2014屆江蘇省南京市高三9月學(xué)情調(diào)研理科數(shù)學(xué)試卷(帶解析)(共20頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2014屆江蘇省南京市高三9月學(xué)情調(diào)研理科數(shù)學(xué)試卷（帶解析）一、填空題1已知集合，集合，則 .2命題“”的否定是 .3已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則 .4下圖是某算法的流程圖，其輸出值是 .5口袋中有形狀和大小完全相同的四個球，球的編號分別為1,2,3,4，若從袋中隨機(jī)抽取兩個球，則取出的兩個球的編號之和大于5的概率為 . 6若一個圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為2的正方形，則此圓柱的體積為 .7已知點(diǎn)在不等式表示的平面區(qū)域上運(yùn)動，則的最大值是 .8曲線在點(diǎn)處的切線方程是 .9在等差數(shù)列中，則數(shù)列的前項(xiàng)和 .10如圖，在中，、分別為邊、的中點(diǎn). 為邊上的點(diǎn)，且，若，則的值為

2、.11設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，.若，則實(shí)數(shù)的值為 .12已知四邊形是矩形，是線段上的動點(diǎn)，是的中點(diǎn)若為鈍角，則線段長度的取值范圍是 .13如圖，已知過橢圓的左頂點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為 .14已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)、，滿足 ，其中，則的取值范圍是 .二、解答題15在銳角中，、所對的邊分別為、已知向量，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面積16如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面，為中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，求證：平面.17如圖，某小區(qū)擬在空地上建一個占地面積為2400平方米的矩形休閑廣場，按照設(shè)計(jì)要求，休閑廣場中間有兩個完全相同的矩形綠化

3、區(qū)域，周邊及綠化區(qū)域之間是道路（圖中陰影部分），道路的寬度均為2米怎樣設(shè)計(jì)矩形休閑廣場的長和寬，才能使綠化區(qū)域的總面積最大？并求出其最大面積.18已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右準(zhǔn)線為，離心率為若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，以線段為直徑作圓.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓與軸相切，求圓被直線截得的線段長.19已知無窮數(shù)列中，、 、構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，、，構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其中，.（1）當(dāng)，時，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對任意的，都有成立當(dāng)時，求的值；記數(shù)列的前項(xiàng)和為判斷是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.20已知函數(shù)（為常數(shù)）（1）當(dāng)時，求的單

4、調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，且對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21如圖，、是圓的半徑，且，是半徑上一點(diǎn)：延長交圓于點(diǎn)，過作圓的切線交的延長線于點(diǎn).求證：.22在平面直角坐標(biāo)系中，直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到直線，求實(shí)數(shù)、的值23在極坐標(biāo)系中，求圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值24解不等式.25在底面邊長為2，高為1的正四棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)（1）求異面直線、所成的角；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值26將編號為1，2，3，4的四個小球，分別放入編號為1，2，3，4的四個盒子，每個盒子中有且僅有一個小球若小球的編號與盒子的編號相同，得1分，否則得0分記為四個小球得分總和（1）求時的概率；（

5、2）求的概率分布及數(shù)學(xué)期望專心-專注-專業(yè)2014屆江蘇省南京市高三9月學(xué)情調(diào)研理科數(shù)學(xué)試卷參考答案1或【解析】試題分析：，.考點(diǎn)：集合的交集運(yùn)算2【解析】試題分析：由全稱命題的否定知，命題“”的否定是“”.考點(diǎn)：命題的否定3.【解析】試題分析：， .考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模4【解析】試題分析：第一次循環(huán)，不成立，執(zhí)行第二次循環(huán)；，不成立，執(zhí)行第三次循環(huán)；第三次循環(huán)，不成立，執(zhí)行第四次循環(huán)；第四次循環(huán)，成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為.考點(diǎn)：算法與程序框圖5【解析】試題分析：利用、表示第一次和第二次從袋子中抽取的球的編號，用表示其中一個基本事件，則事件總體所包含的基本事件有：，共個；事件“取

6、出的兩個球的編號大于”所包含的基本事件有：，共個，所以事件“取出的兩個球的編號大于”發(fā)生的概率.考點(diǎn)：古典概型6【解析】試題分析：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，底面積為，體積為，則有，故底面面積，故圓柱的體積.考點(diǎn)：圓柱的體積7【解析】試題分析：如下圖所示，不等式組所表示的可行域如下圖中的陰影部分表示，在直線方程，令，解得，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，作直線，其中可視為直線在軸上的截距，當(dāng)直線經(jīng)過區(qū)域中的點(diǎn)時，直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.考點(diǎn)：線性規(guī)劃8或【解析】試題分析：,，當(dāng)時，故曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即或.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象的切線方程9【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差的方程組，

