高等代數(shù)知識點總結(jié)

1、高等代數(shù)高等代數(shù)多項式線性代數(shù)矩陣向量方程組計算多項式多項式一元多項式一元多項式多元多項式多元多項式2 基本概念基本概念：次數(shù)：最基本的概念和工具整除：多項式之間最基本的關(guān)系帶余除法：最基本的算法，判斷整除.最大公因式：描述多項式之間關(guān)系的復(fù)雜程度互素：多項式之間關(guān)系最簡單的情形既約多項式：最基本的多項式根：最重要的概念和工具一元多項式一元多項式3 重要結(jié)論重要結(jié)論： 帶余除法定理對于任意多項式f(x)和非零多項式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意兩個不全為0的多項式都有最

2、大公因式，且對于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.4 因式分解唯一定理 次數(shù)大于1的多項式都可分解成有限個既約多項式之積，且不計因子次序和常數(shù)因子倍時，分解唯一. 標(biāo)準(zhǔn)分解定理 每個次數(shù)大于1的多項式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是非零常數(shù), p1,pt, 是互不相同的首一既約多項式, n1,nt是正整數(shù). 進一步,a, p1,pt,n1,nt由f唯一確定.11tnntfapp 重因式 f無重因式當(dāng)且僅當(dāng)f與其導(dǎo)式互素.5代數(shù)學(xué)基本定理：下列陳述等

3、價，1. 復(fù)數(shù)域上次數(shù)1的多項式總有根2. 復(fù)數(shù)域上的n次多項式恰有n個根3. 復(fù)數(shù)域上的既約多項式恰為一次式4. 復(fù)數(shù)域上次數(shù)1的多項式可分解成一次式之積.5. 實數(shù)域上的次數(shù)1的既約多項式只有無實根的二次式6. 實數(shù)域上次數(shù)1的多項式可分解成一次式和二次式之積6 實數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解定理 在實數(shù)域上，每個次數(shù)大于1的多項式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是f的常數(shù)項, x1,xt 是f全不互不相同的根, p1,pt是互異、首一、無實根的二次式. 復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解定理 在復(fù)數(shù)域上，每個次數(shù)大于1的多項式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是f的常數(shù)項, x1,xt 是f全部互不相同的根, n1,nt分別是這

4、些根的重數(shù).11()()tnntfa xxxx1111()()stmnmnstfa xxxxpp7 多項式作為函數(shù)： 兩個多項式相等(即對應(yīng)系數(shù)相同)它們作為函數(shù)相等(即在每點的函數(shù)值相等)它們在k+1個點的函數(shù)值相等，這里k是它們次數(shù)的最大者. 設(shè)f(x)anxn+.+a1x+a0，若f(x)在n+1個點的函數(shù)值為0，則f(x)恒等于0.8 Eisenstein判別法： 設(shè) 是整系數(shù)多項式，若有素數(shù)p使得 則f(x)是有理數(shù)域上的既約多項式. 有理根：有理根的分母整除首項系數(shù)，分子整除常有理根的分母整除首項系數(shù)，分子整除常數(shù)項數(shù)項10( )nnf xa xa xa2100,|,.,|nnp

5、app ap aa9l 重要結(jié)論重要結(jié)論 命題1.8.1 若多項式的值全為0，則該多項式必為0. 命題1.8.2 每個n次多項式f均可唯一地表示成齊次多項式之和 ，fn0，且其中fi是0或i次齊次多項式，0in，fi稱為f的i次齊次分量.l 基本概念基本概念：次數(shù)、齊次分量、字典序、首項、對稱多項式多元多項式多元多項式01nffff對稱多項式基本定理 每個對稱多項式，都可唯一地表示成初等對稱多項式的多項式.10矩陣矩陣運算運算行列式行列式初等變換初等變換和標(biāo)準(zhǔn)形和標(biāo)準(zhǔn)形特殊矩陣特殊矩陣11運算及其關(guān)系運算及其關(guān)系轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置取逆取逆伴隨伴隨行列式行列式秩數(shù)秩數(shù)加加法法(A+B)T=AT+BTr(A

