定積分的計算方法

1、1第四節(jié)第四節(jié) 定積分的換元積分法和分部積分法定積分的換元積分法和分部積分法一、定積分的換元積分法一、定積分的換元積分法設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；函函數(shù)數(shù))(tx 滿滿足足條條件件 定理定理（2 2）)(t 在在, 或或, 上上單單調(diào)調(diào)，且且有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)， 則有則有 tttfxxfbad)()(d)(（1 1）a )( 、b )( ； 2證證 tttfxxfbad)()(d)(因為因為)(xf在在 ,ba上連續(xù)，故原函數(shù)存在，設(shè)上連續(xù)，故原函數(shù)存在，設(shè))(xF是是)(xf的一個原函數(shù)，則有的一個原函數(shù)，則有 tttfd)()(.d)( baxxf )(d)(ttf )(tF

2、)()( FF )()(aFbF 3注意注意:(1) 應(yīng)用定積分的換元法時應(yīng)用定積分的換元法時, ,與不定積分比較，與不定積分比較，多一事：換上下限；多一事：換上下限；少一事：不必回代；少一事：不必回代； )(tx 應(yīng)應(yīng)單單調(diào)調(diào), ,當當t從從 變變到到 時時, , x從從a變變到到b, ,不不重重復復, ,不不遺遺漏漏； (2)(3) 逆用上述公式逆用上述公式, ,即為即為“湊微分法湊微分法”, ,不必換限不必換限. . tttfxxfbad)()(d)(4例例1 1 2/05dsincos xxx2/06cos61 x .61 例例2 2 30)1(dxxx 301d2xx30arctan

3、2x .32 例例3 3 202d1xxx2021x .15 2022d1121xx 2/05cosdcos xx5例例4 4 計算計算解解.dsinsin03 xxx原式原式 02dcossinxxx 0dsin|cos|xxx 220dsincosdsincosxxxxxx 220sindsinsindsinxxxx 2322032sin32sin32xx .34 6例例5 5 計算計算解解令令.1d8 0 3 xx，tx 3，ttxd3d2 , 80:x，20: t原式原式 202d13ttt 202d1113ttt 20d)111(3ttt202)1ln21(3ttt .3ln3 ，3

4、tx 7例例6 6 計算計算解解令令原式原式.d1e3ln0 xx，tx 1e，21etx ，)1ln(2 tx，tttxd12d2 ，3ln0:x，22:t 222d12tttt 222d)111(2tt2211ln)22(2 tt1212ln31ln)22(2 . )12ln(23ln)22(2 8例例7 7 計算計算解解令令.d)1(10222 xxx ,tantx 40: t，ttxdsecd2 原式原式 4/0422dsecsectan tttt 4/02dsin tt 4/0d)2cos1(21 tt4/02sin418 t .418 9例例8 8解解求求函函數(shù)數(shù)221xxy 在在

5、區(qū)區(qū)間間23,21上上的的平平均均值值. . sin tx 232122d1xxxtttt 362dcoscossin tt 362dsin tt 36d)2cos1(21 3/6/2sin4112 t 所以平均值等于所以平均值等于)2123(12 .1213 ，12 10例例9 9解解設(shè)設(shè),0 ,110 ,2 )( xxxxxxf 求求 20)d1(xxf. . 令令，tx 1原式原式 11d)(ttf 11d)(xxf 0110d11d2xxxxx.2ln2 01102d)121(xxx01)1ln(211 x11證證設(shè)設(shè))(xf在在,aa 上上連連續(xù)續(xù), ,那那么么 ( (1 1) )

6、若若)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù), ,則則 aaaxxfxxf0d)(2d)(； ( (2 2) ) 若若)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), ,則則 0d)( aaxxf. . ， 00d)(d)(d)(aaaaxxfxxfxxf aattftxxxf00d)( d)(， axxf0d)(， aaaxxfxfxxf0d)()(d)( 利用函數(shù)的對稱性利用函數(shù)的對稱性, ,有時可簡化計算有時可簡化計算. .12(1) (1) )(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù), 則則 ),()(xfxf ( (2 2) ) )(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), 則則 ),()(xfxf aaaxxfxfxxf0d)()(d)( aaaxxfx

7、xf0d)(2d)( .0d)( aaxxfyxo)(xfy yx)(xfy o13 1122d)1(xxx 11222d)112(xxxxx 11211d12d1xxxx.2 例例1010 xxbxaxxdcossin1cossin2222.0 奇函數(shù)奇函數(shù) 112d)1ln(xxx,0 11d21121xx,0 11d22ln1xxx 11dx,2 112d)1ee (xxxx 102d2xx.32 奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)14設(shè)設(shè))(xf是是以以T為為周周期期的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，證證明明： 證證 Taaxxfd)(,d)(d)(d)(00 TaTTaxxfxxfxxf TaTxxfd)

8、( tTx atTtf0d)( attf0d)(,d)(0 axxf.d)(d)( 0 TTaaxxfxxf例例1111 TTaaxxfxxf0d)(d)(. . 15例例1212設(shè)設(shè))(xf在在10 ，上上連連續(xù)續(xù), ,證證明明： .d)(sin2d)(sin2/00 xxfxxf， 2/2/00d)(sind)(sind)(sinxxfxxfxxf證證(1) 2/d)(sinxxf 2/0d)(sin ttf， 2/0d)(sin xxf.d)(sin2d)(sin 2/00 xxfxxf xt 02/)(d)sin( ttf16.d)(cosd)(sin2/02/0 xxfxxf證證(2