7、則有，解得，故.考點(diǎn)：等差數(shù)列的前項(xiàng)和10【解析】試題分析：為的中點(diǎn)，.考點(diǎn)：平面向量的基底表示11【解析】試題分析：當(dāng)時，解得；當(dāng)時，由于函數(shù)是偶函數(shù)，解得，綜上所述，.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性12【解析】試題分析：法一：如下圖所示，設(shè)，則，由勾股定理易得，由于為鈍角，則，則有，即，即，解得；法二：如下圖所示，設(shè)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在的直線分別為軸、 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，是鈍角，則，即，整理得，解得，且、三點(diǎn)不共線，故有，解得.考點(diǎn)：余弦定理、勾股定理、平面向量的數(shù)量積13【解析】試題分析：由于為等腰三角形，且，故有，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入

8、橢圓的方程得，解得，即，.考點(diǎn)：共線向量、橢圓的離心率14【解析】試題分析：如下圖所示，由圖形易知，則，令，即，解得或，而二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，由圖象知，點(diǎn)和點(diǎn)均在二次函數(shù)的圖象上，故有，由于，當(dāng)時，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，即.考點(diǎn)：函數(shù)的圖象、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性15（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)平面向量垂直的等價條件得到等式，再利用弦化切的思想求出的值，最終在求出角的值；（2）解法一：在角的大小確定的前提下，利用正弦定理與同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求出和，并利用結(jié)合和角公式求出的值，最后利用面積公式求出的面積；解法二：利用余弦定理求出的值，并對的值進(jìn)行檢驗(yàn)，然后

9、面積公式求出的面積.試題解析：（1）因?yàn)?，所以，則， 4分因?yàn)椋?，則，所以 7分（2）解法一：由正弦定理得，又，則，因?yàn)闉殇J角三角形，所以， 9分因?yàn)椋?12分所以 14分解法二：因?yàn)?，所以由余弦定理可知，即，解得或，?dāng)時，所以，不合乎題意；當(dāng)時，所以，合乎題意；所以 14分考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和的正弦函數(shù)、三角形的面積公式16（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的這個性質(zhì)先連接，找到與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用三角形的中位線平行于底邊證明，最后利用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）先證明平面，得到，再由已知條件

10、證明，最終利用直線與平面垂直的判定定理證明平面.試題解析：（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以， 4分因?yàn)槠矫?，平面，所以平?6分（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以?8分因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?10分因?yàn)槠矫?，平面，所以?12分又因?yàn)?，平面，平面，所以平?14分考點(diǎn)：直線與平面平行、直線與平面垂直17當(dāng)休閑廣場的長為米，寬為米時，綠化區(qū)域總面積最大值，最大面積為平方米.【解析】試題分析：先將休閑廣場的長度設(shè)為米，并將寬度也用進(jìn)行表示，并將綠化區(qū)域的面積表示成的函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式來求出綠化區(qū)域面積的最大值，但是要注意基本不等

11、式適用的三個條件.試題解析：設(shè)休閑廣場的長為米，則寬為米，綠化區(qū)域的總面積為平方米， 6分， 8分因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號 12分此時取得最大值，最大值為.答：當(dāng)休閑廣場的長為米，寬為米時，綠化區(qū)域總面積最大值，最大面積為平方米. 14分考點(diǎn)：矩形的面積、基本不等式18（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)題中的條件確定、的值，然后利用求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）先確定點(diǎn)的坐標(biāo)，求出圓的方程，然后利用點(diǎn)（圓心）到直線的距離求出弦心距，最后利用勾股定理求出直線截圓所得的弦長.試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意知，解得，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 5分（2）由題意可知，點(diǎn)為

12、線段的中點(diǎn)，且位于軸正半軸，又圓與軸相切，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，因?yàn)椋裕?7分代入橢圓的方程，可得，因?yàn)?，解得?10分所以圓的圓心為，半徑為，其方程為 12分因?yàn)閳A心到直線的距離 14分故圓被直線截得的線段長為 16分考點(diǎn)：橢圓的方程、點(diǎn)到直線的距離、勾股定理19（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）的值為或；詳見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)數(shù)列的定義求出當(dāng)時數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意根據(jù)的取值利用分段數(shù)列的形式表示數(shù)列的通項(xiàng)；（2）先確定是等差數(shù)列部分還是等比數(shù)列部分中的項(xiàng)，然后根據(jù)相應(yīng)的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的周期性求出的值；在（1）的基礎(chǔ)上，先將數(shù)列的前項(xiàng)和求出，然后利用周期性即可