6、+B)r(A)+r(B)數(shù)數(shù)乘乘(kA)T= k AT(kA) 1= k 1A 1 (kA)*= kn 1A*|kA|=kn|A|r(kA)=r(A) (k0)乘乘 法法(AB)T= BT AT(AB) 1= B 1 A 1(AB)*= B*A*|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A), r(B)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置(AT)T=A(AT) 1=(A 1)T(AT)*=(A*)T|AT|=|A|r(AT)=r(A)取取逆逆(A 1) 1=A(A 1)*(A*) 1|A 1|=|A| 1伴伴隨隨(A*)*=|A|n 2A*|A*|=|A|n 1 n, 若r(A)=n r(A*)= 1, 若

7、r(A)=n-1 0, 若r(A)n-1其其它它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|E當(dāng)當(dāng)A可逆時，可逆時，A*|A|A 1定義定義性質(zhì)性質(zhì)若P,Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)12轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置取逆取逆伴隨伴隨加法(A+B)T=AT+BT數(shù)乘(kA)T= k AT(kA) 1= k 1A 1 (kA)*= kn 1A*乘法(AB)T= BT AT(AB) 1= B 1 A 1(AB)*= B*A*轉(zhuǎn)置(AT)T=A(AT) 1=(A 1)T(AT)*=(A*)T取逆(A 1) 1=A(A 1)*(A*) 1伴隨(A*)*=|A|n 2A*其它A-1=|A|-1A*

8、AA*=A*A=|A|I當(dāng)當(dāng)A可逆時，可逆時，A*|A|A 113行列式行列式秩數(shù)秩數(shù)加法r(A+B)r(A)+r(B)數(shù)乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A) (k0)乘法|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A), r(B)轉(zhuǎn)置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A 1|=|A| 1伴隨|A*|=|A|n 1 n, 若若r(A)=n r(A*)= 1, 若若r(A)=n 1 0, 若若r(A)n 1 其它定義定義性質(zhì)性質(zhì)若P, Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)14性質(zhì)公式備注轉(zhuǎn)置不變性|AT| = |A|行列地位平等反交換性|.| =

9、|.|換法變換交錯性|.| = 0齊性|.k.| = k|.|倍法變換統(tǒng)稱線性加性|.+.| = |.| + |.|倍加不變性|.+k.| = |.|消法變換按第k行第k列展開 |aij| = ak1Ak1+aknAkn = a1kA1k+ankAnkaj1Ak1+ajnAkn = a1jA1k+anjAnk =jk|aij| Laplace定理分塊三角矩陣的行列式Cauchy-Binet 公式Vandermonde行列式定義 性質(zhì)；11111|kkkAAjjkkiiiiAjjjj式代余式111-|-mmUViimiiUVii式式1511111|kkkAAjjkkiiiiAjjjj式代余式La

10、place定理 (按第i1,.,ik行展開)0*|*0AAABBB0*( 1)|*0mnAAABBB ；分塊三角形行列式16111-|-mmUViimiiUVii式式Cauchy-Binet公式公式 設(shè)U是mn矩陣, V是nm矩陣, mn, 則171222212111111111()0,.,j nnnjiinnnnnxxxVxxxxxxxxVxx 互不相同18初等變換初等變換行變換行變換列變換列變換換法變換換法變換倍法變換倍法變換消法變換消法變換101101 1111c1111c對單位矩陣做一次初等變換對單位矩陣做一次初等變換對對A A做一次做一次行行變換變換 = = 用相應(yīng)的初等矩陣用相應(yīng)的

