第八章導行電磁波(二)

1、第八章 導行電磁波（二） 圓柱形波導管也是應用較廣泛的一種波導管，它可以用于天線饋線和多路通信中，可以構成微波諧振腔、旋轉式移相器和衰減器，還可以構成微波管的輸出腔，以及其它方面的應用。本節(jié)所講的圓柱形波導管，是指橫截面為圓形的空心金屬波導管（普通圓波導管）8-3 圓柱形波導四個場分量四個場分量 求圓柱形波導內場量分布的方法與矩形波導內場量分部的方法完全一樣，但以采用下圖所示，圓柱坐標較為方便。yzx0rzEErE如果用兩個縱向場分量Ez和Hz來表示其它場分量。則四個橫向分量表達式（8-22）式表示成圓柱坐標：）（zzcrHrjrEkE21）（rHjErkEzzc21）（zzcHrrEjkH2

2、1）（rHErjkHzzcr21588 另一方面，由波動方程 按圓柱坐標系把 分成縱向和橫向分量：2222zEEEr022EkEE2598 故可得圓柱導波裝置中的電場微分方程：0222EkEr）（608 022EkEcr即：為本征值）其中（22kkcTM波波仍先求Ez分量，得標量波動方程。由 算子，得：2r011222222zczzzEkErrErrE）（618用分離變量法求解上式，令：)()(rREz）（628式中的R表示只含變量r的函數(shù)， 表示只含變量 的函數(shù)。因子 均被省略。j tze將 代入 式中,可得:REz）（6180222222RkddrRdrdRrdrRdc上式可以改寫為:22

3、222221ddrkdrdRRrdrRdRrc）（638此式等號左邊只含與r有關的項,右邊只含與有關的項.欲使此式對一切的r, 值均成立,等式兩邊應分別等于同一常數(shù)m2 .即有:2221mdd）（648）（658222222mrkdrdRRrdrRdRrc式 的通解為:）（6480122222RrmkdrdRrdrRdc mmAsincos）（668式 可寫成:）（658這是貝塞爾方程,它的解為:）（）（rkNBrkJBrRcmcm21)(）（678式中Jm是m階第一類柱貝塞爾函數(shù),Nm是m 階第二類貝塞爾函數(shù).由于r的變化范圍可由0變到圓柱行波導的半徑a,為了使Ez在r=0處不改變?yōu)闊o限大,

4、應取第一類柱貝塞爾函數(shù),即令C=0,式 此時可寫成:REzArkBJREcmz）（）（）（mmsincos）（）（mmsincos）（ rkJEEcmz0可設 (常數(shù)),則:ABE 0將先前 所求EZ代到TM波的縱橫場關系式得四個分量.并考慮到 =j=jkz,TM波的Hz=0.可得到圓柱形波導中TMmn波的場量為:)sin()cos(/0mmrkJEkkjEcmczr）（)sin()cos(02mmrkJErkmkjEcmcz）（EkHzrrzEkH）（738式中E0為常數(shù)-由激勵源決定.）（708)sin()cos(/0mmrkJHkjHcmcr）（)sin()cos(02mmrkJHrkm

5、jHcmc）（HErrHE)sin()cos(0mmrkJHHcmz）（）（778同樣的方法,可得圓柱形波導中TE波的各場量表達式為:式中H0常數(shù)-由激勵源決定.TE波波三個常用模三個常用模1，主模TE11模TE11模，m=1，n=1則： 最小。截止頻率fc最低：故c最長，是圓柱波導中的最低次模，也是主模。akc/841. 111 akkfcmncc2841. 122112，圓對稱TM01模 m=0，n=1則： akc/405. 201具有最低fc，故TM01是圓柱波導的第一個高次模。3，低損耗的TE01模 它是圓柱波導的高次模式，與TM11模是簡并模，下圖表示圓柱形波導中 的分布： c0ca

