不定積分和定積分知識的應(yīng)用

1、不定積分和定積分知識的應(yīng)用1 積分法原理及知識的應(yīng)用1.1求解靜定梁的撓度和轉(zhuǎn)角，應(yīng)用積分法的原理及知識 此問題主要出現(xiàn)在水利工程專業(yè)的工程力學(xué)課程中，主要應(yīng)用于求解建筑結(jié)構(gòu)中靜定梁的位移。梁變形時，其上各橫截面的位置都發(fā)生移動，稱之位移；位移通常用撓度和轉(zhuǎn)角兩個基本量描述。運用微分法和積分法求解撓度和轉(zhuǎn)角的一般步驟是：（1）建立撓曲線近似微分方程，即 ；（2）對微分方程二次積分。積分一次，可得出轉(zhuǎn)角方程：;再積分一次，可得出撓度方程：;(3)利用邊界條件或連續(xù)條件確定積分常數(shù)C、D；（4）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程；（5）求指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度值。 實例1一等截面懸臂梁如圖所示，自由端受集中力P

2、作用，梁的抗彎剛度為EI，求自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。yxlxEIBPA分析：首先建立合適的直角坐標(biāo)系，根據(jù)力學(xué)知識可知，該梁的彎矩方程為M（ x）=-P（l-x ），撓曲線的近似微分方程為=-P(l-x).然后，對微分方程二次積分，利用邊界條件確定積分常數(shù)（C=0，D=0）.最后，回代轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，從而求得自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。 解答：（計算過程略）自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度分別為 l2-Pl2）= yB=Pl3-Pl3）=（轉(zhuǎn)角B為正，表示截面B是順時針轉(zhuǎn)；撓度yB為正，表示撓度是向下的.） 實例2一承受均布荷載的等截面簡支梁如圖所示，梁的抗彎剛度為EI，求梁的最大撓度及B截面的轉(zhuǎn)角。ylx

3、BxAq 分析：首先建立合適的直角坐標(biāo)系，根據(jù)力學(xué)知識可知，該梁的彎矩方程為M（x）=qlx-qx2，撓曲線近似微分方程為=-qlx-qx2.然后，對微分方程二次積分，利用邊界條件確定積分常數(shù)（D=0，C=ql3）.最后，回代轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，從而求得最大撓度和截面B的轉(zhuǎn)角。 解答：（計算過程略）最大撓度發(fā)生在跨中，即為ymax=；截面B的轉(zhuǎn)角為B= (B為負(fù)值，表示截面B反時針轉(zhuǎn)).1.2 求解荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移,應(yīng)用積分法的原理及知識 此問題主要出現(xiàn)在水利工程專業(yè)的工程力學(xué)課程中，主要應(yīng)用于求解建筑結(jié)構(gòu)在荷載作用下產(chǎn)生的位移。運用積分法求解結(jié)構(gòu)位移的一般步驟是：（1）以結(jié)構(gòu)在實際荷載作

4、用下的情形作為實際狀態(tài)；（2）在要求位移的點處，順著給定的方向加上單位荷載=1,建立相應(yīng)的虛設(shè)狀態(tài)。（3）分別列出在兩種狀態(tài)下結(jié)構(gòu)中每根桿各段的內(nèi)力表達(dá)式（坐標(biāo)系統(tǒng)、坐標(biāo)原點和積分變量在兩種狀態(tài)中都應(yīng)該一致）；（4）將內(nèi)力表達(dá)式代入荷載作用下位移的計算公式中，在結(jié)構(gòu)的每根桿上逐段積分，然后求其總和，就可以求得位移kp. 實例渡槽是一種比較常見的農(nóng)田灌溉輸水建筑物，其槽身斷面形式多數(shù)為矩形。某矩形渡槽槽身的計算簡圖如圖所示，試用積分法求C、D兩點的相對水平線位移（即兩點沿水平方向距離的變化），設(shè)各桿的EI為常數(shù)。HlEIxBAxxDC分析：實際狀態(tài)為水壓力作用在槽身上，虛設(shè)狀態(tài)為在C、D兩點加上

5、一對反向的水平單位力=1。然后，應(yīng)用同一坐標(biāo)原點和變量，分別列出在兩種狀態(tài)下各桿段的彎矩表達(dá)式；再將其代入位移公式kp=中，進(jìn)行積分運算。最后，給定L和H一些對應(yīng)數(shù)據(jù)，試算kp值。 解答：（計算過程略）kp=當(dāng)L=4m,H=3m時，kp= );當(dāng)L=4m,H=2m時，kp=-( ).以上計算表明：當(dāng)水深H變化時，C、D兩點的相對水平線位移可正可負(fù)，即兩點可能相互分開，也可能相互靠近，其水平方向距離的變化可以由kp值確定。 2 定積分中值定理知識的應(yīng)用 定積分中值定理作為定積分的一個重要性質(zhì)，計算河床的平均深度時，應(yīng)用定積分中值定理知識。此問題主要出現(xiàn)在水利工程專業(yè)的工程水文學(xué)課程中，主要應(yīng)用于

6、計算河流、湖泊等河床橫斷面水的平均深度，以此用作河流測流、工程設(shè)計或施工的一個依據(jù)。只要測量出河面在某處的寬度（B），河床的橫斷面形狀和河床的最大深度（h ），則可運用定積分中值定理知識計算該處河床的平均深度（ ），即(m). 實例設(shè)一河流的河面在某處的寬度為2 b，河流的橫斷面為一拋物線弓形，河床的最深處在河流的中央，深度為h ，求河床的平均深度. 分析：首先，選取坐標(biāo)系使x 軸在水平面上，y 軸正向朝下，且y 軸為拋物線的對稱軸。于是，拋物線方程為y=h-.然后，運用定積分中值定理便可求得河床的平均深度. 解答：（計算過程略）河床的平均深度=.3 定積分的近似計算（數(shù)值積分法）知識的應(yīng)用