11、初等矩陣左左乘以乘以A A對對A A做一次做一次列列變換變換 = = 用相應(yīng)的初等矩陣用相應(yīng)的初等矩陣右右乘以乘以A A19 對于對于mn矩陣矩陣A，B下列條件等價下列條件等價1. A B，即，即A可由初等變換化成可由初等變換化成B2. 有可逆矩陣有可逆矩陣P,Q使得使得PAQ=B3. 秩秩A=秩秩B4. A，B的標(biāo)準(zhǔn)型相同的標(biāo)準(zhǔn)型相同 A,B行等價行等價有可逆矩陣有可逆矩陣P使得使得A=PB 每個矩陣都行等價于唯一一個每個矩陣都行等價于唯一一個RREF矩陣矩陣 A,B等價等價有可逆矩陣有可逆矩陣P,Q使得使得A=PBQ 每個每個秩數(shù)為秩數(shù)為r的矩陣都等價于的矩陣都等價于000rI矩陣等價矩陣

12、等價20可逆矩陣vs列滿秩矩陣對于對于n n階矩陣階矩陣A,A,下列條件等價下列條件等價1.1. A A是可逆矩陣是可逆矩陣2.2. |A|A| 0 03.3. 秩秩A=nA=n4.4. 有有B B使得使得AB=IAB=I或或BA=IBA=I5.5. A A是有限個初等矩陣之積是有限個初等矩陣之積6.6. A(A(行或列行或列) )等價于等價于I I7.7. A A的列的列( (行行) )向量組線性無關(guān)向量組線性無關(guān)8.8. 方程組方程組Ax=0Ax=0沒有非零解沒有非零解9.9. 對任意對任意b,Ax=bb,Ax=b總有解總有解10.10.對某個對某個b,Ax=bb,Ax=b有唯一解有唯一解

13、11.11.A A是可消去的是可消去的( (即由即由AB=ACAB=AC或或BA=CABA=CA恒可得恒可得B=C)B=C)對于對于m mr r矩陣矩陣G,G,下列條件等價下列條件等價1.1. G G是列滿秩矩陣是列滿秩矩陣, ,2.2. G G有一個有一個r r階的非零子式階的非零子式3.3. 秩秩G=G=列數(shù)列數(shù)4.4. G G有左逆有左逆, ,即有即有K K使得使得KG=IKG=I5.5. 有矩陣有矩陣H H使得使得(G, H)(G, H)可逆可逆6.6. G G行等價于行等價于7.7. G G的列向量組線性無關(guān)的列向量組線性無關(guān)8.8. 方程組方程組Gx=0Gx=0沒有非零解沒有非零解

14、9.9. 對任意對任意b,b,若若Gx=bGx=b有解有解則唯一則唯一10.10.對某個對某個b,Gx=bb,Gx=b有唯一解有唯一解11.11.G G是左可消去的是左可消去的( (即由即由GB=GCGB=GC恒可得恒可得B=C)B=C)0rI21設(shè)A的秩數(shù)為r, 則A有如下分解1. ,其中P,Q為可逆矩陣 2. A=PE,其中P可逆,E是秩數(shù)為r的RREF3. A=GH,其中G列滿秩,H行滿秩,且秩數(shù)都是r (滿秩分解)矩陣分解矩陣分解00 0rAPQI221.分塊矩陣的初等變換和Schur公式 把初等變換和初等矩陣的思想用到分塊矩陣 Schur公式 設(shè)A可逆 兩種常用方法兩種常用方法111

15、1111IOABA BC DCAIO D CA BAOA BIA BC DOIB D CA BIOAOA BIA BC DOICAIO D CA B適用例子: 習(xí)題3.7.5; 3.7.911:232.正則化方法 證明當(dāng)A可逆時結(jié)論成立 考慮xI+A,有無窮多個x使得該矩陣可逆 將要證明的結(jié)論歸結(jié)為多項式的相等 若兩個多項式在無窮多個點處的值相同,則這兩個多項式在任意點的值相等,特別地,取x=0.適用例子: 習(xí)題3.6.4; 3.7.7; 3.7.11:24特殊矩陣三角 正規(guī) 可逆對合 Hermite 反Hermite 酉矩陣 冪等 冪零 對稱 反對稱 正交 對角 純量 25向量線性關(guān)系線性相