6、4a3a2aa61.2a412.3截止區(qū)域截止區(qū)域TMTM0202TETE1212TMTM2121TETE0101、TMTM1111TETE2121TMTM0101TETE1111 廣義而言,凡能夠限定電磁能量在一定體積內振蕩的結構可構成電磁振蕩器.1,在低頻無線電技術中采用LC回路(諧振)產生電磁振蕩.大約在300MHz以下,諧振器是用集總的電容器C和電感器L做成.LCWtCWLWLC并聯(lián)振蕩回路8-4 諧振腔一般概念一般概念 當激勵信號頻率f與LC回路固有(諧振)頻率f0相等時,即發(fā)生并聯(lián)諧振. 此時磁場能量WL集中在電感線圈中,電場能量 WC集中在電容器內,并且電場能量最大時,磁場能量為

7、零;WL最大,WC=0,電能與磁能隨時間不停地相互轉換,轉換的過程即諧振過程.用來描述諧振性能的參量有諧振頻率(f0唯一),品質因素Q及R,L,C等.2,當f增高(高于300MHz)時,即在微波波段,為何不用LC諧振回路?原因有以下:(1),fL,C元件尺寸-結構加工困難機械強度CLLCLC00,1使用困難 不能正常工作(2), (L,C元件幾何尺寸與 可相比似時) -歐姆損耗,介質損耗,輻射損耗 -回路Q-降低了回路的諧振質量.3,由此可見,在微波范圍內,必須研制新型的諧振器(諧振 回路) 微波諧振器(腔)可以用作振蕩器或調諧放大器的振蕩回路,微波濾波器,倍頻器頻率預選器,回波箱等;另外,諧

8、振腔還在微波管和加速器中得到了某些應用. 下面以同軸諧振器為例分析諧振腔中電場能和磁場能的相互轉換: 如右圖所示的同軸諧振器(腔)電路.在此諧振器內,電場能量最大時,磁場能量為零;磁場能量最大時,電場能量為零,電能與磁能隨時間不停地相互轉換,其能量轉換關系與LC諧振器一致.所不同的是電能和磁能分布在整個結構中,不能截然分開,這主要是由于傳輸線上分布參數(shù)作用的結果.因此在微波波段,一段兩端短路(或開路)的傳輸線所起的作用與LC串并聯(lián)諧振電路所起的作用完全一樣,故稱這樣的結構為微波傳輸線型諧振器,若是由波導或同軸傳輸線構成,也稱其為諧振腔.lEH微波諧振器的分類微波諧振器的分類 微波諧振器的種類很

9、多,按其結構型成可分為傳輸線型諧振器和非傳輸線型諧振器兩類.1,傳輸線型諧振器-是一段由兩端短路或開路的前述三類微波導行系統(tǒng)構成的.大多數(shù)實用微波諧振器屬于此類,如矩形波導空腔諧振器,圓波導空腔諧振器,同軸線諧振器,微波線諧振器,介質諧振器.2,非傳輸線型諧振器(或稱復雜形狀諧振器)-不是由簡單的傳輸線或波導段構成的,而是一些形狀特殊的諧振器.這種諧振器通常在坐標的一個或兩個方向上存在不均勻性,如環(huán)形諧振器,混合同軸線型諧振器等.本章只研究傳輸線型微波諧振器微波諧振器與微波諧振器與LC諧振回路的異同點諧振回路的異同點:1,相同點: 它們的本質均為電磁振蕩,即電磁能量的相互轉換,電場能量與磁場能

10、量的最大值相等.2,不同點: LC回路是集總參數(shù)電路,而微波諧振器是分布參數(shù)的概念. LC回路只能有一個諧振頻率f0,但尺寸一定的微波諧振器有無窮多個諧振頻率,即微波諧振器具有多諧性.1,諧振波長0(或頻率f0) 諧振波長0是微波諧振器最主要的參數(shù),它表征微波諧振器的振蕩規(guī)律,即表示微波諧振器內振蕩存在的條件. 當電場和磁場沿x,y,z三個方向都形成駐波時,即達到諧振條件,依波動方程:002222HkHEkE如果在矩形諧振腔中,場量所滿足的波動方程簡化成:諧振器的基本參數(shù)諧振器的基本參數(shù) 用來描述微波諧振器的基本參數(shù)則是諧振波長0(或諧振頻率f0),品質因數(shù)Q0,和等效電導G0,下面分別討論這