13、求出，構(gòu)造，利用定義法求出的最大值，從而確定和的最大值，進(jìn)而可以確定是否存在，使得.試題解析：（1）當(dāng)時，由題意得， 2分當(dāng)時，由題意得， 4分故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 5分（2）因?yàn)闊o解，所以必不在等差數(shù)列內(nèi)，因?yàn)?，所以必在等比?shù)列內(nèi)，且等比數(shù)列部分至少有項(xiàng)，則數(shù)列的一個周期至少有項(xiàng)， 7分所以第項(xiàng)只可能在數(shù)列的第一個周期或第二個周期內(nèi)，若時，則，得，若，則，得，故的值為或 9分因?yàn)椋裕?12分記，則，因?yàn)?，所以，即?14分故時，取最大，最大值為，從而的最大值為，不可能有成立，故不存在滿足條件的實(shí)數(shù) 16分考點(diǎn)：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和、數(shù)列的周期性、數(shù)列的單調(diào)性20（1）函數(shù)的

14、單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是.【解析】試題分析：（1）將代入函數(shù)解析式并求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合函數(shù)的定義域便可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為“對任意時，恒成立”，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，圍繞這個核心問題結(jié)合分類討論的思想求出參數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時， 2分由及，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 4分（2）設(shè)，因?yàn)閷θ我獾?，恒成立，所以恒成立，因?yàn)椋?，得?7分當(dāng)，即時，因?yàn)闀r，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)閷θ我獾?，恒成立，所以時，即，解得，因?yàn)?。所以此時不存在； 10分當(dāng)，即時，因?yàn)闀r，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)閷θ我獾?，恒成立，?/p>

15、以，且，即，解得，因?yàn)椋源藭r； 13分當(dāng)，即時，因?yàn)闀r，所以在上單調(diào)遞增，由于，符合題意； 15分綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是 16分考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與導(dǎo)數(shù)、不等式恒成立、分類討論21詳見解析【解析】試題分析：連接，先利用題中條件求出 ，然后利用弦切角定理證明.試題解析：如下圖所示，連接，由于，又，故為等腰直角三角形，且， 4分因?yàn)榍袌A于點(diǎn)，由弦切角定理知， 6分. 10分考點(diǎn)：等腰三角形、弦切角定理22，.【解析】試題分析：確定變換前的坐標(biāo)個變換后的坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后用坐標(biāo)來表示坐標(biāo)，并將上一步的結(jié)果代入直線便可以得到一條直線方程，根據(jù)兩者的系數(shù)關(guān)系求出、的值.試題解析：設(shè)坐標(biāo)在矩陣

16、的變換后的坐標(biāo)為，則有，于是有，解得， 4分將上述結(jié)果代入直線的方程得，化簡得，（*） 6分于是有，解得或， 8分當(dāng)，時，代入（*）式得，不合乎題意，舍去！ 9分綜上所述，. 10分考點(diǎn)：矩陣變換23【解析】試題分析：將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離并判斷直線與圓的位置關(guān)系，在直線與圓相離的前提下，利用結(jié)論：圓上一點(diǎn)到直線的距離的最大值為（其中為圓的半徑長）求解該問題.試題解析：在圓的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以得，化為直角坐標(biāo)方程為，即， 3分故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為， 4分將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為， 6分所以圓的圓心到直線的距離為，故直線與圓相離， 8分于是圓上的點(diǎn)

17、到直線的距離的最大值為 10分考點(diǎn)：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化、點(diǎn)到直線的距離24【解析】試題分析：先構(gòu)造函數(shù)，去絕對值，將函數(shù)的解析式利用分段函數(shù)的形式求出，將問題轉(zhuǎn)化為分段不等式進(jìn)行求解.試題分析：令，當(dāng)時，則，此時恒成立； 3分當(dāng)時，則，令，即，解得，由于，則有； 6分當(dāng)時，則，此時不成立， 9分綜上所述，不等式的解集為. 10分考點(diǎn)：含絕對值不等式的解法、分段函數(shù)25（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）先建系，并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求出異面直線、所成的角；（2）先求出平面與平面的法向量，然后利用法向量來計(jì)算平面與平面所成的銳二面角的余弦值.試題解析：由于為正四棱柱，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則， 1分， 3分設(shè)異面直線、所成的角為，則，即異面直線、所成的角為； 4分（2）如上圖所示，則， ，設(shè)平面的一個法向量為，即，解得，即，將代入得， 令，可得平面的一個法向量為， 6分同理可知平面的一個法向量為， 7分， 8分設(shè)平面與平面所成