節(jié)常用統(tǒng)計分布

1、第二節(jié)常用統(tǒng)計分布取得總體的樣本后，通常是借助樣本的統(tǒng)計量對未知的總體分布進(jìn)行推斷 ，為此須進(jìn)- 步確定相應(yīng)的統(tǒng)計量所服從的分布 ，除在概率論中所提到的常用分布外 ，本節(jié)還要介紹幾個 在統(tǒng)計學(xué)中常用的 統(tǒng)計分布：2分布t分布F分布分布圖示引言分位數(shù)例12分布例2 t分布例3 F分布例4內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題5-2內(nèi)容要點一、分位數(shù)設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),對給定的實數(shù)：.(0：1),若實數(shù)F一.滿足不等式PX AFQ 皿，則稱F.為隨機變量X的分布的水平:-的上側(cè)分位數(shù).UL若實數(shù)T.滿足不等式P| X AT& R，則稱為隨機變量X的分布的水平：的雙側(cè)分位數(shù).、2分布定義1設(shè)XX

2、2，Xn是取自總體N(0,1)的樣本，則稱統(tǒng)計量2 2 2 2上=Xl +X2 卡一 +Xn(1)服從自由度為n的2分布，記為2 2(n).這里，自由度是指(1)式右端所包含的獨立變量的個數(shù)丄x e 2 ，x 0.xO2 (n)分布的概率密度：1 n f(x) = 2n/2】(n/2) % I0，其中-()為Gamma函數(shù)，f (x)的圖形如5-2-3.1. 2分布的數(shù)學(xué)期望與方差：若 2 2(n),貝U E( 2) = n, D( 2) =2n.2. 2分布的可加性：若2(m), 2 2(n),且 12, 2 相互獨立，則12 2 2(m n).3. 宇分布的分位數(shù)：設(shè) 2 ；(n),對給定

3、的實數(shù)(0 ：1),稱滿足條件f (x)dx 弋的點為2(n)分布的水平a的上側(cè)分位數(shù).簡稱為上側(cè)口分位數(shù).對不同的。與n,分位數(shù)的值已經(jīng)編制成表供查用(參見附表).三、t分布定義2設(shè)XN(01),Y 2(n)，且X與Y相互獨立貝U稱f(x)(n 1)/2、FnF(n /2)F分布具有如下性質(zhì)1若 X t(n)，則X2F(1, n);服從自由度為n的t分布，記為t t(n),t(n)分布的概率密度：n -1x2 一1,: t :nt分布具有如下性質(zhì)：1. f(x)的圖形關(guān)于y軸對稱，且lim f(x)=O;2當(dāng)n充分大時，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；3. t分布的分位數(shù)：設(shè)Tt_. (n),對給

4、定的實數(shù)(0 ： : ：1),稱滿足條件PTt;.(n) =L(n)f(x)dx=：的點t-.(n)為t(n)分布的水平的上側(cè)分位數(shù).由密度函數(shù)f (x)的對稱性， tn) "：.(n).類似地，我們可以給出t分布的雙側(cè)分位數(shù)f(±2 (n):處P|T| t-./2(n)f(x)dxf(x)dx=:,t 一化(n)顯然有ototPT t/2(n) = 2； PT T/2(n) = 2. 對不同的：與n, t分布的雙側(cè)分位數(shù)可從附表查得.四、F分布定義3設(shè)X 2(m),Y 2(n),且X與Y相互獨立，則稱r X / m nX Y / n mY 服從自由度為(m,n)的F分布，

5、記為FF(m, n).F(m, n)分布的概率密度：f(x) 0,x _012. 若 F F(m,n),貝卩丄 F(n,m).F3. F分布的分位數(shù)：設(shè)F F ：.(n,m)，對給定的實數(shù)：( =1),稱滿足條件boPF >Fo(n,m) = J ) f(x)dx=«的點F.(n,m)為F(n,m)分布的水平：的上側(cè)分位數(shù) F分布的上側(cè)分位數(shù)的可自附表查得4. F分布的一個重要性質(zhì)：F (m, n)aQ n,m)此式常常用來求F分布表中沒有列出的某些上側(cè)分位數(shù).例題選講分位數(shù)例1 (E01)設(shè)口 =0.05,求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平0.05的上側(cè)分位數(shù)和雙側(cè)分位數(shù)解 由于(u0.0

6、5) =1 -0.05 =0.95,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表可得u0.05 =1.645,而水平0.05的雙側(cè)分位數(shù)為 U0.025,它滿足:(U0.025)=1 0.025 =0.975,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表可得u0.025 =1.96.注：今后，分別記U-.與U：./2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)2分布例2 (E02)設(shè)X1,，X6是來自總體N(0,1)的樣本，又設(shè)2 2Y 二(X1 X2 X3)(X4 X5 X6),C,使CY服從 2分布.因為 X1 X2 X3 N (0,3) X4 X5 X6 N (0,3) ：X2 ' X3X4 : X5 ：；'X62 入3

7、 N(0,1),入4 X5 X6,3-.3試求常數(shù)解所以X1 N (0,1),且相互獨立，于是故應(yīng)取X1X2 X3X4X5X62(2),則有-Y 2(2).3t分布例 3 (E03)-4(X-2)J Yi2i =1L :y 2設(shè)隨機變量X N(2,1),隨機變量Y1,Y2,Y3,Y4均服從N(0,4),且 X,Y(i =1,2,3,4)都相互獨立,令t=4(x_2) 2試求T的分布，并確定t0的值，使P| T |t0 =0.01.解 由于 X 2 N(0,1), Y/2 N(0,1), i =1,2,3,4,故由t分布的定義知X -2即T服從自由度為4的t分布：Tt(4).由 P|T| t。 =0.01.對于 n =4, ： =0.01 查附表 4,得 t：./2 =to.o05(4) =4.6041.F分布例4 (E04)設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X1,X2- ,Xn是來自總體X的一個簡單隨機樣 本，試問統(tǒng)計量也一1譽Xi2服從何種分布？5因為 Xj N(0,1),、X2i 4n2(5), Xi2 2(n 5),i z655且 V Xi2i An與7 Xi2相互獨立，所以i J Xi2 5一旦F(5, n-5),再由統(tǒng)計量Y的表達(dá)式，、Xi2 (n5)i J即得 Y F (5, n 5).課堂