11、三個參數(shù)及其一般表達式. 代入諧振腔中任一場分量于上式2222lpbnam808 上式即為諧振腔中能夠存在電磁振蕩時,角頻率 所必須滿足的條件.由它可得到諧振頻率 (當m,n,p取不同值時),故寫成:0222,01lpbnampnm818由 得:0222,021lpbnamfpnm82802222222EzEyExE798其對應的諧振波長為:222,02lpbnampnm838 這表明,當腔尺寸a,b和L(長度)給定時,隨著m,n和L取一系列不同的整數(shù),即得出腔內的一系列不連續(xù)的f0.f0的不連續(xù)性是封閉的金屬空腔中電磁場的一個重要特性.這是由于邊界條件的要求,腔內電磁場的頻率只能取一系列特定

12、的,不連續(xù)的數(shù)值,這是約束在空間有限范圍內的波的普遍性.這一點又與無限空間中的電磁波不同,無限空間中波的頻率由激發(fā)它的源的頻率決定,因而可連續(xù)變化. 在這里把具有相同f0的不同模式叫做簡并模式. 對于給定的諧振腔尺寸,諧振頻率最低的模式稱為主模. 當腔的尺寸abL時,最低頻率的諧振模式為(1,1,0),其諧振f0為:2201121baf220112ba 此波長與諧振腔的幾何尺寸同數(shù)量級.在微波技術中通常用諧振腔的最低模式來產生特定頻率的電磁振蕩.2,品質因素Q0 諧振腔可以儲存電場和磁場能量,在實際的諧振腔中,由于腔壁的電導率是有限值,這樣將導致能量的損耗.和其它振蕩回路一樣,諧振腔的品質因素

13、Q0定義為:其中:W-腔內儲能,WT-為一周期內腔中損耗能量,改PL為諧振腔內的時間平均功率損耗,則一個周期 內腔損耗的能量 故有: 確定諧振腔在諧振f0的Q值時,通常是假設損耗足夠少,以致可以應用無損耗時的場分布.TWWQ20848LPWQ02LTPW 858/2T3,等效電導G0 等效電導G0表示諧振腔損耗的參量 微波諧振器的等效電路微波諧振器的等效電路202mLUPG 8680GCmUL定義為: 式中Um為廣義傳輸線模式電壓,由于模式電壓不唯一,所以G0也不是單值量,因此嚴格講,一般情況下,微波諧振器的G0值是難以確定的,盡管如此,我們還是可以設法在諧振器內表面選擇兩個固定點a和b,并在

14、固定時刻沿所選擇路徑進行電場的線積分,并以此積分值作為等效電壓Um的值,據(jù)此得到:則:顯然,G0與所選擇的點a和b有關,這有別于Q0,Q0對每個給定尺寸的諧振器來說是固定不變的.bmmaUE d l mE( -電場強度矢量的幅值)022LbmaPGEd l888 矩形腔矩形腔由前節(jié)所述，低頻無線電技術中采用回路產生電磁振蕩當頻率很高時（例如微波范圍），這種振蕩回路有強烈的輻射損耗和焦耳損耗，不能有效的產生高頻振蕩因此，必須用另一種振蕩器-諧振腔來激發(fā)高頻電磁振蕩諧振腔是一種適用于高頻的諧振元件，它是用理想導體圍成的任意形狀的空腔，凡是用理想導體圍成的任意形狀的空腔都有共振現(xiàn)象具有回路的性質，稱

15、為諧振腔諧振腔可以將電磁振蕩全部約束在空腔內，電磁場沒有輻射，也沒有介質損耗，金屬導體的焦耳損耗很小，因此具有較高的品質因數(shù)它在微波頻段中廣泛用于波長計，濾波器等器件，這一節(jié)將以矩形諧振腔為例，討論諧振腔的性質一，諧振腔中的場結構一段長為的矩形波導，兩端用金屬板將它封閉起來就構成了矩形諧振腔，如下圖所示：lxyzlab由于這兩個導體端面對電磁導波的反射作用，波將在其間來回反射，而形成駐波駐波不能傳輸電磁能量，它只能產生電磁能的相互轉換，在能量轉換過程中表現(xiàn)出了振蕩現(xiàn)象所以封閉的導體空腔可用來作電磁振蕩的諧振器對于矩形諧振腔，可不按普遍方法來解，而是從矩形波導管的解出發(fā)，利用波的反射定律來討論，