16、關(guān)線性無關(guān)線性表示等價極大無關(guān)組秩數(shù)26線性表示： 列向量組1,.,r可由1,.,s線性表示當(dāng)且僅當(dāng)有矩陣C使得(1,.,r)=(1,.,s)C. 進一步，C的第k列恰為k的表示系數(shù) 線性表示有傳遞性 被表示者的秩數(shù)表示者的秩數(shù)向量組等價：對于向量組S，T，下列條件等價1. S和T等價，即S,T可以互相表示2. S,T的極大無關(guān)組等價3. S,T的秩數(shù)相等，且其中之一可由另一表示27線性相關(guān)與線性表示： 1,.,r線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中之一可由其余的線性表示 若,1,.,r線性相關(guān),而1,.,r線性無關(guān),則可由1,.,r線性表示,且表法唯一線性無關(guān)：對于向量組1,.,r下列條件等價 1,.,r線

17、性無關(guān) 當(dāng)c1,.,cr不全為0時，必有c11+.+crr0 當(dāng)c11+.+crr0時，必有c1.cr0 1,.,r的秩數(shù)等于r (1,.,r)是列滿秩矩陣28極大無關(guān)組與秩數(shù)：1. 1,.,rS是S的一個極大無關(guān)組當(dāng)且僅當(dāng) 1,.,r線性無關(guān) S的每個向量都可由1,.,r線性表示2. 秩S極大無關(guān)組中向量的個數(shù)3. 若秩Sr,則任何r個無關(guān)的向量都是極大無關(guān)組4. 矩陣的秩數(shù)行向量組的秩數(shù)列向量組的秩數(shù)5. 向量組向量組向量空間向量空間解空間解空間極大無關(guān)組極大無關(guān)組基底基底基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系秩數(shù)秩數(shù)維數(shù)維數(shù)n r29向量空間 向量空間：加法和數(shù)乘封閉的向量集合 基底：向量空間的極大無關(guān)組 維

18、數(shù)：向量空間的秩數(shù) 行空間：矩陣的行向量組張成的向量空間 列空間：矩陣的列向量組張成的向量空間 行空間與列向量的維數(shù)都等于矩陣的秩數(shù) 對于矩陣mn矩陣A，B，下列條件等價 A,B行等價 A,B的行空間相同 A,B的行向量組等價 A,B的列向量組線性關(guān)系一致 Ax=0和Bx=0同解30線性方程組線性方程組的表示 方程式： 矩陣式：Ax=b, 其中A=(aij)mn, x=(xi)n1, b=(bi)m1 向量式：x11+.+xnn=b, 其中i是xi的系數(shù)列11 11221121 1222221 122nnnnmnnmmma xa xa xba xaxaxbaxaxaxb 31解的判定: 1.

19、n元線性方程組Ax=b有解系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩數(shù)相等. 具體地， 當(dāng)秩A秩(A b)時，方程組無解 當(dāng)秩A秩(A b)n時，方程組有唯一解 當(dāng)秩A秩(A b)n時，方程組有無窮解2. 線性方程組有解常數(shù)列可由系數(shù)列線性表示. 此時, 解恰為表示的系數(shù)32解法Cramer法則Gauss-Jordan消元法： 用行變換和列換法變換將增廣矩陣化成RREF 寫出RREF方程組 取每個方程的第一個變量為主變量，其余的為自由變量，并解出主變量 寫出參數(shù)解或通解33解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組Ax=0： 解空間：解的集合 基礎(chǔ)解系：解空間的基底 通解：設(shè)1,s是一個基礎(chǔ)解系,則通解為=c11+.+css，其中c1,.,cs是任意常數(shù) 解空間的維數(shù)未知數(shù)個數(shù)系數(shù)矩陣的秩數(shù) 設(shè)秩A=r,則Ax=0的任何n-r個無關(guān)的解都是基礎(chǔ)解系34一般線性方程組Ax=b： Axb和Ax=0的解的關(guān)系： Axb的兩個解之差是Ax=0的解 Axb的解與Ax=0的解之和是Ax=b的解 Ax=b的解的線性組合是 設(shè)Sb和S0分別表示Axb和Ax=0的解集合，則SbS0+，Sb 通解：設(shè)1,