9、)令令，xt 2 2/0d)(sin xxf 02/d)2sin( ttf.d)(cos2/0 xxf例例1212設(shè)設(shè))(xf在在10 ，上上連連續(xù)續(xù), ,證證明明： 17證證(3)令令， 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf并計算并計算 .dcos1sin02 xxxx，xt 0d)(sinxxxfI，Ixxf 0d)(sin.d)(sin2 0 xxfI例例1212設(shè)設(shè))(xf在在10 ，上上連連續(xù)續(xù), ,證證明明： )d()sin()(0 ttft 0d)(sin)(ttft18 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 0)arctan(cos2x 1arct

10、an)1arctan(2 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf 02cosdcos112xx.42 19解解例例1313設(shè)設(shè))(xf在在),( 上上連連續(xù)續(xù)，且且滿滿足足 ,1ed)(0 xttxftxx求求)(xf， 令令，txu xttxft0d)(則則 0d)()(xuufux xuufux0d)()(,d)(d)(00 xxuufuuufx,1ed)(d)( 00 xuufuuufxxxx兩邊求導，兩邊求導，,1e)()(d)(0 xxxxfxxfuuf即即,1ed)(0 xxuuf再求導，得再求導，得.e)(xxf 20設(shè)設(shè) xtttxf1d1ln)(, ,其其中中0 x,

11、,求求)()1(xfxf . . 例例1414解解 xtttxf11d1ln)1(uuuuutxd)1(/11ln /1 12 ,dln12 xuuuu xxtttttttxfxf11d1lnd)1(ln)()1( xttt1dln.ln212x xtttttt1d1ln)1(ln21二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法定理定理 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(),(xvxu在在,ba上上連連續(xù)續(xù)可可導導, ,則則 .d)(d bababauvuvvu例例1 1 10dexxx 10dexx 1010deexxxx例例2 2 51dlnxx 5151lndlnxxxx.45ln5 51d15ln5xx

12、x.1ee10 x22 e13dlnxxx e121dln21xx e12e12lnd121ln21xxxx e132d121e21xxe12241e21x .e43412 例例3 3例例4 4 02dsinxxx 02cosdxx 002dcos2cosxxxxx 02sind2xx 002dsin2sin2xxxx.42 23例例5 5 計算計算與換元法結(jié)合與換元法結(jié)合.de10 xx解解令令,tx ,2tx ,d2dttx ,10:t原式原式 10de2ttt 10de2tt 1010de2e2tttt.2e2e210 t24例例6 6 計算計算解解 令令原式原式.d1arcsin30

13、xxx,1arcsintxx 則則,tan2tx ,30: x 3/02tand tt 3/023/02dtantan tttt.334 ,sin12txx 解得解得,30: t 3/02d) 1(sec tt3tan3/0 x25 e1d)sin(lnxxI e1e1d1)cos(ln)sin(lnxxxxxx e1d)cos(ln1sinexx e1e1d1)sin(ln)cos(ln1sinexxxxxx,11cose1sineI .)11cose1sin(e21 I例例7 7 計算計算.d)sin(lne1 xx解解26解解計算積分計算積分， 10d)(xxxfI.de)(12 xtt

14、xf其中其中采用分部積分的方法采用分部積分的方法 , 10d)(xxxfI 1010)(d2)(2xfxxxf 10d21e2xxxx 10dexx.1e1 xxfx21e)( 10d)(2xxf例例8 80)1( f27例例9 9 計算計算解解 2/0)( , dsin NnxxInn 2/01cosdsin xxInn 2/0222/01dsincos) 1(cossin xxxnxxnn 2/022dsin)sin1()1( xxxnn，nnInIn)1()1(2 得到遞推公式：得到遞推公式： )2( ,12 nInnInn28)2(12 nInnInn 2/0 , dsin xxInn

15、而而，20 I，11 I若若n為正偶數(shù)為正偶數(shù), ,則則 02143231InnnnIn ；22143231 nnnn若若n為大于為大于1 1的奇數(shù)的奇數(shù), ,則則 .3254231 nnnnIn29 的奇數(shù)的奇數(shù)為大于為大于為正偶數(shù)為正偶數(shù)1 , 3254231 , 22143231dsin20nnnnnnnnnnxxn 即即例如，例如， 2/06dsin xx 2/05dsin xx另外，另外，.dsindcos2/02/0 xxxxnn2214365 ，325 .1583254 30例例1010 計算計算解解50cosd , ()2xIxnN /2502cosdIt t 4 225 3

16、,2xt 令令則則dd2,xt 16.15 31定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvudv二、小結(jié)二、小結(jié)（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別） tttfxxfbad)()(d)(定積分的換元積分公式定積分的換元積分公式（注意：（注意：換元必換限換元必換限）32*思考題思考題設(shè)設(shè))(xf 在在 1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.33思考題解答思考題解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21

17、xff )0()2(4125ff . 2 34一一、 填填空空題題： 1 1、設(shè)設(shè) n n 為為正正奇奇數(shù)數(shù)，則則 20sin xdxn_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 2 2、設(shè)設(shè) n n 為為正正偶偶數(shù)數(shù)，則則 20cos xdxn= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 3 3、 dxxex10_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 4 4、 exdxx1ln_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 5、 10arctan xdxx_ . 二二、 計計算算下下列列定定積積分分： 1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln； 練練 習習 題題353 3、 0sin)(xdxxmJm， （m為自然數(shù)）為自然數(shù)）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 連連續(xù)續(xù)，,1)(,2)0( ff 證證明明：3si