PE，則EPC為正三角形 BEC = APC =120°，PEC=60° BEC+PEC=180° 即 P、E、B 三點在同一直線上 BPC=120°, CPE=60° ， BPC +CPE =180°，即 B、P、E 三點在同一直線上 B、P、E、B 四點在同一直線上，即BB 過ABC的費馬點P 又PE=PC，BE= PA， BB=E B+PB+PE=PA+PB+PC注 通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)在使用這一方法解題時需注意圖形旋轉(zhuǎn)變換的基礎(chǔ)，即存在相等的線