7、近似求物體的截面積，應(yīng)用梯形法或拋物線法等定積分的近似計算知識。此問題主要出現(xiàn)在水利工程專業(yè)的灌溉排水技術(shù)課程中，主要應(yīng)用于近似計算河床、渠道的過水?dāng)嗝婷娣e，進(jìn)而計算截面流量（即渠系測流）。由水利學(xué)知識可知，單位時間內(nèi)流過某一截面的流體的體積就叫做通過這個截面的流量，即QV/t（m3/s）.在水利工程中，流量的計算通常運用公式Q=sv(m3/s)，即過水?dāng)嗝婷娣e（s ）與流速（v ）的乘積。實例1有一條寬為24米的大型干渠，正在輸水澆灌農(nóng)田，試?yán)昧魉賰x并結(jié)合梯形法或拋物線法近似求橫截面積等高等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行測流。x242220181614121086420y12y10y11y3y2y1y0y分

8、析：根據(jù)灌溉管理學(xué)知識，首先選擇測流斷面，確定測線。測流斷面選擇在渠段正直，水流均勻，無漩渦和回流的地方，斷面與水流方向垂直；測流斷面的測線確定為12條。其次，測定斷面。先在渠道兩岸拉一條帶有尺度的繩索，測出測深線的起點距（與斷面起點樁的水平距離）；測線深度，用木制或竹制的測深桿施測，從渠道一岸到對岸每隔2米測量一次水深，測得數(shù)據(jù)如下表。根據(jù)施測結(jié)果繪出測流斷面圖，如圖所示。第三，利用流速儀施測斷面流速。例如，利用旋環(huán)式流速儀測出該渠道斷面平均流速為v=0.60m/s.第四，近似計算渠道過水?dāng)嗝婷娣e和流量。. 測線深度施測數(shù)據(jù)表 （單位：m）xi024681012141618202224yi0

9、0.50.71.01.51.61.92.22.01.71.30.80 解答：（計算過程略）（1） 拋物線法（辛卜生公式）：A30.67m2 ； Q=18.40m3/s.（2） 梯形法：A30.40m2 ； Q=18.24m3/s.實例2有一條河流，寬為200米，從河一岸到正對岸每隔20米測量一次水深，測的數(shù)據(jù)如下表。試分別用梯形法和拋物線法求此河床橫截面積的近似值。 單位：mxi020406080100120140160180200yi259111719211511634 微元法知識的應(yīng)用 微元法在專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課中應(yīng)用非常廣泛，求解物體所受液體的側(cè)壓力，應(yīng)用微元法知識。此問題主要出現(xiàn)在水利

10、工程專業(yè)的水力學(xué)、水工建筑物等課程中，主要應(yīng)用于計算水閘及輸水建筑物（如壩下涵管、隧洞、渠道、管道等）上的閘門所受水壓力的大小，作為設(shè)計或校核閘門結(jié)構(gòu)的一個重要依據(jù)。水閘是一種低水頭水工建筑物，既能擋水，又能泄水，用以調(diào)節(jié)水位，控制泄流量；多修建于河道、渠系及水庫、湖泊岸邊，在水利工程中的應(yīng)用十分廣泛。閘門是水閘不可缺少的組成部分，用來調(diào)節(jié)流量和上、下游水位，宣泄洪水和排放泥沙等。閘門的形式很多，按其結(jié)構(gòu)形式通常分為平面閘門、弧形閘門及自動翻倒閘門等；按其工作條件可分為工作閘門和修理閘門；按其所處的位置不同可分為露頂閘門和潛孔閘門；按其所用的材料可分為鋼閘門、鋼筋混凝土閘門、鋼絲網(wǎng)水泥閘門和木

11、閘門等；按其形狀不同又可分為矩形閘門、梯形閘門、圓形閘門和橢圓形閘門等。閘門的主要作用是擋水，承受水壓力是其作用荷載之一。運用微元法計算閘門所受水壓力時，設(shè)受水壓力作用的區(qū)域與水平面垂直且由曲線y=f(x)0,(0axb)x=a,x=b 及x軸所組成。x 軸正向朝下，y 軸在水平面上，水的密度為=1000/m3,則閘門所受的水壓力大小為P= (N). 實例1有一個水平放置的無壓輸水管道，其橫斷面是直徑為6m的圓，水流正好半滿，求此時輸水管道一端的豎直閘門上所受的水壓力。 分析：首先建立合適的直角坐標(biāo)系，如圖所示，則圓的方程為=9.然后，運用微元法求解即可。yxxx+dxrO解答：（計算過程略）P=1.76×105N.實例2某閘門的形狀與大小如圖所示，其中直線ox為對稱軸，閘門的上部為矩形ABCD，下部由二次拋物線與線段AB所圍成，當(dāng)水面與閘門的上端相平時，欲使閘門矩形部分承受的水壓力與閘門下部承受的水壓力之比為5：4，閘門矩形部分的高h(yuǎn) 應(yīng)為多少米？分析：把y 軸放在水平面上，x 軸為閘門的對稱軸，正向朝下，于是拋物線經(jīng)過（h,1）,(h,-1),(h+1,0)三點，拋物線方程為x=h+1-y2。然后，分別計算閘門上部和下部承受的水壓力P1、P2。最后，根據(jù)P