《雙曲線》典型例題12例(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、雙曲線典型例題雙曲線典型例題12例典型例題一例1討論表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征分析：由于，則的取值范圍為，分別進(jìn)行討論解：（1）當(dāng)時(shí)，所給方程表示橢圓，此時(shí)，這些橢圓有共同的焦點(diǎn)（4，0），（4，0）（2）當(dāng)時(shí)，所給方程表示雙曲線，此時(shí)，這些雙曲線也有共同的焦點(diǎn)（4，0），）（4，0）（3），時(shí)，所給方程沒(méi)有軌跡說(shuō)明：將具有共同焦點(diǎn)的一系列圓錐曲線，稱為同焦點(diǎn)圓錐曲線系，不妨取一些值，畫(huà)出其圖形，體會(huì)一下幾何圖形所帶給人們的美感典型例題二例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上（2），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，2），焦點(diǎn)在軸上（3）與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)解：（1）設(shè)雙曲

2、線方程為 、兩點(diǎn)在雙曲線上，解得所求雙曲線方程為說(shuō)明：采取以上“巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的（2）焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為：（其中）雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，2），或（舍去）所求雙曲線方程是說(shuō)明：以上簡(jiǎn)單易行的方法給我們以明快、簡(jiǎn)捷的感覺(jué)（3）設(shè)所求雙曲線方程為：雙曲線過(guò)點(diǎn)，或（舍）所求雙曲線方程為說(shuō)明：（1）注意到了與雙曲線有公共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為后，便有了以上巧妙的設(shè)法（2）尋找一種簡(jiǎn)捷的方法，須有牢固的基礎(chǔ)和一定的變通能力，這也是在我們教學(xué)中應(yīng)該注重的一個(gè)重要方面典型例題三例3 已知雙曲線的右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上的左支上且，求的大小分析：一般地，求一個(gè)角的大小，通

3、常要解這個(gè)角所在的三角形解：點(diǎn)在雙曲線的左支上說(shuō)明：（1）巧妙地將雙曲線的定義應(yīng)用于解題當(dāng)中，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)單化（2）題目的“點(diǎn)在雙曲線的左支上”這個(gè)條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改為“點(diǎn)在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？請(qǐng)讀者試探索典型例題四例4 已知、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且滿足，求的面積分析：利用雙曲線的定義及中的勾股定理可求的面積解：為雙曲線上的一個(gè)點(diǎn)且、為焦點(diǎn),在中，說(shuō)明：雙曲線定義的應(yīng)用在解題中起了關(guān)鍵性的作用典型例題五例5已知兩點(diǎn)、，求與它們的距離差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡分析：?jiǎn)栴}的條件符合雙曲線的定義，可利用雙曲線定義直接求出動(dòng)點(diǎn)軌跡解：根據(jù)雙曲線定義，可知所求

4、點(diǎn)的軌跡是雙曲線，所求方程為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，且軌跡是雙曲線說(shuō)明：（1）若清楚了軌跡類型，則用定義直接求出其軌跡方程可避免用坐標(biāo)法所帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算（2）如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差的問(wèn)題，一般可采用定義去解典型例題六例6在中，且，求點(diǎn)的軌跡分析：要求點(diǎn)的軌跡，需借助其軌跡方程，這就要涉及建立坐標(biāo)系問(wèn)題，如何建系呢？解：以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由及正弦定理可得：點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的雙曲線右支上設(shè)雙曲線方程為：，所求雙曲線方程為點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支上挖去了頂點(diǎn)的部分典型例題七例7求下列動(dòng)圓圓心的軌跡方程：（1）與內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)（2）與和都外切（3）與外切，且與內(nèi)切分析

5、：這是圓與圓相切的問(wèn)題，解題時(shí)要抓住關(guān)鍵點(diǎn)，即圓心與切點(diǎn)和關(guān)鍵線段，即半徑與圓心距離如果相切的、的半徑為、且，則當(dāng)它們外切時(shí)，；當(dāng)它們內(nèi)切時(shí)，解題中要注意靈活運(yùn)用雙曲線的定義求出軌跡方程解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為（1）與內(nèi)切，點(diǎn)在外，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且有：，雙曲線方程為（2）與、都外切，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，且有：，所求的雙曲線的方程為：（3）與外切，且與內(nèi)切，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且有：，所求雙曲線方程為：說(shuō)明：（1）“定義法”求動(dòng)點(diǎn)軌跡是解析幾何中解決點(diǎn)軌跡問(wèn)題常用而重要的方法（2）巧妙地應(yīng)用“定義法”可使運(yùn)算量大大減小，提高了解題的速度與質(zhì)量（3）

6、通過(guò)以上題目的分析，我們體會(huì)到了，靈活準(zhǔn)確地選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題是我們無(wú)休止的追求目標(biāo)典型例題八例8在周長(zhǎng)為48的直角三角形中，求以、為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程分析：首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系由于、為焦點(diǎn)，所以如圖建立直角坐標(biāo)系，可知雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程由雙曲線定義可知，所以利用條件確定的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵解：的周長(zhǎng)為48，且，設(shè)，則由，得，以所在直線為軸，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)所求雙曲線方程為由，得，由，得，由，得所求雙曲線方程為說(shuō)明：坐標(biāo)系的選取不同，則又曲線的方程不同，但雙曲線的形狀不會(huì)變解題中，注意合理選取坐標(biāo)系，這樣能使求曲線的方程更簡(jiǎn)捷典型例題九例9是雙曲線上一點(diǎn)，、是雙曲線的兩個(gè)

7、焦點(diǎn)，且，求的值分析：利用雙曲線的定義求解解：在雙曲線中，故由是雙曲線上一點(diǎn)，得或又，得說(shuō)明：本題容易忽視這一條件，而得出錯(cuò)誤的結(jié)論或典型例題十例10若橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，而是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的值是() ABCD分析：橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，在橢圓上又在雙曲線上，可根據(jù)定義得到和的關(guān)系式，再變形得結(jié)果解：因?yàn)樵跈E圓上，所以又在雙曲線上，所以兩式平方相減，得，故選(A)說(shuō)明：(1)本題的方法是根據(jù)定義找與的關(guān)系(2)注意方程的形式，是，是典型例題十一例11 若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值為定值，討論點(diǎn)的軌跡分析：本題的關(guān)鍵在于討論因，討論的依據(jù)是以0和2為分界點(diǎn)，應(yīng)討論以下四種情況：，解：(1)當(dāng)時(shí)，軌跡是線段的垂直平分線，即軸，方程為(2)當(dāng)時(shí)，軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為(3)當(dāng)時(shí)，軌跡是兩條射線或(4)當(dāng)時(shí)無(wú)軌跡說(shuō)明：(1)本題容易出現(xiàn)的失誤是對(duì)參變量的取值范圍劃分不準(zhǔn)確，而造成討論不全面(2)軌跡和軌跡方程是不同的，軌跡是圖形，因此應(yīng)指出所求軌跡是何種曲線典型例題十二例12如圖，圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、，以、為焦點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線與圓在軸左方的交點(diǎn)分別為、，當(dāng)梯形的周長(zhǎng)最大時(shí)，求此雙曲線的方程分析：求雙曲線的方程，即需確定、的值，而，又，所以只需確定其中的一個(gè)量由雙曲線定義，又為直