16、這里要簡單的多現(xiàn)在選擇z軸為參考的“傳播方向”，按相對于Z軸的模，模來分別討論二，振蕩模式此時，由前面討論可知，無線長矩形波導中的電磁波沿x，y方向都是駐波，沿z方向為行波但在諧振腔內，由于位于 處的導體端面的反射，出現(xiàn)沿（z）方向的反射波因此，由矩形波導的解：不難得矩形諧振腔內振蕩模式的的表達式為：0,0ZZEHlz ZHybnxamAHmnZcoscosybnxameAeAHzjzjZcoscos)898( 式中和分別為正子和負子方向傳播的波的振幅常數(shù)在z處，由于有：所以（8-89）式寫為：0ZH2coscossinZmnHj Axyzab )908( 在處，由于則有：必須取 即：于是，得

17、振蕩模式的場分量的表達式為：lz 0ZH0sinl,pl .)3 , 2 , 1(plp)918( 2coscossinZmnHj Axyzabl ZH)928( 根據(jù)電磁場基本方程組，振蕩模式的其它場分量可以由求得如下：ZHzlpybnxamAbnkEcxsincoscos22zlpybnxamAamkEcysincossin22zlpybnxamAlpamkjHcxcoscossin22)938( zlpybnxamAlpbnkjHcycossincos22zlpybnxamjAHzsincoscos2式中的即：2ck2222bnamkkmnc式 說明：諧振腔中存在著無窮多個振蕩模式對于不

18、同的（m，n，p）值，有不同的場分布因此，為表示諧振腔內的振蕩模式，需要用三個下標（m，n，p），并以mnp表示這兩個表示式還說明，矩形諧振腔中的電磁波沿x，y和z方向都是駐波，表現(xiàn)出振蕩現(xiàn)象)938(),928(三，振蕩模式 此時, 類似地,可以求得到TM振蕩模式的各個場分量為:0,0ZZEHzlpxbnxamElpamkEcxsinsincos202zlpxbnxamElpbnkEcysincossin202zlpxbnxamEEzcossinsin20zlpxbnxamEbnkjHcxcoscossin202zlpxbnxamEamkjHcycossincos202948式中的 由 給出

19、,諧振腔中也存在著無窮多個TM振蕩模式,并以TMmnp表示.2ck222bnamkc四,舉例例2, 有一填充空氣的矩形諧振腔,其沿x,y,z方向的尺寸分別為 (1)試確定相應的主模和諧振頻率.(2)寫出該主模的場分量表達式bla解: 選擇z軸作為參考方向的”傳播方向”. 首先,對TMmnp模式,m和n均不可為零,而p為零. 其次,對于TEmnp模式，m或n均可為零(但不能同時為零),因此,最低階的模式為: TM110,TE011,TE101(1)當 時,最低諧振頻率為:bla220010101121laf于是得TE101為主模(2)因為主模是TE101，所以有m=1,n=0,p=1,故可求出T

20、E101的場分量表達式：0cos()sin()ZHHxzal0 xE02sin()sin()ycjEHxzakal 202sin()cos()xcHHxzk alal 0yH 圓形波導諧振腔簡稱圓柱形腔,是一段長度為 兩端短路的圓波導構成的,如圖所示:llazxr0 圓柱腔由于它具有教高的品質因數(shù),調諧方便,結構堅固和易于加工制作等優(yōu)點,因此得到了廣泛的應用. 例如,可用作微波頻率計或波長計,回波箱等.圓柱形腔圓柱形腔 與矩形類似,圓柱形腔可由一段圓波導和兩端短路板組成,由于圓波導中主模是TE11模,因此,圓柱腔中的主模一般是TE111模(當腔 時,例外.)al1 . 2對應于不同的m,n,p值,腔中有不同的振蕩模.故有：1.圓柱腔具有多諧性。2.當a, 一定時， 最長的模稱為主模。 當 時， 模為主模 當 時， 模為主模3.在圓柱腔中，TEmnp, TMm